Второй аспект исследования отношений — содержа-
тельный. Когда речь идет о содержании отношений,
имеется в виду указание средств фиксации различий
между элементами, включенными в то или иное отно-
шение. Это могут быть правила и процедуры вычисле-
ния, определения, необходимые для распознания и ма-
нипулирования с числами, если речь идет об отношениях,
устанавливаемых в числовых системах. Это могут быть
процедуры химического анализа или способы измерения
возраста или твердости минералов, если речь идет о
химических соединениях. Поскольку процедуры распоз-
нания элементов отношения качественно различны в раз-
ных сферах деятельности и в значительной мере детер-
минированы природой этих элементов, то чрезвычайно
трудно сравнивать по содержанию отношения, имеющие
место в различных системных объектах.
В утверждениях «5>3», «Иванов старше Петрова»,
«алмаз тверже хрусталя» зафиксированы отношения,
имеющие место в системах чисел, возрастов людей и ми-
нералов. Эти отношения различны по содержанию, по-
скольку для определения истинности утверждений, фик-
сирующих эти отношения для данных пар элементов,
требуются качественно различные процедуры. В первом
случае необходимо осуществить определенные операции
5*
вычисления, во втором — измерить и сравнить возрасты,
в третьем—сравнить минералы по определенному стан-
дарту, например проверив, какой из них оставляет ца-
рапину на поверхности другого при сильном нажиме,
и т. п. В то же время эти отношения обладают идентич-
ными формальными характеристиками, ибо все они
асимметричны, транзитивны и иррефлексивны.
Формальные структуры не дают исчерпывающего
описания специфики тех или иных отношений. Для этого
необходимо дополнить описание отношений содержа-
тельными характеристиками. Проще всего это было бы
сделать, точно указав конкретные элементы, включенные
в то или иное отношение. Несмотря на предельную кон-
кретность такого указания, оно часто оказывается не
только не выполнимым, но и мало полезным. Действи-
тельно, задать отношение «... больше...» с указанием
всех мыслимых пар чисел, удовлетворяющих этому от-
ношению, фактически невозможно. Точно так же невоз-
можно да и не нужно задавать отношения «... старше...»
и «... тверже...» через все мыслимые пары людей или
образцы минералов. Таким образом, задать содержание
того или иного ' отношения гораздо проще указанием
фиксированного набора процедур и операций, позволяю-
щих с большей или меньшей жесткостью выбрать эле-
менты, удовлетворяющие этим отношениям. Подобное
понимание содержания отношений, как видно, апелли-
рует к разнообразным видам деятельности и, следова-
тельно, вводит в механизм распознания и квалификации
отношений (с содержательной точки зрения) практику
как социально-значимую деятельность.
Теперь можно ввести в полном объеме чрезвычайно
важное для всего дальнейшего анализа понятие «струк-
тура».
1. Два произвольных отношения R\ и /?а обладают
одинаковой формальной структурой, если они обладают
идентичными формальными характеристиками.
2. Произвольные отношения Ri и Ry обладают оди-
наковыми содержательными структурами, если эти от-
ношения предполагают выполнение идентичных наборов
действий или само наличие или отсутствие этих отно-
шений фиксируется идентичными наборами познаватель-
ных процедур и операций.
3. Полная структура, или просто структура, отдель-
ного отношения или непустого множества отношений
задается одновременным описанием соответствующих
формальных и содержательных структур.
Понятиеструктуры позволяет глубже проникнуть в
сущностьсистемногоПодхода.—Curna'cHo" определению
понятиуГйгстемы, данному в предыдущем параграфе, не-
отъемлемым компонентом системной синтагмы являются
отношения и преобразования, которые задаются или
выявляются с самого начала как необходимые консти-
туенты. Вследствие этого на всех уровнях членения си-
стем существуют различные наборы тех или иных от-
ношений или преобразований, охватывающих как целые
подсистемы, так и отдельные элементы. Выявление раз-
личных, формальных, содержательных и полных струк-
тур, присущих этим отношениям и преобразованиям,—
важнейшее условие обнаружения законов их функцио-
нирования и развития. Так как отдельные элементы и
подсистемы А могут одновременно включаться в раз-
личные отношения, то в каждом достаточно сложном
системном объекте допустимо синхронное сосущество-
вание различных структур. Такие объекты я называю
полиструктурными.
