Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №14»
Тригонометрия в заданиях первой части ЕГЭ
По математике профильного уровня
(проект)
Работу выполнила:
Карнаухова Ксения Викторовна,
ученица 10Б класса МБОУ «СОШ №14»
Руководитель проекта:
Поцула О. Г.,
учитель математики
МБОУ «СОШ №14»
Киселевск
Оглавление
1. Введение ……………………………………………………………………….3
1.2 История тригонометрии …………………………………………………….. 3
1.3 История возникновения тригонометрии как обособленного раздела математического учения………………………………………………………… 4
1.4 История происхождения основных понятий………………………………. 5
2. Теоретическая часть……………………………………………………...
3. Практическая часть………………………………………………………
4. Заключение………………………………………………………………
5. Приложение
Введение
Тригономе́трия — раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии.
История тригонометрии неразрывно связана с астрономией, ведь именно для решения задач этой науки древние ученые стали исследовать соотношения различных величин в треугольнике.
На сегодняшний день тригонометрия является одним из разделов микроразделом математики, изучающим зависимость между значениями величин углов и длин сторон треугольников, а также занимающимся анализом алгебраических тождеств тригонометрических функций.
Сам термин «тригонометрия», давший название этому разделу математики, впервые был обнаружен в заголовке книги под авторством немецкого ученого-математика Питискуса в 1505 (1595) году. Слово «тригонометрия» имеет греческое происхождение и означает «измеряю треугольник». Если быть точнее, то речь идет не о буквальном измерении этой фигуры, а об её решении, то есть определении значений её неизвестных элементов с помощью известных.
История тригонометрии началась более двух тысячелетий назад. Первоначально ее возникновение было связано с необходимостью выяснения соотношений углов и сторон треугольника. В процессе исследований выяснилось, что математическое выражение данных соотношений требует введения особых тригонометрических функций, которые первоначально оформлялись как числовые таблицы.
Для многих смежных с математикой наук толчком к развитию стала именно история тригонометрии. Происхождение единиц измерения углов (градусов), связанное с исследованиями ученых Древнего Вавилона, опирается на шестидесятиричную систему исчисления, которая дала начала современной десятиричной, применяемой во многих прикладных науках.
Предполагается, что изначально тригонометрия существовала как часть астрономии. Затем она стала использоваться в архитектуре. А со временем возникла целесообразность применения данной науки в различных областях человеческой деятельности. Это, в частности, астрономия, морская и воздушная навигация, акустика, оптика, электроника, архитектура и прочие.
Руководствуясь данными о сохранившихся научных реликвиях, исследователи сделали вывод, что история возникновения тригонометрии связана с работами греческого астронома Гиппарха, который впервые задумался над поиском способов решения треугольников (сферических). Его труды относятся ко 2 веку до нашей эры.
Также одним из важнейших достижений тех времен является определение соотношения катетов и гипотенузы в прямоугольных треугольниках, которое позже получило название теоремы Пифагора.
История развития тригонометрии в Древней Греции связана с именем астронома Птоломея - автора геоцентрической системы мера, господствовавшей до Коперника.
Греческим астрономам не были известны синусы, косинусы и тангенсы. Они пользовались таблицами, позволяющими найти значение хорды окружности с помощью стягиваемой дуги. Единицами для измерения хорды были градусы, минуты и секунды. Один градус приравнивался к шестидесятой части радиуса.
Также исследования древних греков продвинули развитие сферической тригонометрии. В частности, Евклид в своих «Началах» приводит теорему о закономерностях соотношений объемов шаров различного диаметра. Его труды в этой области стали своеобразным толчком в развитии еще и смежных областей знаний. Это, в частности, технология астрономических приборов, теория картографических проекций, система небесных координат и т. д.
Значительных успехов достигли индийские средневековые астрономы. Гибель античной науки в IV веке обусловила перемещение центра развития математики в Индию.
История возникновения тригонометрии как обособленного раздела математического учения началась в Средневековье. Именно тогда ученые заменили хорды синусами. Это открытие позволило ввести функции, касающиеся исследования сторон и углов прямоугольного треугольника. То есть именно тогда тригонометрия начала обосабливаться от астрономии, превращаясь в раздел математики.
Первые таблицы синусов были у Ариабхаты, они была проведены через 3о, 4о, 5о. Позже появились подробные варианты таблиц: в частности, Бхаскара привел таблицу синусов через 1о.
Первый специализированный трактат по тригонометрии появился в X—XI веке. Автором его был среднеазиатский учёный Аль-Бируни. А в своем главном труде «Канон Мас‘уда» (книга III) средневековый автор еще более углубляется в тригонометрию, приводя таблицу синусов (с шагом 15') и таблицу тангенсов (с шагом 1°).
