ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2
Исследование элементарных звеньев
Элементарные звенья и их характеристики
Звеном называют математическую модель элемента, соединения элементов или любой части системы. Передаточная функция звена может быть записана в виде
(1)
Полином произвольного порядка можно разложить на простые множители вида
ks, (d1s+d2), (d1s2+d2s+d3),
поэтому передаточную функцию (2) можно представить как произведение простых множителей и простых дробей.
Звенья, передаточные функции которых имеют вид простых множителей или простых дробей, называют типовыми или элементарными звеньями.
ПРОПОРЦИОНАЛЬНОЕ ЗВЕНО.
Пропорциональным называют звено, описываемое уравнением y(t)=ku(t) или передаточной функцией W(s)=k.
Частотные и временные функции этого типового звена имеют следующий вид:
W(jw)=k; U(w)=k; V(w)=0; A(w)=k; j(w)=0; L(w)=20lgk; h(t)=k1(t).
Построим логарифмическую амплитудно - фазовую и переходную характеристики пропорционального звена, используя возможности программы Маткад:.
Рис.1.
Если вы теперь измените величину коэффициента передачи k, то соотвественно изменятся и графики на рис.1.
ИНТЕГРИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО.
Интегрирующим называют звено, описываемое уравнением py=ku или передаточной функцией W(s)=k/s.
Частотная передаточная функция W(jw)=k/jw=-jk/w. Остальные частотные и временные функции имеют следующий вид:
Амплитудно-частотная характеристика совпадает с отрицательной мнимой полуосью. ЛАЧХ - наклонная прямая, проходящая через точку с координатами w=1 и L(w)=20lgk. Как видно из уравнения L(w)=20lgk - 20Lgw при увеличении частоты на одну декаду L(w) изменяется на 20 дБ.. Поэтому наклон ЛАЧХ равен -20дБ/дек. Переходная характеристика представляет собой прямую, проходящую через начало координат с угловым коэффициентом наклона, равным k
Построим логарифмические амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики:
Зададим интервалы изменения частоты w и времени t
Зададим значения параметра звена
Введем формулы характеристик
Измените значение коэффициента передачи в сторону уменьшения и увеличения и оцените изменения произошедшие на графиках. Запишите выводы о влиянии коэффициента передачи на характер графиков в отчёт по работе. Зарисуйте полученные графики.
ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО. Дифференцирующим называют звено, которое описывается уравнением y=kpu или передаточной функцией W(s)=ks. Частотные и временные функции этого звена имеют вид:W(jw)=jkw; U(w)=0; V(w)=kw; A(w)=kw; f(w)=p/2; L(w)=20lgk+20lgw; h(t)=d(t).
АФЧХ совпадает с положительной мнимой полуосью. ЛФЧХ и ЛАЧХ построим, используя Mathcad.
Изменяя значение коэффициента передачи в сторону увеличения и уменьшения, оцените его влияние на характер и положение графика. Полученные графики и ваши выводы запишите в отчёт по работе.
АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО. Апериодическим звеном первого порядка называют звено, описываемое уравнением
(Tp+1)y=ku
или передаточной функцией
W(s)=k/(Ts+1)
Это звено называют также инерционным звеном или инерционным звеном первого порядка. Апериодическое звено характеризуется двумя парамет-рами: постоянной времени Т и коэффициентом передачи k.
Частотная передаточная функция
Умножив числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное знаменателю выражение, получим
Разделим его на действительную и мнимую части:
Амплитудную и фазовую частотные функции можно определить, используя правило модулей и аргументов:
Аргумент числителя W(jw) равен нулю, а аргумент знаменателя - arctg wT, поэтомуf(w)=argW(w) =-arctg wT. Из этого следует, что
Более просто частотные характеристики можно получить, используя программу Mathcad.
Построим переходную характеристику инерционного звена. Для этого скомпенсируем ранее введённые значения коэффициента передачи k и постоянной времени T, умножим передаточную функцию на изображение по Лапласу единичного скачкообразного возмущения и используем обратное преобразование Лапласа.
Зададим диапазон изменения времени решения, величину коэффициента передачи и выражение для переходной характеристики, получим её график
Изменяя значения k и T в сторону увеличения и уменьшения оцените влияние этих параметров на характер перенодного процесса. Зарисуйте графики и запишите выводы в отчёт.
ФОРСИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО. Форсирующим звеном называют звено, которое описывается уравнением
y=k(Tp+1)u
или передаточной функцией
W(s)=k(Ts+1).
Частотная передаточная функция
Остальные частотные и временные функции имеют следующий вид
Построим логарифмическую амплитудно-частотную характеристику форсирующего звена
(Ликвидируем ранее сделанные глобальные определения)
Изменяя Т и k в сторону увеличения и уменьшения определите характер изменения графиков. Зарисуйте графики и сделайте выводы о влиянии изменения этих параметров на вид соответствующих графиков.
КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ЗВЕНО. Звено, которое можно описать уравнением
или передаточной функцией
называют колебательным, если 0<x<1, консервативным, если x=0, и апериодическим звеном второго порядка, если x больше или равно 1. Коэффициент x называют коэффициентом демпфирования.
Частотная передаточная функция
Умножив числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное знаменателю выражение, получим вещественную и мнимую частотные функции:
Фазовая частотная функция (см. рис.4.9б) изменяется монотонно от 0 до -p и выражается формулой
ЛФЧХ при w стремящемся к нулю асимптотически стремится к оси частот,а при w стремящейся к бесконечности - к прямой w= - p.
Построим АФЧХ и ЛФЧХ для колебательного звена.
Для исследования переходной характеристики колебательного звена откройте новый файл, введите в нём изображение по Лапласу переходной характеристики H(s)
затем примените к H(s) обратное преобразование Лапласа. Задайте значения диапазона изменения времени t:=, коэффициента передачи k:=, коэффициента затухания x и постоянной времени T:=.
Например:
Введите полученное выражение для переходной характеритстики
задайте для него область графика и значения для горизонтальной и вертикальной осей
Задание
1.Изменяя значения k и T в сторону увеличения и уменьшения, оцените влияние этих параметров на характер переходного процесса. Зарисуйте графики и запишите выводы в отчёт.
2.Произвести исследование переходной характеристики колебательного звена.
3.Произвести построение частотных и логарифмических частотных характеристик на примере апериодического звена 1-го порядка.
Контрольные вопросы
1.Назовите основные звенья САУ.
2.Что такое передаточная функция? Напишите вид передаточных функций основных типовых звеньев.
3.Как строится АФЧХ звеньев?
4.Перечислите основные частотные характеристики звеньев?
5.Как строятся логарифмические частотные характеристики?
