Урок 2.Тема: «Исследование рациональных функций. Непрерывность»

12.11.2021

Урок 1.Тема: «Исследование линейных и квадратичных функций»

Задание №1. Запишите схему исследования функции (если нет)

Схема исследования функции

	Область определения функции	Для всех видов функций пишем D(f): R, за исключением дробей, корней, логарифмов и тангенса (котангенса)
2.	Четность	В функцию вместо x подставить (-x) и проверить, какие получатся знаки: Все знаки сохранились: четная; Все изменились - нечетная; некоторые сохранились – ни четная, ни нечетная
3.	Периодичность	Только для тригонометрических функций
4.	Точки пересечения с осями координат	С осью Ох: подставить вместо у=0 С осью Оу: подставить вместо х=0
5.	Промежутки знакопостоянства	Решить неравенства y>0, y<0
6.	Промежутки монотонности (возрастание и убывание)
7.	Экстремумы функции
8.	Наибольшее и наименьшее значения функции
9.	Множество значений функции

Задание №2. Рассмотрите примеры исследования линейной и квадратичной функции. Разберите их и запишите в тетради.

Пример №1. f(x) = 5-2х

1. D(f): R

2. Четность

f(-x)=5-2 ∙(-x)=5+2x – функция ни четна, ни нечетна (некоторые знаки сохранились, а некоторые изменились)

3. Непериодическая.

4. С осью Ох: у=f(x) = 0, 5-2x=0, -2x = -5, x = 2,5 (2,5;0)

С осью Оу: х=0, у=5-2·0=5 (0; 5)

5. f(x)>0: 5-2x>0, -2x>-5, x<2,5.

f(x)>0 при x

f(x)<0 при x

Остальные свойства запишем по графику, построив его. Графиком данной функции является прямая, для построения которой нужно знать 2 точки.

x	0	2
y	5	1

6. Функция убывает на всей числовой прямой, т.к. k=-2<0

7. Точек экстремума нет

8. Наибольшего и наименьшего значения нет

9. E(f): R

Пример №2. y = 8 - 2x – x².

1. D(f): R

2. Четность

f(-x)=8-2·(-x)-(-x)² =8+2x –x² – функция ни четна, ни нечетна (некоторые знаки сохранились, а некоторые изменились)

3. Непериодическая.

4. С осью Ох: у= f(x) = 0, 8– 2x – x²=0,

Перепишем уравнение в виде – x²-2х+8=0, D=(-2)²-4∙(-1)∙8 = 36; x₁= ; x₂= , получаем две точки (-4;0) и (2; 0)

С осью Оу: х=0; 8-2·0-0²=8, получаем точку (0; 8)

Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вниз, так как а=-1<0.(перед х² знак минус)

Найдем вершину параболы.

Строим параболу по точкам (по рисунку запишем остальные свойства)

x	-4	-2	-1	0	2
y	0	2	9	2	0

5. f(x)>0: при x

f(x)<0 при x

6. Функция возрастает на (- убывает на

7. х = -1 - точка максимума

8. Наименьшего значения нет; у_наиб.=9

9. E(f):

Примечание: Если у параболы ветви направлены вверх, то промежутки возрастания и убывания поменяются местами, не будет наибольшего значения, будет только

у_наим., будет точка минимума (точек максимума нет)

Урок 2.Тема: «Исследование рациональных функций. Непрерывность»

Задание 1. Изучите тему и разберите примеры УСТНО (ничего конспектировать не нужно)

Многие рациональные функции содержат переменную х в знаменателе, а значит нельзя сказать, что областью определения таких функций являются все действительные числа. В этом случае из множества R нужно исключить точки, в которых знаменатель обращается в нуль. Такие точки и являются точками разрыва функции. Примеры таких функций:

Такие функции не являются непрерывными, у них нельзя построить график, не отрывая руки от тетради(ниже приведены графики функций, которые не являются непрерывными)

1. Точка разрыва функции – это точка, около которой значения функции совершают скачок (конечный или бесконечный)

2. Функция называется непрерывной на промежутке, если у нее нет на этом промежутке точек разрыва.

3. Функция называется гладкой на промежутке, если в каждой точке ее графика можно однозначно провести касательную.

4. Угловые точки – точки, в которых нарушается гладкость (это точки разрыва функции, а также точки, в которых график образует угол)

5. Выпуклость функции. Наглядным свойством графика функции на некотором промежутке является его выпуклость, которая может быть направлена как вверх, так и вниз. Точка, в которой меняется характер выпуклости, называется точкой перегиба функции. Если в этой точке провести касательную к графику функции, то по одну сторону от точки перегиба график функции расположен выше касательной, а по другую – ниже.

6. Асимптота графика функции – прямая, к которой неограниченно приближаются точки графика функции при их удалении от начала координат. Асимптоты бывают вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Задание. По графику функции, изображенному на рисунке определите: непрерывность функции, точки разрыва, угловые точки, точки перегиба, характер выпуклости, асимптоты.

ПРИМЕР №1.

Решение.

1. Данная функция непрерывна на (-∞; -1) .

2. Точки разрыва х = -1, х =1.

3. Функция является гладкой на (-∞; -1) .

4. Угловые точки х = -1, х =1.

5. х=0 – точка перегиба.

6. х = -1, х =1- вертикальные асимптоты.

ПРИМЕР №2.