При поперечном изгибе поперечных сечений балки, кроме изгиб моментов появляется еще и поперечные силы, а следовательно и касательные напряжения.Согласно закону парности кас напряжения и в продольных сечениях балки будут появл касат напряжения. Эти напряжения вызывают сдвиг продольных слоев относительно друг друга, что приводит к искривлению попереч сечений.
Искривление поперечных сечений называют деплонацией
Экспериментально установлено, что величина деплонации сечения зависит от отношения длины балки к высоте ее сечения.
Различают:1 тонкие балки l/h<=5
2 балки средней толщины 5 <= l/h<=10
3 толстые балки (балки стенки) l/h >=10
Установлено. Что деплонации попереч сечений в тонких балках незначительные и ей можно принибречь, поэтому формула для норм напряжений в тонких балках при поперечном изгибе
Расчет толстых балок (плит) выполняется методами теории упругости и в сопромате не рассматривается.
Рассмотрим балку испытывающую поперечный изгиб.
Двумя сечениями выделяем элементарный участок на балке и рассмотрим его подробнее.
Норм напряжение в отмеченной точке (dA) равно
Отсюда следует
Тогда перемещение сил равно
Допущения: касательное напряжения распределяются по ширине сечения равномерно.
Тогда сдвиг сила равна
По условию равновесия dT=dN
Подставим выражение для dT и dN и получим
Отсюда следует выражение для касательных напряжений (для продольных)
Учитывая закон парности кас напряжений в поперечном сечениях балки равны
Формула Журавского кас напряжения в произвольной точке поперечного сечения балки
- попереч сила в рассмотр сечении
- статич момент отсеченной части сечения относ нейтральной оси Х
- момент инерции всего сечения относительно нейтральной оси Х
- ширина сечения на уровне точки, в которой вычисляется кас напряжение
Отсеченная часть - часть сечения расположенная выше или ниже точки, где вычисляется кас напряжение
Максимальное касательное напряжение при поперечном изгибе появл в точках расположенных на нейтральной оси
- от центра оси до центра отсеченной части
Формула Журавского предназначена для вычисления кас напряжений произвольной точки сечения, при поперечном изгибе балки.
Примеры
41 проверка прочности балки при поперечном изгибе
Учитывая, что максимальное норм напряжение появляется в крайних волокнах балки, т е в волокнах макс удаленных от нейтральной оси, получим условие прочности по норм напряжениям.
Т к дробь зависит только от форм и размеров сечения, то ее можно считать геометр характеристикой сечения балки. обозначим ее
Момент сопротивления сечения
Момент сопротивления характеризует сопротивление сечения изгибающему моменту (должно быть) тогда условие прочности по норм напряжениям при изгибе имеет вид
- изгиб момент в рассматриваемом сечении (обычно берут макс на эпюре моментов по модулю)
- осевой момент сопротивления поперечного сечения балки
- расчетное сопротивление материала балки
Максимальное касательное напряжение при поперечном изгибе балки появл на уровне нейтральной оси (слоя)
Поэтому условие прочности по касательным напряжениям при поперечном изгибе балки имеет вид
- поперечная сила в рассматр сечении балки (обычно макс значение по абсолютной величине берется из эпюры)
- статич момент части сечения, расположенный по одну сторону выше нейтральной оси (т е центральной оси сечения)
- момент инерции всего сечения относительно нейтр оси Х
- ширина сечения на уровне нейтральной оси Х. т е на уровне центра тяжести.
- расчетное сопротивление на срез
42 Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки
Перемещение центра тяжести сечения по направлению перпендикулярном к оси балки называют прогибом балки.
Для определения прогибов воспользуемся уравнением для кривизны
Из курса вышмат известно, что кривизна криывой линии равна
Т к для реальных балок встреч в строительстве угол поворота поперечного сечения величина малая по сравнению с единицей, то квадратом производной можно принибречь
Тогда кривизна равна
(*)
Левые части уравнения обозначаемые * равны, следовательно равны и правые части
Приближенное диф уравнение изогнутой оси балки имеет вид
43 метод непосредственного интегрирования
Метод основан на непосредственном интегрировании получ приближенного диф уравнения
Угол поворота сечения
Проинтегрируем правую и левые части уравнения
Выразим угол поворота через прогибы
Разделим дифференциал
Проинтегрируем лев и прав части уравнения
Постоянные интегрирования С1 и С2 определим из гранич условий на концах каждого участка балки. Число постоянного интегрирования = удвоенному числу участков на балке. В этом недостаток рассмотренного метода определения углов поворота и прогибов балки переменной жесткости.
44метод начальных параметров
Если балка пост жесткости Е I и имеет несколько участков, то удобнее прогибы и углы поворота определять по методу начальных параметров.
Возьмем приближенное диф уравнение, учтем что производная от прогиба равна углу поворота, поэтому
Разделим дифференциалы
Проинтегрируем лев и правую части уравнения
Или
Выразим угол поворота через прогибы
Проинтегрируем лев и прав части уравнения
Получена интегральная форма функции прогиба балки. Здесь и - нач параметры
На основе получ зависимостей строится метод нач параметров
Рассмотрим балку загруженную одним сосредоточенным моментом одной сосредоточенной силой и одной равномерно-распределенной нагрузкой.
