СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Тема Системы линейных уравнений.

Метод Гаусса.

Основные понятия и определения: общий вид системы линейных уравнений (СЛУ) с 3-я переменными. Совместные определённые, совместные неопределённые, несовместные СЛУ.

Решение СЛУ методом Гаусса.

СИСТЕМЫЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Рассмотрим равенство вида: (1), где - коэффициенты, -неизвестные, а b – свободный член.

Определение: равенство вида (1) называется линейным уравнением с n неизвестными, если ставится задача найти такую совокупность чисел () при подстановки которых равенство обращается в верное.

Определение: упорядоченная совокупность n-чисел () удовлетворяющая уравнению (1) называется решением этого уравнения.

Определение: Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

(2)

где a_ij и b_i (i =1,…, m; b =1,…, n) – некоторые известные числа, а x₁,…,x_n – неизвестные. В обозначении коэффициентов a_ij первый индекс i обозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.

Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы , которую назовём матрицей системы.

Определение: Числа, стоящие в правых частях уравнений, b₁,…,b_m называются свободными членами.

Определение: Совокупность n чисел c₁,…,c_n называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c₁,…,c_n вместо соответствующих неизвестных x₁,…,x_n.

:

Метод Гаусса

Метод Гаусса состоит в следующем. Для системы выписывают расширенную матрицу системы и приводят ее к трапециевидному виду с помощью элементарных преобразований над строками матрицы. По виду полученной трапециевидной матрицы делают вывод о совместимости системы. Выписывают систему уравнений, соответствующую трапециевидной матрице (она будет равносильна исходной), и, решая ее, находят решение исходной системы.

Составляем расширенную матрицу системы. С помощью элементарных преобразований над строками матрицы приводим матрицу к виду:

прибавим ко второму уравнению, прибавим первое, и к третьему, умноженному на (2) первое уравнение, получим:

~

Теперь второе, умноженное на 3, прибавим к третьему, умноженному на (-4), тогда имеем:

Система, соответствующая полученной матрице, имеет вид:

.

Решая ее, находим:

Ответ: , , .

Решить систему уравнений методом Гаусса.

1. Типография производит печать продукции трех видов: газеты, журналы, книги. Для их производства используется сырье трех типов: бумага 297×420 мм, краска для печати 1 л., бумвинил 1 м². Нормы расхода каждого из них на одну продукцию и объем расхода сырья на один день заданы таблицей:

Найдите ежедневный объем выпуска каждого вида продукции. Ответ запишите в виде: ___ газет, ___ журналов, ___ книг.

2 Кондитерская фабрика производит продукцию трех видов: торты, пирожные и рулеты. Для их производства используется сырье трех типов: мука 1 кг, молоко 1 л., сахар 1 кг. Нормы расхода каждого из них на одну продукцию и объем расхода сырья на один день заданы таблицей:

Найдите ежедневный объем выпуска каждого вида продукции. Ответ запишите в виде: ___ тортов, ___ пирожных, ___ рулетов.