Домашнее задание по теме 15.

Теоретическая раздатка по теме 15.

Целочисленные уравнения решаются следующими способами:

¾ рассмотрение остатков деления (в том числе четность и нечетность);

¾ разложение на множители;

¾ выделение полных квадратов;

¾ алгоритм Евклида.

Алгоритм Евклида

Пусть — целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел

определена тем, что каждое — это остаток от деления предпредыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнее нацело, то есть:

Тогда равен , последнему ненулевому члену этой последовательности.

Решение диофантовых уравнений с помощью алгоритма Евклида

Утверждение 1. . Если с не делится на d, то уравнение не имеет решений в целых числах.

Утверждение 2. Для любых двух натуральных чисел а и b, таких, что , существуют целые числа х, у такие, что .

Утверждение 3. Чтобы найти решение уравнения при взаимно простых а и b, нужно сначала найти решение уравнения . Тогда пара является решением исходного уравнения.

Пример. Решить в целых числах уравнение .

1. Сначала решим уравнение , используя алгоритм Евклида.

2. Затем найдем частное решение исходного уравнения по Утверждению 3.

3. Запишем общее решение данного уравнения.

1. Найдем представление: . Для этого используем алгоритм Евклида.

Из этого равенства выразим НОД, начиная с конца:

. Итак, .

2. Частное решение исходного уравнения: .

3. Как, имея одно решение, записать все остальные решения?

Вычтем из исходного уравнения равенство для частного решения и получим: .

Отсюда . Из полученного равенства видно, что число будет целым тогда и только тогда, когда делится на 5, т.е. . Итак, .

Базовая математика.

Семинар по теме 15.

	Докажите, что если р – простое число, большее 3, то число нацело делится на 24.
	Решите в целых числах уравнение
	При перемножении двух натуральных чисел произведение было ошибочно увеличено на 372. При делении полученного (неверного) произведения на меньший сомножитель получилось в частном 90 и в остатке 29. Найти эти числа.
	Найдите все пары натуральных чисел разной честности, удовлетворяющие уравнению
	Колхозный сад разбит на несколько участков. На каждом участке урожай собирает одинаковое число колхозников. Известно, что число колхозников, находящихся на одном участке, превышает число участков на 14. Когда еще 15 колхозников пришли на первый участок, а с остальных участков ушло по 15 человек, то число колхозников на первом участке стало равно числу колхозников, оставшихся на всех остальных участках. Сколько колхозников было первоначально на каждом участке?
	В киоске были проданы одинаковые комплекты, состоящие только из синих и красных карандашей, причем в каждом комплекте число синих карандашей больше чем на 3 превосходит число красных. Если бы в каждом комплекте число синих карандашей увеличили бы в 3 раза, а красных – в 2 раза, то число синих карандашей в одном комплекте превосходило бы число красных не более чем на 16, а общее число всех проданных карандашей равнялось бы 81. Определить, сколько было продано комплектов и сколько в каждом комплекте было синих и красных карандашей.
	Найти все целочисленные решения системы:
	Из строительных деталей двух видов можно собрать дома трех типов: 12-, 16-, и 21-квартирных. Для сборки 12-квартирного дома необходимо 70 деталей первого вида и 100 второго, для сборки 16-квартирного – 110 и 150 деталей, а для сборки 21-квартирного – 150 и 200 деталей соответственно. Всего имеется 900 деталей первого и 1300 второго вида. Сколько и каких домов нужно собрать, чтобы общее количество квартир в них было наибольшим?
	Рота солдат, прибывшая на парад прямоугольным строем по 24 человека в ряд, была перестроена в виде квадрата. После того, как часть солдат выбыла, оставшийся состав перестроили так, что число рядов уменьшилось на 2, а число солдат в каждом ряду стало на 26 больше числа новых рядов. Сколько солдат было в роте?
	На доске написано более 60, но менее 70 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 11, среднее арифметическое всех положительных из них равно 21, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -7. 1) Сколько чисел написано на доске? 2) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных? 3) Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть среди них?

Базовая математика.

Домашнее задание по теме 15.

	Решить в целых числах
	Найти все целые x, y, z, для которых
	При перемножении двух натуральных чисел, разность которых равна 10, была допущена ошибка: цифра сотен в произведении увеличена на 2. При делении полученного (неверного) произведения на меньшей из его множителей получилось в частном 50 и в остатке 25. Найти множители.
	Решить в натуральных числах: .
	В двух ящиках содержится в общей сложности более 29 деталей. Число деталей первого ящика, уменьшенное на 2, более чем втрое превышает число деталей второго, а утроенное число деталей первого ящика превышает удвоенное число деталей второго менее чем на 60. Сколько деталей содержится в каждом ящике?
	В школьной газете сообщается, что процент учеников некоторого класса, повысивших во втором полугодии успеваемость, заключен в пределах от 2,9% до 3,1%. Какого наименьшее число учеников в таком классе?
	Решите в натуральных числах уравнение Примечание: факториалом натурального числа n называется произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно. (общепринято)
	Имеются одинаковые наборы почтовых марок, состоящие из гашеных и негашеных марок, причем в каждом наборе число гашеных марок более чем на 2 превосходит число негашеных. Если в каждом наборе число гашеных марок увеличить в 4 раза, а число негашеных оставить без изменения, то число гашеных марок в одном наборе превысит число негашеных не более чем на 20, а общее число марок во всех имеющихся наборах станет равным 44. Определить число имеющихся наборов и число гашеных и негашеных марок в каждом наборе.
	Найти все целые решения системы:
	В контейнер упакованы изделия трех типов общим весом 326 кг. Стоимость и вес одного изделия первого типа составляют 4 руб. и 12 кг, второго – 5 руб. и 16 кг, а третьего – 6 руб. и 15 кг соответственно. Найти наименьшую и наибольшую возможную суммарную стоимость находящихся в контейнере изделий.