МИНОБРНАУКИ РОССИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. АКМУЛЛЫ(ФГБОУ ВО «БГПУ им. М. Акмуллы)
Институт педагогики
Специальное дефектологическое образование
Реферат
«Теорема сложения вероятностей»
Выполнил: студент 1 курса института педагогики заочной формы обучения группы ЗСПГС 11 17
Коршунова М.
Проверил: Титова Л.Н.
Уфа 2017
Содержание
Ведение ……………………………………………………………… ………3
1.1 Теория вероятности………………………………………………… … …..4
1.2 Теория сложения вероятности………………………………………… …6
1.3 Пример задач………………………………………………………… … …7
Заключение…………………………………………………………………. …9
Список используемой литерат уры……………………………………… …..10
Введение
В настоящее время трудно представить исследование и прогнозирование экономических процессов без использования методов, опирающихся на теорию вероятностей. При принятии решений в области бизнеса, финансов, менеджмента основой корректности и, в конечном счете, успеха является правильный учет и анализ больших объемов статистической информации, а также грамотная оценка вероятностей происхождения тех или иных событий. Теоретической основой существующих специальных приемов и методов решения задач экономики являются теория вероятностей и математическая статистика. Сочетание слов «теория вероятностей» для неискушенного человека производит несколько странное впечатление. В самом деле, слово «теория» связывается с наукой, а наука изучает закономерные явления; слово «вероятность» в обычном языке связывается с чем-то неопределенным, случайным, незакономерным Поэтому люди, знающие о существовании теории вероятностей только понаслышке, говорят о ней часто иронически. Однако теория вероятностей – это большой, интенсивно развивающийся раздел математики, изучающий случайные явления.
Сочетание слов «теория вероятностей» для неискушенного человека производит несколько странное впечатление. В самом деле, слово «теория» связывается с наукой, а наука изучает закономерные явления; слово «вероятность» в обычном языке связывается с чем-то неопределенным, случайным, незакономерным. Поэтому люди, знающие о существовании теории вероятностей только понаслышке, говорят о ней часто иронически. Однако теория вероятностей – это большой, интенсивно развивающийся раздел математики, изучающий случайные явления.
В данной работе мы обратим внимание прежде всего на подходы к определению категории «вероятность». Второй интересующий нас момент – теоремы сложения
|
|
Теорема вероятности
Теория вероятностей изучает закономерности однородных массовых случайных явлений.
Испытанием называется всякое действие, которое предпринимается с определенной целью. Всякий результат испытания называется событием.
Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет при наличии данной совокупности условий. Например, закипание воды при температуре 100 градусов и при нормальном атмосферном давлении, падение вниз брошенного вверх тела, возгорание бумаги при повышении ее температуры до температуры возгорания.
|
|
Событие называется невозможным, если оно обязательно не произойдет при наличии данной совокупности условий. Например, закипание воды при температуре ноль градусов, извлечение белого шара из урны, содержащей только черные шары, уменьшение длины металлической проволоки при ее нагревании.
Событие называется случайным, если оно может произойти или не произойти при наличии данной совокупности условий. Например, выпадение герба при бросании монеты, извлечение наугад туза из колоды карт, поражение цели при выстреле из орудия.
Два события называются несовместимыми, если наступление одного из них исключает возможность наступления другого. Например, попадание в мишень и непопадание в мишень. Если наступление одного события не исключает возможность наступления другого, то такие события называются совместимыми. Например, выпадение четного числа и числа кратного трем, при бросании игральной кости (при выпадении «шестерки» эти события наступают одновременно). Несовместимость более двух событий означает их попарную несовместимость.
Два несовместимых события, одно из которых обязательно должно наступить, называются противоположными. Например, выпадение четного или нечетного числа при бросании игральной кости. Событие, противоположное событию А, обозначается 
(читается «не А»).
Совокупность событий образует полную группу событий, если все события этой совокупности несовместимы и единственно возможны. Другими словами, обязательно произойдет одно из событий данной совокупности. Например, выпадение единицы, двойки, тройки, четверки, пятерки или шестерки при бросании игральной кости.
|
|
В теории вероятности события принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита А, В, С и т. д.