Используя понятия «структура» и «полиструктурная
система», нетрудно показать, что исследование систем
предполагает в развитой форме изучение, сравнение и
описание структур сложных системных объектов. Имен-
но в этом смысле предпочтительнее говорить о систем-
но-структурных исследованиях или системно-структур-
ном анализе. Полиструктурные системы для своего аде-
кватного познания требуют сложных и притом
фиксированных методов и способов анализа.
Результат познания таких систем зависит не только
от объективно воплощенных в них структур, но и от
тех познавательных приемов, операций и процедур, с
помощью которых изучаются и фиксируются соотноше-
ния между структурами, их формальные и содержатель-
ные характеристики, а также включенные в них под-
системы и элементы.
То, что характер и содержание знаний о тех или
иных объектах не безразличны к способу его получения,
неоднократно отмечалось в философской литературе.
В применении к системно-структурному анализу это по-
ложение приобретает особую важность и связано с вы-
делением понятия «иерархия». В самом грубом прибли-
жении понятие «иерархия» применительно к системным
объектам фиксирует то, что образно можно назвать
«эффектом матрешки», по аналогии с известной дере-
вянной игрушкой, в которой каждая последующая ку-
колка содержит в себе экземпляр такой же игрушки в
уменьшенном размере. Поскольку образные сравнения
лишь поясняют, но не объясняют существа дела, необ-
ходимо указать, что действительный смысл понятия си-
стемной иерархии связан с процедурой выделения уров-;
ней подсистем. Предполагается, что уровень есть некая!
объективная характеристика изучаемых феноменов.
В книге «Курс лекций по логике науки» я пытался по-
казать, что подобно многим другим понятиям понятие
«уровень» фиксирует характеристики двоякой природы:
с одной стороны, некоторые объективные особенности
.изучаемого феномена, с другой—способы или процеду-
ры и операции, устанавливающие и фиксирующие на-
личие этих особенностей.
Отвлечение от двусторонней зависимости в опреде-
лении уровня того или иного феномена внутри систем-
ного объекта и фиксация в абстракции лишь одной сто-
роны, как правило, создают ложное впечатление, будто
бы уровень объекта есть чисто физическая характери-
стика, не зависящая от способа его выделения. В связи
с этим следует обратить внимание на то, что даже в
рамках чистого теоретико-множественного подхода к ис-
следованию систем иногда приходится апеллировать к
способам фиксации ситуаций внутри системы. В част-
ности, Месарович8 указывает, что деление систем на
открытые и замкнутые зависит от наличия способов или
приемов однозначного определения входящих в них эле-
ментов. Для нас эта апелляция к способам и приемам
познания важна потому, что демонстрирует необходи-
мость обращения к тем или иным способам действия
(в частности, научно-познавательным операциям и про-
цедурам) при определении ряда понятий, входящих в
синтагму системы.
Наличие иерархии в сложных системах предполагает
отношения двоякого рода: во-первих, отношения одно-
уровневости R^ '(А'\, А'ч,... А'{), где объекты А'\, А\,...
A'i находятся на одном уровне, и, во-вторых, отношения
8 Месарович М. Основания общей теории систем.—Общая тео-
рия систем.