Возьмем интегралы
1 от сосредоточенного момента
2 от сосредоточ силы
3 от распределенной нагрузки
Суммируя интегралы от всех видов нагрузок и пологая, что к балке могут быть приложено несколько нагрузок одного и того же вида получаем универсальное уравнение упругой оси балки
Требования
1 Начало координат всегда выбирать в левой крайней точке балки
2 Начальные параметры равны соответственно по () прогибу и углу поворота сечения на левом конце балки.
3 при вычислении прогибов учитывать только слагаемые содержащие силовые факторы приложенные левее рассматриваемого сечения
4 знак перед слагаемым совпадает со знаком изгибающего момента в рассматриваемом сечении, вызванного силовыми факторами содерж в этом слагаемом.
5 где то начавшаяся равномерно распределенная нагрузка должна заканчиваться на правом конце балки
Уравнение углов поворота получается взятым производной от уравнения прогиба
Е- модуль упругости материала (модуль Юнга)
- момент инерции сечения
- прогиб в рассматриваемом сечении
- начальные (параметры) прогиб и угол поворота (в ловом крайнем сечении)
- расстояние от начала координат до точки или сечения, в котором ищем прогиб.
- расстояние от нач координат до точки приложения сосредоточенного момента
- расстояние от нач координат до точки приложения сосредоточ силы
- расст от нач координат до начала распределенной нагрузки
- угол поворота в рассматриваемом сечении
Правило знаков:
Прогиб вверх и угол поворота против хода часовой стрелки считаются положит +
Пр см практическое
Тема: Напряженное и деформированное состояние в точке
45 Понятие о напряженном состоянии в точке
Напряженным состонием в точке назыв совокупность напряжений действующих на все возможных площадках, проведенных через эту точку.
В нагруженном теле около внутр точки вырежем элемент
Если две пары противополож площадок
элемента свободных от напряжений,
то имеет место линейтое напряженное состояние
Если одна пара противоположных площадок
элемента свободна от напряжений,
то имеет место плоское напряженное состояние.
Если нет ни одной пары противоположных
площадок элемента свободных от напряжений,
то имеет место объемное напряженное состояние.
46 Правило расстановки индексов и знаков
Норм напряжение имеет один индекс, совпадающий с обознач оси, параллельно которой действует само напряжение. норм напряжение вызывающее растяжение - назыв положительным +
Касательные напряжения имеют 2 индекса.
1 первый индекс совпад с обозначением оси, по направлению которой действует само напряжение
2 второй индекс совпад с обозначением оси, параллельно которой направлена нормаль площадки, где действует напряжение.
Если направление касательного напряжения и внешней нормали площадки, где действует напряжение, одновременно совпадают или одновременно не совпадают с полож направлениями соответ осей координат, то такие касат напряжения считаются положительными +
В сопрмате знак кас напряжений балки от поперечной силы совпадает со знаком поперечной силы.
47 Напряжение на наклонной площадке при плоском напряженном состоянии
Рассмотрим элементарный параллелепипед, котор испытывает плоское напряженное состояние
Зависимость площадей площадок
Параллелепипеда.
Составим уравнение равновесия
Подставим зависимость площадей
Сократим на dA и привед подобные
Сост ур равновесия
Подставим зависимость площадей
Сократим на dA и привед подобные
48 Главные площадки и главные напряжения
Если оси Х У (см вопр 47 рис) поворачивать то при каком-то положении на наклонной площадке норм напряжения достигнут экстримальных значений. Найдем положение таких площадок.
Разделим на 2 и приведем подобные
Умножим на 2, разделим на (и на)
Сравнивая выражение (*) и уравнение (**) убеждаемся, что кас напряжения на этих площадках =0
3 взаимно-перпендикулярные площадки, на которых кас напряжение =0, а норм напряжение принимают экстрим значения называются главными площадками
Норм напряжения действующие на глав площадках назыв глав напряжение
Гл напряжение индексируется цифрами. Принята индексация согласно условию
Гл напряжение для плоского напряженного состояния вычисляется по формуле
Недостающее главное напряжение =0
49 Понятие о траекториях главных напряженй
Наглядное представление о потоке внутр сил в нагруженном теле дают траектории главных напряжений. Они имеют практическое значение при проектировании железобетонных конструкций.
Армирвание жб балки (по траекториям гл напряжений)
50 Главные деформации и гл оси деформаций
Матем зависимости при исследовании напряженных состояний в точке справедливы и при исследовании деформационного состояния в точке.
В любой точке деформ тела всегда можно найти 3 взаимно-перпендикулярные направления на которых отрезки при деформации тела не искривляются, а имеют лишь лин деформации, т е удлиняются или укорачиваются. Такие направления назыв гл осями деформации. Сами деформации по этим направлениям назыв главными деформациями.
При индексации гл. деформ должно выполняться условие
Гл. деформации как и гл напряжения являются экстримальными величинами.
Для изотропных материалов в любой точке тела гл оси деформации совпад с направлениями гл напряжений