Восьмеричная система счисления

Цифры и числа

Система счисления - это способ записи чисел при помощи письменных знаков. Системы счисления бывают позиционные, непозиционные и смешанные.

Позиционные системы счисления

Цифры и основание системы счисления

В позиционных системах счисления для записи чисел используются числовые знаки, они же - цифры.

Всем привычная десятичная система счисления - позиционная. Двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная системы счисления - это тоже позиционные системы счисления.

Позиционные системы счисления различаются между собой количеством используемых в них цифр. Например, в десятичной системе счисления используется десять цифр от 0 до 9. Собственно, система счисления называется десятичной потому, что в ней используется десять цифр. В двоичной - как следует из названия - используется только две цифры - это 0 и 1. В восьмеричной - восемь цифр от 0 до 7. Количество используемых в системе счисления цифр называется основанием системы счисления.

Если основание системы счисления больше 10, то обычно используют буквы латинского алфавита, начиная с A. Так, в шестнадцатеричной системе счисления для записи чисел используются десятичные цифры от 0 до 9 (10 символов) и буквы от А до F (плюс ещё 6 недостающих символов) - всего шестнадцать разных цифр. Когда буквы используются при записи числа, то они тоже называются цифрами - например, цифра “A”.

Обычно из контекста понятно, в какой системе счисления записано число. Например, если Вы читаете новости на каком-нибудь сайте, и там написано, что «учёные установили, что длина экватора Земли равна примерно 40075.7 км», то Вам врядли покажется, что это число в восьмеричной или в шестнадцатеричной системе счисления. Обычно все числа записываются в десятичной системе счисления - и в данном случае по умолчанию считается, что число тоже записано в десятичной системе счисления.

Но в некоторых случаях, чаще всего, когда используются числа в разных системах счисления, важно знать, в какой системе счисления записано это число. Чтобы отличать основания систем счисления, это основание записывается как нижний индекс после числа. Например “40075.7₁₀” - означает явно, что это число записано в десятичной системе счисления. Если бы было записано так: “40075.7₈”, то это число следовало бы интерпретировать как число в восьмеричной системе счисления.

Десятичная система счисления

Одна и та же цифра в позиционной системе счисления имеет разное значение в зависимости от того, где эта цифра находится в числе.

Например, число 175.3₁₀ в десятичной системе счисления содержит в себе четыре цифры - 1, 7, 5 и 3. В этом числе 3 - это десятые доли, 5 - это количество единиц, 7 - это количество десятков, а 1 - это количество сотен. Если перед единицей дописать ещё цифру, то это будут уже тысячи.

Значение, которое добавляет цифра в десятичной системе счисления во всё число, определяется по формуле: 10^{позиция}. Позиции нумеруются начиная с нуля, причём цифра, стоящая непосредственно перед десятичной точкой, всегда считается нулевой позицией. Влево номер позиции увеличивается, а вправо - уменьшается.

Перемножив и сложив, мы получим, собственно само число: 1*100+7*10+5+3/10=175.3₁₀.

Эта формула справедлива для абсолютно любых позиционных систем счисления, только в каждой системе счисления вместо 10 подставляется своё основание.

Восьмеричная система счисления

Например, в восьмеричной системе счисления число 327.4₈ - означает 3 64-ки, 2 восьмёрки, 7 единиц и 4 восьмых долей (то есть, в десятичной это было бы число 64*3+2*8+7+4/8=219.5₁₀):