разноуровневости R (A"i, А'у), где объекты А" г и объек-
ты а'] находятся на разных уровнях. Разумеется, что при
исследовании реальных иерархических систем отношения
одноуровневости могут включать большое число элемен-
тов или подсистем, а отношения разноуровневости—
охватывать компоненты, находящиеся на нескольких раз-
личных уровнях данной системы. Из этого следует, что
иерархия представляет собой сложную структуру, опре-
деляемую двумя видами отношений: R^ и R. Понятие
иерархии приобретает особую важность при исследова-
нии полиструктурных систем, особенно функционирую-
щих и развивающихся. К числу таких систем относятся
системы научного знания, анализ которых показывает,
что без четкого выделения иерархических уровней и яс-
ного понимания характера связывающих их отношений
нельзя обнаружить их закономерности и фундаменталь-
ные характеристики.
Введение понятия «иерархия» в синтагму системы
обращает внимание на связь системного подхода с эпи-
стемологией. Любая формалистическая эпистемология
предполагает идентификацию полных структур с фор-
мальными структурами и, следовательно, игнорирует со-
держательный аспект проблемы. Применительно к
иерархическим системам это приводит к невозможности
рассматривать генезис включенных в них структур в
контексте исторически определенной социальной и по-
знавательной деятельности. Ограниченность формальной
эпистемологии со всей очевидностью обнаруживается в
концепции науки, разрабатывавшейся логическим пози-
тивизмом. Представители этого направления на ранних
стадиях его развития стремились свести научные знания
к простой модели, состоящей из теоретического и эм-
пирического уровней. Знания первого уровня, выступа-
ющие в форме научных теорий, представлялись ими в
виде формальных систем, что открывало определенные
перспективы для логико-символического исследования,
но вместе с тем приводило к забвению содержательной
стороны дела. Изучение эпистемологических свойств
процедур, верификации и подтверждения, устанавливав-
ших эмпирический смысл и значение теории, оказыва-
лось чем-то внешним по отношению к формальным
структурам, выделявшимся в рамках чисто логического
анализа. Это обстоятельство послужило важнейшим
стимулом последующего пересмотра неопозитивистской
концепции науки и основанием отказа от нее. Опера-
ционалистский подход, развиваемый в рамках философ-
ского инструментализма, игнорирует глубокую органи-
ческую связь содержательной исследовательской дея-
тельности от формальных структур готового знания.
Поэтому Лакатос не без основания утверждал, что инстру-
ментализм представляет собой простую философскую
неряшливость, связанную с недостатком логической об-
разованности 9. В противоположность формалистической
эпистемологии логического позитивизма, с одной сторо-
ны, и инструментализма—с другой, в эпистемологии
диалектического материализма рассматриваются фор-
мальные и содержательные аспекты любой проблемы в
их единстве. Это позволяет распространить принятое
здесь понимание структур и иерархии не только на изу-
чение «готовых» знаний как продукта познавательной
деятельности, но и на саму эту деятельность.
3. Свойство, отношение,
преобразование и взаимодействие
систем
Чтобы завершить концептуальную «экипировку» систем-
ного подхода, необходимо рассмотреть еще вопрос о
взаимосвязи категорий «свойство» и «отношение» и свя-
занных с последней понятий «функция» и «преобразо-
вание».
В современной символической логике принято счи-
тать, что средством фиксации знаний о свойствах яв-
ляются одноместные предикатные формы вида Р (х),
Н (у) и т. п., а средствами фиксации знаний об отно-
шениях—многоместные предикатные формы вида
Р (х, у, г), Н (xi, Ха,... Хт). Здесь х, у, г, х\, Хч,... Хт
обозначают индивидные переменные, т. е. пустые места,
которые могут заполняться обозначениями индивидов 10,
а Р, Л и т. п.—символы, обозначающие некоторые не-
9 Lakatos J. History of science aud its rational reconstruction.—
"Boston studies in the philosophy of science", vol. 8. Dordrecht, 1970.
10 Термин «индивид» употребляется для обозначения любого от-
дельно взятого предмета из множества безотносительно к тому, идет
ли речь об одушевленных или неодушевленных предметах или числах.
