Итоговая диагностическая работа за 8 класс
1. Вариант 1. У Сергея в классе принято в день рождения угощать одноклассников сластями. Сергей принёс для своих одноклассников 11 батончиков с арахисом, 9 – с фундуком и 5 – с миндалём. Сергей не глядя достаёт из пакета батончик и вручает каждому однокласснику по очереди. Первой батончик получает Оля, вторым – Петя.
а) Найдите вероятность того, что Оле достанется батончик с миндалём.
б) Найдите вероятность того, что Оля и Петя получат батончики с фундуком.
2. Вариант 1. В метрополитене г. Чунцин (Китай) восемь линий. По данным о протяжённости линий чунцинского метрополитена построена круговая диаграмма.
а) Укажите верные утверждения:
1) Протяжённость линий № 5 и № 6 в совокупности составляет около четверти общей протяжённости линий чунцинского метрополитена;
2) Линия № 4 не превосходит по протяжённости линию № 5;
3) Наименьшую протяжённость имеет линия № 10.
б) Оцените (найдите приблизительно) протяжённость линии № 1, если известно, что общая протяжённость линий чунцинского метро составляет 296 км.
3. На рисунке изображено дерево некоторого случайного опыта. Закрашенной фигурой показано событие A. Найдите вероятность события A
4. Вариант 1. В парикмахерской работают два мастера. Вероятность того, что каждый отдельный мастер в случайный момент времени занят, равна 0,6. Вероятность того, что оба мастера свободны, равна 0,08. Найдите вероятность того, что в случайный момент:
а) оба мастера одновременно заняты;
б) свободен ровно один из мастеров.
Примечание.
Заметим, что события А и В не являются независимыми. Действительно, вероятность произведения независимых событий была бы равна произведению вероятностей этих событий: P(A·B) = 0,6·0,6= 0,36, однако, по условию, эта вероятность равна 0,08.
События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения:
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B)
Решение
Вероятность того что хотя бы один мастер занят равна
1 - 0.08 = 0.92
Вероятность того что оба мастера заняты равна
0,6 + 0.6 - 0.92 = 0.28 = 7 /25
Вероятность того что свободен ровно один из мастеров
0.92-0,28= 0,64
5. В зоомагазине продаются рыбки шести пород. Света пришла купить трёх рыбок. Сколькими способами она может выбрать трёх рыбок так, что:
а) все рыбки будут разных пород;
б) рыбки будут только двух пород?
Анализ более простой ситуации выберем 3 рыбы из 5
1,2,3,4,5.
Комбинации:
123 321 312
124 421 412
125 521
134 431
135 531
145
234
235
245
345
Остальные комбинации будут только повторять предыдущие, только в другом порядке.
Ответ:10
Разберем похожую задачу
8.
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Обслуживание автоматов происходит по вечерам после закрытия центра. Известно, что вероятность события «К вечеру в первом автомате закончится кофе» равна 0,25. Такая же вероятность события «К вечеру во втором автомате закончится кофе». Вероятность того, что кофе к вечеру закончится в обоих автоматах, равна 0,15. Найдите вероятность того, что к вечеру дня кофе останется в обоих автоматах.
Примечание.
Заметим, что события А и В не являются независимыми. Действительно, вероятность произведения независимых событий была бы равна произведению вероятностей этих событий: P(A·B) = 0,25·0,25= 0,0625, однако, по условию, эта вероятность равна 0,15.
События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения:
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B)
Решение.
Рассмотрим события
А = кофе закончится в первом автомате,
В = кофе закончится во втором автомате.
Тогда
A·B = кофе закончится в обоих автоматах,
A + B = кофе закончится хотя бы в одном автомате.
По условию P(A) = P(B) = 0,25; P(A·B) = 0,15.
События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения:
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,25 + 0,25 − 0,15 = 0,35.
Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что кофе останется в обоих автоматах, равна 1 − 0,35 = 0,65.
Ответ: 0,65.
Приведем другое решение.
Вероятность того, что кофе останется в первом автомате равна 1 − 0,25 = 0,75.
Вероятность того, что кофе останется во втором автомате равна 1 − 0,25 = 0,75.
Вероятность того, что кофе останется в первом или втором автомате равна 1 − 0,15 = 0,85. Поскольку P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B), имеем: 0,85 = 0,75 + 0,75 − х, откуда искомая вероятость х = 0,65.
В небольшом магазине работают два продавца - Василий и Сергей. Каждый из них может быть занят с клиентом с вероятностью 0,4. При этом они могут быть заняты одновременно с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайно выбранный момент времени занят только Василий, а Сергей свободен
Решить эту задачу возможно с помощью кругов Эйлера.
Нарисуем два пересекающихся круга.
Зеленый круг будет обозначать вероятность работы Василия (и в одиночестве, и вместе с Сергеем), а синий круг будет обозначать вероятность работы Сергея (и в одиночестве, и вместе с Василием).
Эти вероятности, по условию задачи, равны 0,4.
Сине-зеленое место, где эти два круга пересекаются, обозначает их одновременную работу, вероятность которой равна 0,3.
По рисунку несложно найти вероятность работы Василия без Сергея, т.е. чисто зеленую часть Васечкиного круга. Для этого из полного круга вычитаем сине-зеленую часть:
0,4 - 0,3 = 0,1.
Ответ: 0,1.