Допустим, проводится испытание, результатом которого может быть один из некоторой совокупности исходов. Если результатом данного испытания может быть только один исход из данной совокупности, тогда все исходы данной совокупности являются единственно возможными. Если, ни один из исходов данной совокупности исходов не является более возможным, чем другие, то все исходы этой совокупности называются равновозможными. Если результатом рассматриваемого испытания может быть наступление только одного исхода из данной совокупности, то эти исходы называются несовместимыми.
Классическое определение вероятности. Вероятностью Р(А) наступления события А называется отношение числа благоприятствующих наступлению данного события исходов т к числу всех несовместимых, единственно возможных и равновозможных исходов испытания n.
Пример. Пусть испытание заключается в бросании игральной кости (кубика, имеющего форму куба, все грани которого пронумерованы числами от 1 до 6).
Определим вероятность события А, которое заключается в выпадении нечётного числа. Совокупность несовместимых, единственно возможных и равновозможных исходов состоит из исходов, заключающихся в выпадении единицы, двойки, тройки, четверки, пятерки и шестерки (всего шесть исходов, то есть n = 6). Число исходов, благоприятствующих наступлению рассматриваемого со бытия m = 3 (выпадение единицы, тройки или пятерки). Следовательно вероятность рассматриваемого события
Вероятность достоверного события равна единице. Вероятность невозможного события равна нулю. Вероятность случайного события А больше нуля и меньше единицы: 0 < Р(А) < 1.
Суммой двух событий А и В (обозначается А + В) называется событие, состоящее в наступлении события А или события В или событий А и В одновременно.
Например, если событие А — выпадение четного числа при бросании игральной кости, а событие В — выпадение числа, кратного трем, то событие А + В будет заключаться в выпадении или четного числа, или числа, кратного трем, или числа четного и кратного трем одновременно, то есть в выпадении 2, 3, 4, 6.
Суммой любого конечного числа событий является событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из суммируемых событий.
Произведением двух событий А и В (обозначается А ∙ В) называется событие С, состоящее в совместном наступлении событий А и В.
Например, если событие А — выпадение четного числа при бросании игральной кости, а событие В — выпадение числа, кратного трем, то событие А ∙ В будет заключаться в выпадении четных чисел, кратных трем, то есть в выпадении числа 6.
Произведением конечного числа событий называется событие, состоящее в том, что наступят все перемножаемые события.
События A и В называются зависимыми, если наступление одного из них изменяет вероятность другого.
События А и В называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность другого.
События А1, А2,..., Аn называются попарно независимыми, если любые два из них являются независимыми.
События А1, А2,..., Аn называются независимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не меняется при наступлении других событий одного или нескольких в любой комбинации и в любом числе.
Будем называть число М появлений события А в серии из N испытаний частотой события А, а отношение M/N будем называть относительной частотой события А.
В сериях с небольшим количеством испытаний N относительная частота события подвергается сильным колебаниям. При переходе к сериям с большим количеством испытаний N колебания относительной частоты сглаживаются и относительная частота постепенно принимает некоторое устойчивое значение.
Статистической вероятностью называют постоянную величину, около которой группируются наблюдаемые значения относительной частоты.
Теорема сложения вероятностей
Теорема о сумме двух несовместимых событий. Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В).
Эту теорему легко обобщить на случай суммирования любого конечного числа независимых событий:
Р(А1 +А2 +...+ Аn) = P(A1) + Р(А2) +...+ Р(Аn).
Теорема о сумме двух совместимых событий. Вероятность суммы двух совместимых событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления.
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А ∙ В).
Следствия из теоремы сложения вероятностей:
1. Сумма вероятностей событий А1, А2,..., Аn, образующих полную группу, равна единице.
Р(А1) + Р(А2) +... + Р(Аn) = 1.