определенные предикаты, т. е. языковые конструкции,
фиксирующие знания о свойствах и отношениях. Обыч-
но число переменных в записи той или иной предикатной
формы рассматривается как наиболее существенный ло-
гический признак, отличающий предикаты, фиксирующие
знания о свойствах, от предикатов, дающих знания об
отношениях.
Если свойство, фиксированное предикатом Р, дейст-
вительно принадлежит некоторому индивиду а, то при
подстановке названия этого индивида в соответствующую
предикатную форму Р (х) мы получим истинное вы-
сказывание Р (а). При этом должен существовать спо-
соб, позволяющий однозначно удостовериться в том, что
свойство Р действительно принадлежит индивиду а.
Аналогично, если некоторое отношение, зафиксирован-
ное в многоместном предикате Н, действительно суще-
ствует между определенным числом индивидов ai, Яз,...
а,„, то при соответствующей подстановке названий ин-
дивидов в предикатную форму Н (х\, Хч,... -к,,,) мы полу-
чим истинное высказывание Н (а\, а^,... От).
При таком понимании не только логически, но и
исторически возникает иллюзия, будто категория «свой-
ство» отражает знания об отдельных изолированных
индивидах, тогда как категория «отношение» выражает
знания о некоторых взаимосвязанных наборах индиви-
дов, ситуациях, процессах или обстоятельствах, высту-
пающих в некоторых познавательных или деятельност-
ных контекстах в качестве взаимосвязанного целого. Эта
иллюзия имеет известное основание в самой природе
человеческого познания и деятельности. То, что К. Маркс
называл восхождением от абстрактного к конкретному,
есть по существу синтез знаний о свойствах и об отно-
шениях. Последние, естественно, сложнее первых, ибо
предполагают исследование и анализ некоторых устой-
чивых многообразий.
Знания о свойствах доминировали на ранних ступе-
нях познания, в частности научного. Это соответствует
не только хорошо известному историческому факту, со-
гласно которому генезис всех видов человеческой дея-
тельности, включая познавательную, осуществляется в
форме последовательного усложнения, но и выводами
современной психологии, утверждающей в соответствии
с экспериментальными данными, что развитые формы
интеллектуальной деятельности в онто- и филогенезе
возникают лишь как надстройка над элементарными
психологическими и логическими структурами". Это об-
стоятельство нашло свое отражение в том, что атрибу-
тивная логика, т. е. логика свойств, сложилась истори-
чески раньше, чем логика отношений. Вершиной атри-
бутивной логики была, бесспорно, логика Аристоте-
ля, на два тысячелетия вперед предопределившая раз-
витие европейской логической и отчасти философской
мысли 12.
Современная наука, перенесшая центр тяжести с опи-
сания, классификации и сопоставления отдельных
свойств на изучение взаимосвязи между различными фе-
номенами и процессами, потребовала выработки аде-
кватной логики—логики отношений. Обнаружение от-
дельных элементов, я предпочел бы сказать «предчув-
ствий», логики отношений в трудах античных и
средневековых авторов имеет не большее значение, чем
стремление обнаружить дуб в желуде.
Тезис, который я намерен теперь обосновать, состоит
в утверждении, что категория «свойство» фиксирует (без
умаления степени универсальности) знания об особо
важном типе отношений. Суть дела, следовательно, за-
ключается не в том, чтобы обособить и противопоста-
вить категории «свойство» и «отношение», а в том, что-
бы исследовать их генетические и функциональные свя-
зи. Различные взаимоисключающие философские ин-
терпретации не должны затушевывать их подлинный
смысл.
" См. Пиаже Ж Избранные психологические труды. М., 1969;
Пиаже Ж; Инельдер Б. Генезис элементарных логических структур.
Классификация и сериации. М., 1963; Выготский Л. С. Избранные
психологические исследования. М., 1956.
