Задача 4.3. Расчет статический-неопределимой балки

Условие задачи: На статически-неопределимую балку, имеющую две опоры: жесткую заделку и шарнирно-подвижную опору, действуют внешние нагрузки: сила F и распределенная нагрузка q.

Требуется: Определить опорные реакции, построить эпюры поперечных сил, изгибающих моментов и линейных перемещений.

Исходные данные к задаче 4.3.

Таблица 4.3

Данные
нач	кон
			2a		a	2a
	-10	3a	4a		1,5a	3a	1,5
	-20		2a		3,5a	2a
			3a		4a	3a	1,5
	-15	2a	4a	-5	0,5a	2a
	-20		3a		2,5a	3a
		2a	3a	-10	4a	2a	1,5
			3a		2,5a	3a
		2a	4a	-15	a	2a	1,5
	-5	3a	4a	-20	1,5a	3a
Пример			3a		3,5a	3a
Вариант	III	I	I	III	II	I	II

Указания:. Вычертим схему балки в соответствии с исходными данными из табл. 4.3. Жесткую заделку расположим на левом конце балки, там же выберем начало координат.

Раскрытие статической неопределимости следует производить методом сил, определение линейных перемещений – методом начальных параметров.

Решение: Данная балка является статически-неопределимой, так как опорных реакций у нее больше, чем уравнений статики на единицу. Следовательно одна опорная реакция "лишняя". За лишнюю связь можно принять, например, реакции , но не , так как без нее балка не сможет сохранять равновесие. Примем за лишнюю связь реактивный момент .

Составим эквивалентную схему балки, отбросив лишнюю связь и заменив ее неизвестным усилием .

Каноническое уравнение метода сил для один раз статически неопределимой системы имеет вид , которое для данной системы является уравнением угла поворота балки в начале координат, т.е. в жесткой заделке. Для вычисления его коэффициентов подстроим грузовую (от внешних нагрузок) и единичную (от усилия ) эпюры изгибающих моментов.

Затем найдем коэффициенты канонического уравнения способом Верещагина, перемножая соответствующие эпюры. По способу Верещагина произведение эпюр (например ) равно площади грузовой эпюры, умноженной на высоту единичной эпюры, взятой под центром тяжести грузовой эпюры.

Подставим полученные значения в каноническое уравнение и найдем :

, отсюда

Статическая неопределимость балки раскрыта.

Отрицательное значение показывает, что направление этого усилия мы установили неверно и его следует поменять. Таким образом, M_A= -X₁. Теперь из уравнений статики найдем опорные реакции:

Рис.4.3.

Далее строим эпюры (пример построения эпюр смотри в задаче 4.1.).

Для построения эпюры линейных перемещений Y (прогибов) требуется определить их значения в 4-5 сечениях балки.

В нашем случае известно, что Вычислим прогибы на координатах

Уравнения прогибов в этих сечениях по методу начальных параметров имеют вид:

По полученным значениям строим эпюру Y.

Тема 5. Сложное сопротивление

Задача 5.1. Косой изгиб

Условие задачи: На консольную балку прямоугольного сечения действуют внешние нагрузки, расположенные в разных плоскостях.

Требуется: Подобрать размеры поперечного сечения балки из условия прочности и определить линейное перемещение сечения на конце балки.

Исходные данные к задаче 5.1.

Таблица 5.1

Данные	Нагрузки	Координаты, м	а, м	[s], МПа	Плоско-сть дей-ствия нагрузки
M, кН м	F, кН	q, кН/м			нач	кон
				a	2a		a	0,5		M -XOZ F -YOZ q -YOZ
	-18	-15	-15	2a	a		2a	0,7
		-22	-20	a	3a	a	2a	0,6
				3a	2a		a	0,9
	-10		-23	a	4a		2a	0,8		M -XOZ F -YOZ q -XOZ
		-20		2a	3a	a	3a	0,7
	-12		-20	2a	a		a	0,5
	-10	-25		a	3a	a	3a	0,9		M -XOZ F -XOZ q -YOZ
		-22		2a	4a		2a	0,6
	-15		-15	2a	A	a	2a	0,8
Пр.	-15		-10	a	3a	a	2a	1,0
Вар	II	I	III	III	III	II	II	I	III	II

Указания:. Модуль Юнга принять равным .

Решение: Схема балки, построеная по исходным данным примера, представлена на рис. 5.1. Эпюры изгибающих моментов (в силовой плоскости YOZ) и (в силовой плоскости XOZ) представлены на рис. 5.2. Пример построения эпюр изложен в задаче 4.1.

Определяем опасное сечение балки, где имеют максимальные значения: . В случае наличия не-

Рис. 5.1.1 Исходная схема балки

Рис. 5.1.2 Эпюры изгибающих моментов

скольких потенциально опасных сечений необходимо делать расчет на прочность по каждому опасному сечению.

Сечение следует расположить рационально. Так как в нашем случае , то сечение располагаем так, чтобы соблюдалось условие . Строим на сечении эпюры напряжений для определения опасной точки сечения (см. пример задачи 4.2).