Задача 1.3. Расчет статически-неопределимой

Шарнирно-стержневой системы

Условие задачи: Горизонтально расположенный абсолютно жесткий брус, с приложенной к нему силой , опирается на шарнирно-неподвижную опору О и стержни AB и CD, концы которых шарнирно закреплены.

Требуется: Определить из условия прочности стержней AB и CD допустимую силу .

Указання: Модули упругости стержней считайте одинаковыми, т.е. . При составлении расчетной схемы координаты шарниров откладывайте в соответствии с направлениями осей : положительные значения – в положительном направлении осей, т.е. вверх и вправо, а отрицательные – наоборот, т.е. вниз и влево. Углы откладывайте к горизонтали.

Исходные данные к задаче 1.3.

Таблица 1.3

Данные	Координаты шарниров, м		град
a	b	c	d
	1,0	0,5	0,6	1,5	1,3
	0,5	0,7	0,4	-1,8	1,4
	0,8	0,6	-0,7	1,6	1,6
	0,9	0,9	-0,5	-1,7	1,5
	0,7	0,8	0,8	1,9	1,7
	1,0	0,6	-0,6	1,8	1,3
	0,7	0,9	0,7	-1,5	1,6
	0,9	0,5	-0,4	1,7	1,5
	0,5	0,7	0,5	-1,9	1,4
	0,8	0,8	-0,8	-1,6	1,7
Пример	1,2	0,6	-0,9	2,0	1,8
Вариант	II	I	III	I	III	II	I	II	III	II

Решение: Составим уравнение статики для стержневой системы

. (1.3.1)

Уравнения статики не составляем, поскольку они содержат не интересующие нас реакции в опоре О.

Неизвестных усилий в стержневой системе больше, чем уравнений статики, на единицу, следовательно, система один раз статически неопределима. Составим одно дополнительное уравнение совместности деформаций стержней, которое получим из плана перемещений (см. рис. 1.3.2). В результате деформации стержней от действия силы абсолютно жесткий стержень повернется на некоторый угол, и шарниры займут новое положение .

Рис. 1.3.1

Рис. 1.3.2

Из подобия треугольников выразим ,

где

Получаем ,

где ,

Тогда .

Отсюда .

Подставив в полученное уравнение числовые значения, получим

. (1.3.2)

Получены уравнения (1.3.1) и (1.3.2) для раскрытия статической неопределимости системы. Составим уравнения расчета стержней 1 и 2 на прочность:

(1.3.3)

Определим силу , при которой будет соблюдено и условие статики по уравнениям (1.3.1, 1.3.2), и условие прочности (1.3.3).

Пусть ,

тогда из уравнения (1.3.2) .

Но это противоречит условию (1.3.3).

Примем ,

Тогда , что согласуется с условием (1.3.3).

Подставляя полученные значения в уравнение (1.3.1), найдем .

Тема 2. Кручение

Задача 2.1. Расчет вала

Условие задачи: К стальному валу, состоящему из 4-х участков длиной , приложено четыре сосредоточенных момента .

Требуется Построить эпюру крутящих моментов , подобрать диаметр вала из расчета на прочность, построить эпюру максимальных касательных напряжений , построить эпюру углов закручивания вала и определить наибольший относительный угол закручивания вала.

Исходные данные к задаче 2.1.

Таблица 2.1

Данные	Нагрузки,	Длина участков,

	2,7	-2,6	4,7	-2,0	1,1	0,7	0,3	0,4
	3,7	4,6	-3,1	3,6	0,9	0,5	1,2	0,7
	-1,1	-1,9	5,0	-1,4	1,1	0,8	1,1	0,3
	-4,5	3,8	-1,3	4,8	1,4	0,6	0,9	0,5
	1,8	2,2	-4,9	2,8	1,0	0,9	0,8	0,4
	2,1	-1,2	3,2	-2,4	1,2	0,5	1,2	0,6
	-3,4	4,4	-4,2	1,5	0,3	0,7	1,0	0,3
	1,6	-3,3	1,7	4,1	1,3	0,9	1,1	0,5
	-4,3	2,5	-2,3	-2,9	1,1	0,6	0,8	0,7
	3,0	-3,5	4,0	-3,9	1,2	0,8	1,0	0,6
Пр.	-2,5			-2	0,8	0,6	0,7	0,5
Вар.	II	I	III	I	III	II	II	I

Указання: Вычертим схему вала в соответствии с табл. 2.1. и рис. 2.1. Знаки моментов в таблице означают: плюс – момент действует против часовой стрелки относительно оси Z, минус – по часовой стрелке (смотри навстречу оси Z). В дальнейшем значения моментов принимать по абсолютной величине. Участки нумеруем от опоры.

Допускаемое касательное напряжение для стали примем равным 100 МПа.

Решение: Определим методом сечений значения крутящих моментов на каждом силовом участке, начиная от свободного конца вала. Крутящий момент равен алгебраической сумме внешних моментов, действующих на вал по одну сторону от сечения.