12 Н. Бурбаки упрекает Аристотеля в том, что даже для его
времени созданная им атрибутивная логика—логика классов и сил-
логистических умозаключений не учитывала уже получивших распро-
странение в античной математике сложных познавательных структур
(см. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. Л1, 1963). Одна-
ко, и это было отмечено А, Л. Субботиным, логика Аристотеля, по-,
видимому, развивалась не как форма осмысления логических проце-
дур и норм, принятых в современной ему математике, а как фикса-
ция лопичесиих норм и правил, получивших развитие в классифика-
ционной биологии и в некоторых других отраслях античной науки,
в которых преобладали процедуры описания и классификации,свя-
занные по преимуществу с исследованием изолированных свойств
(см. Субботин А. Л. Теория силлогистики в современной формаль-
ной логике. М., 1965).
Для обоснования Выдвинутого тезиса рассмотрим
частный случай. Пусть мы имеем одноместный преди-
кат формы Р (х) (1), а именно «х красный» (/'). На
первый взгляд кажется, что он фиксирует знания о еди-
ничных изолированных предметах, скажем знания об
окраске отдельной розы. Однако хорошо известно, что
зрительные ощущения представляют собой субъективный
образ объективного мира и зависят, следовательно, не
только от физико-химической сгруктуры воспринимае-
мого предмета (х), но и от нейрофизиологической орга-
низации субъекта (у), а также от определенных усло-
вий освещения (г). Исследования, проводившиеся в те-
чение ряда последних лет, показали, что некоторые
насекомые, например пчелы, не различают красного цве-
та. Красный цвет не может быть зафиксирован и зри-
тельными органами нормального человека в сумеречном
или ночном освещении. Поэтому знание о цвете данного
предмета (розы) должно было бы выражаться в развер-
нутой форме предикатом вида: «Предмет х воспринима-
ется субъектом у как красный при условиях z» (2').
Иными словами, в развернутой форме мы получили бы
запись, имеющую символическую форму Р (х, у, z) (2),
т. е. типичную запись предиката, фиксирующего отно-
шение. При соответствующих замещениях переменных
в форме 1 и 2 мы получили бы два эквивалентных по
смыслу и значению истинных высказывания: «Роза крас-
ная» (///) и «Роза красная для (нормального) человека
при дневном освещении» (2").
Как видно, в первом случае предикат «красный»
{Р) рассматривается как одноместный и выражает свой-
ство, а во втором—как многоместный и выражает зна-
ние об отношении. Высказывания, полученные из таких
предикатов после соответствующих заполнений перемен-
ных в зависимости от значения последних, могут счи-
таться истинными или ложными. При этом каждая пе-
ременная вносит свой вклад или влияет на определение
истинности. Однако в довольно широком диапазоне, на-
пример состояний освещенности или нейрофизиологиче-
ских состояний зрительного аппарата человека, некото-
рые переменные могут и не оказывать заметного влия-
ния на значение истинности.
Например, при дневном освещении большей или
меньшей яркости, при незначительных колебаниях в со-
стоянии нервной системы наблюдателя вопрос о том,
является ли роза красной, желтой или розовой, зависит
преимущественным образом от физико-химического
строения лепестков розы. В этом смысле можно гово-
рить, что значения переменных у и г несущественны,
т. е. не оказывают заметного влияния на истинность
полученного из данной предикатной формы высказыва-
ния. Я буду обозначать несущественные значения пере-
менных, не учитываемые при определении истинности
высказывания в определенных условиях, через г/о, zd
и т. п. Таким образом, можно сказать, что при вышеука-
занных обстоятельствах предикаты Р (х) и Р (х, у, г)
могут иметь одинаковый смысл и значение, а именно
они тождественны при несущественных значениях пе-
ременных у и z. В силу этого Р (х)=Р (х, г/о, Zo) (3).