В Новое время большинство ученых стало осознавать чрезвычайную важность тригонометрии не только в астрономии и астрологии, но и в других областях жизни. Это, в первую очередь, артиллерия, оптика и навигация в дальних морских походах. Поэтому во второй половине XVI века эта тема
заинтересовала многих выдающихся людей того времени, в том числе Николая Коперника, Иоганна Кеплера, Франсуа Виета. Коперник отвел тригонометрии несколько глав своего трактата «О вращении небесных сфер» (1543). Чуть позже, в 60-х годах XVI века, Ретик – ученик Коперника – приводит в своем труде «Оптическая часть астрономии» пятнадцатизначные тригонометрические таблицы.
Франсуа Виет в «Математическом каноне» (1579) дает обстоятельную и систематическую, хотя и бездоказательную, характеристику плоской и сферической тригонометрии. А Альбрехт Дюрер стал тем, благодаря кому на свет появилась синусоида.
Придание тригонометрии современного содержания и вида стало заслугой Леонарда Эйлера. Его трактат «Введение в анализ бесконечных» (1748) содержит определение термина «тригонометрические функции», которое эквивалентно современному. Таким образом, этот ученый смог определить обратные функции. Но и это ещё не все. Определение тригонометрических функций на всей числовой прямой стало возможным благодаря исследованиям Эйлера не только допустимых отрицательных углов, но и углов боле 360°. Именно он в своих работах впервые доказал, что косинус и тангенс прямого угла отрицательные. Разложение целых степеней косинуса и синуса тоже стало заслугой этого ученого. Общая теория тригонометрических рядов и изучение сходимости полученных рядов не были объектами исследований Эйлера. Однако, работая над решением смежных задач, он сделал много открытий в этой области. Именно благодаря его работам продолжилась история тригонометрии. Кратко в своих трудах он касался и вопросов сферической тригонометрии.
История возникновения и развития тригонометрии насчитывает не один век. Введение понятий, которые составляют основу этого раздела математической науки, также не было одномоментным.
Так, понятие «синус» имеет очень долгую историю. Упоминания о различных отношениях отрезков треугольников и окружностей обнаруживаются еще в научных трудах, датируемых III веком до нашей эры. Работы таких великих древних ученых, как Евклид, Архимед, Апполоний Пергский, уже содержат первые исследования этих соотношений. Новые открытия требовали определенных терминологических уточнений. Так, индийский учёный Ариабхата дает хорде название «джива», означающее «тетива лука». Когда арабские математические тексты переводились на латынь, термин заменили близким по значению синусом (т. е. «изгиб»).
Слово «косинус» появилось намного позже. Этот термин является сокращенным вариантом латинской фразы «дополнительный синус».
Возникновение тангенсов связано с расшифровкой задачи определения длины тени. Термин «тангенс» ввел в X веке арабский математик Абу-ль-Вафа,
составивший первые таблицы для определения тангенсов и котангенсов. Но европейские ученые не знали об этих достижениях. Немецкий математик и астроном Регимонтан заново открывает эти понятия в 1467 г. Доказательство теоремы тангенсов – его заслуга. А переводится этот термин как «касающийся».
История тригонометрии и ее роль в изучении естественно-математических наук изучаются и по сей день. Возможно, в будущем областей ее применения станет еще больше.
Актуальность темы.
Тригонометрия – это одна из сложнейших тем математики, которая выходит на Единый Государственный Экзамен. Данный раздел математики встречается в задачах №3, №5, №6, №8, №9 и №10 №12 первой части ЕГЭ по математике профильного уровня. Решение задач по тригонометрии помогает развить память, логику, нестандартное мышление. Результаты исследования могут быть использованы как на уроках математики, так и для самостоятельной подготовке к ЕГЭ.
Цель работы – познакомиться с видами задач по теме «Тригонометрия» из первой части ЕГЭ, с методами и способами их решения.
Задачи:
· познакомиться с историей возникновения тригонометрии;
· научиться решать задачи по теме «Тригонометрия»;
систематизировать задачи по теме «Тригонометрия»
· составить сборник задач для подготовки к ЕГЭ
· поработать в Microsoft Word, Microsoft PowerPoint;
· получить опыт публичного выступления.
Предмет исследования:
· ресурсы Интернет – сайтов, содержащих информацию о данном разделе математики;
· материалы энциклопедий и справочников;
· задания из демо - вариантов ЕГЭ разных лет по математике.
материалы ФИПИ (Открытый банк заданий ЕГЭ)
Методы и приемы исследования:
изучение литературы
· поиск информации в источниках, справочниках;
· работа с ресурсами Internet;
· анализ и обобщение информации;
· умение работать в Microsoft PowerPoint и Microsoft Word.
В практической части работы рассмотрены решения ключевых задач по теме «Тригонометрия» №3, №5, №6, №8, №9 и №10 (задания №12 ЕГЭ профильного уровня не содержатся в работе).
Продуктом проекта является сборника заданий с ответами для подготовки к ЕГЭ по теме «Тригонометрия в заданиях первой части ЕГЭ по математике профильного уровня».