2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице
Примеры решения задач
Пример 1
Задание. В лотерее 1000 билетов; из них на один билет падает выигрыш 500 руб., на 100 билетов - выигрыши по 100 руб., на 50 билетов - выигрыши по 20 руб., на 100 билетов - выигрыши по 5 руб., остальные билеты невыигрышные. Некто покупает один билет. Найти вероятность выиграть не менее 20 руб.
Решение. Рассмотрим события:
Выиграть не менее 20 руб 
Выиграть 20 руб
Выиграть 100 руб
Выиграть 500 руб
Очевидно, что 
Тогда по теореме сложения вероятностей имеем:
Ответ. 0,061
Пример 2
Задание. Производится бомбометание по трем складам боеприпасов, причем сбрасывается одна бомба. Вероятность попадания в первый склад 0,01; во второй – 0,008; в третий – 0,025. При попадании в один из складов взрываются все три. Найти вероятность того, что склады будут взорваны.
Решение. Рассмотрим события:
Склад взрывается
Попадание в первый склад
Попадание во второй склад
Попадание в третий склад
Введенные события связаны равенством:
Так как при сбрасывании одной бомбы события 
несовместны, то
Ответ. 0,043
Заключение
Теория вероятностей – это математическая наука, изучающая математические модели массовых случайных явлений. В теории вероятностей используются результаты и методы многих областей математики (комбинаторики, математического анализа, алгебры, логики и т. п.). Однако теория вероятностей обладает некоторым своеобразием, поскольку она очень тесно связана с различными приложениями, причем приложения эти не столь привычны, как, например, приложения алгебры или дифференциальных уравнений. Задачи теории вероятностей также необычны и часто имеют нематематическую постановку. Это в первую очередь объясняется тем, что зарождение теории вероятностей связано с комбинаторными задачами азартных игр. Азартные игры трудно считать серьезным занятием. Но именно они привели к задачам, которые не укладывались в рамки существовавших математических соотношений и стимулировали тем самым поиск новых понятий, подходов и идей.
Подобно другим математическим наукам, теория вероятностей развивалась из потребностей практики и представляла собой прикладную дисциплину. В связи с этим ее понятия и выводы имели характерные черты тех областей знаний, в которых они были получены. Лишь постепенно выкристаллизовалось то общее, что присуще вероятностным схемам, независимо от области их приложения и что позволило превратить теорию вероятностей в надежный, точный и эффективный метод познания.
Список использованной литературы
1. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. – М.: ЮНИТИ, 1998.
2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1972, 1977.
3. Ежова Л.Н. Теория вероятностей и математическая статистика: Основы математики для экономистов. Вып. 9: Учеб. Пособие. – Иркутск: Изд-во ИГЭА, 2000.
4. Колемаев В.А., Староверов О.В., Турундаевский В.Б. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1991.
5. Теория вероятностей: Учебное пособие / Ежова Л.Н., Абдуллин Р.З., Калашникова Л.С., Никулина С.И., Леонова О.В.. – Иркутск: изд-во ИГЭА. – 1996.
6. Анализ и диагностика финансово-хозяйственной деятельности предприятия. Табурчак П.П., Викуленко А.Е., Овчинникова Л.А. и др.: Учеб. пособие для вузов / Под ред. П.П. Табурчака, В.М. Туина и М.С Сапрыкина. - Ростов н/Д: Феникс, 2002.
7. Баканов М.И., Шеремет А.Д. Теория экономического анализа: Учебник. - 4- изд., доп. и перераб. - М.: Финансы и статистика, 2001.
8. Бамина О.Э., Спирин А.А. Общая теория статистики. Изд-во Финансы и статистика, 2005. ― 440 с.
9. Бочаров.В.Б. Финансовый анализ. - СПб: Питер, 2004. - 240 с.
10. Гинсбург А.И. Экономический анализ. - Спб.: Питер, 2003. - 480 с.
11. Ефимова М.Р., Румянцев В.Н., Петрова Е.В. Общая теория статистики. Учебник. ― М.: Инфра-М, 2005, с. 94.
12. Завьялова З.М. Теория экономического анализа. Курс лекций. - М.: Финансы и статистика, 2002.