Если бы несущественными были, например, значения
переменных х и г, то предыдущее равенство не было бы
справедливым, а именно не верно, что Р (х) =Р (д-о, у, 2о)
(4).
Мы видим, что одноместный предикат представляет
собой частный случай многоместного, если все перемен-
ные, кроме единственной, входящей в запись одномест-
ного предиката, являются не существенными. В «тени»
каждого одноместного предиката, фиксирующего то или
иное свойство, скрывается более или менее заметное
отношение. Вследствие этого категория «свойство» вы-
ступает как весьма важный, но частный случай катего-
рии «отношение». Выделение индивида как предмета
исследования из совокупностей, в том числе устойчивых,
представляет собой исторически и логически исходный
пункт любого, в том числе научного, познания.
Однако на более высоких ступенях научного позна-
ния возникает настоятельная потребность реконструк-
ции свойств в отношения, и этим в значительной мере
определяется важность нашего обсуждения. Прежде
чем его закончить, я проиллюстрирую это тем, что та-
кие, например, понятия о свойствах, как «твердый»,
«четный», «большой» и т. д., при более глубоком рас-
смотрении оказываются понятиями об отношениях.
1. Твердым обычно считается тело, не меняющее свою
геометрическую форму при тех или иных перемещениях
в пространстве или под влиянием определенных физи-
ческих воздействий. В действительности свойство «быть
твердым» может быть представлено через ряд отноше-
ний. Тело называется твердым, если при любых пере-
меЩениях расстояние между его произвольными точка-
ми х\ и ^2 остается постоянным. Строго говоря, это
очень сильное утверждение относится не к реальным
физическим телам, а к абстракции «абсолютно твердое
тело», фиксирующей некоторые воображаемые феноме-
ны. Такие абстракции оказываются чрезвычайно важ-
ными при рассмотрении ситуаций, возникающих, напри-
мер, в специальной теории относительности.
Для реальных физических твердых тел это требова-
ние невыполнимо, так как ионы, атомы или молекулы,
образующие узлы кристаллических решеток, всегда со-
вершают некоторые колебательные движения. Ослабив
принятое определение твердого тела и считая, что рас-
стояние между х\ и -Со может меняться для реальных
физических тел в каком-то, как правило, незначитель-
ном диапазоне, мы все же вынуждены признать, что
имеем дело с некоторым геометрическим отношением
между точками тела. Другое отношение, точнее, набор
отношений обнаруживается, коль скоро мы замечаем,
что всякое пространственное перемещение предполагает
вместе с тем и некоторое протекание времени. Здесь
выявляется отношение пространственных координат те-
ла к временным координатам, без чего вообще в грани-
цах классической механики невозможно описать движе-
ние. Еще одно утверждение, входящее в определение,
связано с воздействием других тел или полей на данное
тело, а следовательно, подразумевает известные отно-
шения между ними. Таким образом, свойство «быть
твердым» реконструируется как набор отношений с
определенной структурой, включающей формальные и
содержательные моменты.
2. Свойство четности обычно приписывается отдель-
ным числам: «б—четное число», «936—четное число»
и т. д. В действительности это свойство фиксирует част-
ный вариант делимости чисел без остатка. Определение
четности может быть получено на основе критерия
«х делится на у без остатка при условии, что у раз и
навсегда приравнивается к двум» (т. е. значение у
фиксировано).
3. Свойство «быть тяжелым» обычно также представ-
ляет собой свернутую форму ряда отношений. С точки
зрения современной физики рациональная реконструк-
ция этих отношений предполагает выделение ряда спе-
циальных понятий: «масса», «притяжение», «ускоре-
ние»—и установление математических отношений меж-
ду ними, а также сравнение численных значений неко-
торых величин, приписываемых определенным наборам
тел.
Так, если в ряду разновесков, используемых при
взвешивании на рычажных весах, один оказывается тя-
желее остальных и перетягивает скрепленное с ним пле-
чо коромысла, то этот разновесок называется тяжелым.
Строго говоря, здесь предикатная форма «х тяжелый»
фиксирует ряд отношений, в которых данный разнове-
сок оказывается тяжелее других. В ином наборе раз-
новесков он может оказаться легче остальных. Таким
образом, свойство «быть тяжелым» в процессе рацио-
нальной реконструкции сначала должно быть понято
как фиксация некоторых ситуаций взвешиваний (весо-
вых отношений), а затем как сокращенное обозначение
для целой серии отношений, устанавливаемых опреде-
ленной физической теорией. Таков ход развития многих
понятий в истории науки.
Все приведенные выше примеры не только иллюст-
рируют особую зависимость между категориями «свой-
ство» и «отношение», но и обнаруживают их глубокую
связь с понятием системы и системно-структурным ана-
лизом. Дело в том, что устойчивое, повторяющееся ре-
гулярное отношение выделяется и познается в рамках
некоторых более или менее определенных систем. Это
могут быть системы чисел, физических тел, социальные
системы и др. Но какими бы ни были эти системы, вы-
деленные в них отношения, а следовательно, и свойства
либо не применимы к другим системам, либо понятия,
фиксирующие их, при переходе от одних систем к дру-
гим в известных границах меняют смысл и значение.
Выявление этих изменений—одна из центральных задач
эпистемологии и методологии научного исследования.
Чтобы завершить описание концептуального аппара-
та системно-структурного подхода, остается охаракте-
ризовать понятия функции и преобразования. Функции
представляют собой особый и притом чрезвычайно важ-
ный вид отношений. Поскольку понятие функции широ-
ко эксплуатируется в современной научной литературе,
оно утратило свою первоначальную математическую
строгость. Стремясь показать, с какой смысловой на-
грузкой это понятие используется в данной работе, я не
пытаюсь дать математически безукоризненное его опре-
деление и отсылаю интересующегося читателя к специ-
альным математическим трудам 13.
Функции, как и все отношения, представляют собой
множества, составленные из двух, трех, четырех и во-
обще п элементов. Простейшими функциями являются
бинарные, обычно записываемые в виде xFy или y=F(x).
Запись второго вида более широко распространена в
математике. Отличительный признак бинарных функ-
ций состоит в том, что они есть упорядоченные пары,
причем такие, что для любых двух различающихся пар
первые элементы также являются различными; в про-
тивном случае пары не различаются. Это определение
может быть расширено на га-мерные функции. Если два
упорядоченных п-мерных набора из множества га-мерных
наборов, для которых определена функция F, различны,
то среди первых п—1 элементов в каждом из этих на-
боров имеется по крайней мере по одному несовпадаю-
щему элементу.
Если имеются два различных непустых множества Х
(состоящее из элементов х\, Хч,... Хп) и У (состоящее
соответственно из у\, уч,... Ут), то говорят, что функция
y=f(x) переводит элементы Х в элементы У или пере-
рабатывает элементы первого множества в элементы
второго, или отображает элементы первого в элементы
второго и т. д. Я привожу эти синонимы, ибо их упо-
требление часто освобождает от некоторых стилистиче-
ских неудобств. Функцию часто представляют, как пра-
вило, или как закон, или, если угодно, рецепт, позволя-
ющий приводить в соответствие элементы одного
множества элементам другого. В математике такие прави-
ла, или законы обычно выражают в форме графиков,
таблиц или аналитических формул. Описание и фор-
мулирование функций в виде математических правил и
вычислительных процедур позволяют широко применять
математические методы во всех случаях, когда удается
точно и адекватно выразить функции в математической
форме. Однако даже в тех весьма многочисленных слу-
чаях, когда это не удается, исследование функций и
функциональных зависимостей открывает большие воз-
можности для уяснения более глубоких и структурных
особенностей исследуемых объектов. Когда удается об-