Пусть Y – событие, состоящее в приеме кодовой комбинации 10110101, которая выбрана нами в качестве примера. Так как, какая из двух команд передана, нам неизвестна, поэтому будем рассматривать две гипотезы (предположения): Н 1 – была передана команда 1 управления и Н 2 – была передана команда 2 управления, кодовые комбинации х 8 х 7 х 6 х 5 х 4 х 3 х 2 х 1 которых, например, равны соответственно: 11111111 и 00000000.
Допустим, что согласно условию нашей задачи, априори (т.е. до получения конкретной комбинации Y) значения вероятностей этих гипотез нам известны и равны, например: Р(Н 1 ) = р п1 = 0,7; Р(Н 2 ) = р п2 = 0,3. Сравнивая поразрядно значения символов y i принятой комбинации со значениями соответствующих символов х i гипотетически переданной комбинации, можно найти условную вероятность того, что принятая кодовая комбинация есть искаженная гипотетически переданная кодовая комбинация. Если при сравнении значений двух одноименных разрядов с индексом i имеет место равенство y i = х i, то, следовательно, искажение значения символа данного разряда отсутствует, а вероятность этого события согласно заданному условию равна р с. Если же при сравнении имеет место неравенство значений y i ≠ х i, то это говорит об искажении значения данного символа в процессе его передачи по каналу связи под воздействием помех, а вероятность данного события равна q с = (1 - р с). Последовательно перемножая вероятности этих событий по результатам сравнения, получим искомое значение условной вероятности той или иной гипотезы.
Так, например, в нашем случае условная вероятность приема искаженной кодовой комбинации 10110101 вместо 11111111 равна:
Р (Y /Н 1) = р с ∙ q с ∙ р с ∙ р с ∙ q с ∙ р с ∙ q с ∙ р с = 0,6∙0,4∙0,6∙0,6∙0,4∙0,6∙0,4∙0,6 = 0,004977.
Аналогично условная вероятность приема искаженной кодовой комбинации 10110101 вместо 00000000 равна
Р (Y /Н 2) = q с ∙ р с ∙ q с ∙ q с ∙ р с ∙ q с ∙ р с ∙ q с = 0,4∙0,6∙0,4∙0,4∙0,6∙0,4∙0,6∙0,4 = 0,002212.
Решение о том, какая команда была передана, принимается на основе анализа результатов расчета условных вероятностей случайных событий по формулам Байеса с использованием значений полученных нами ранее апостериорных (т.е. после получения кодовой комбинации Y) вероятностей Р (Y /Н 1) и Р (Y /Н 2) гипотез (Н 1 и Н 2):
.
Сравнивая найденные условные вероятности, приходим к заключению, что при появлении на выходе комбинации 10110101 с вероятностью 0,84 была передана команда 1, которой по условию соответствует кодовая комбинация 11111111.
Чтобы составить требуемую принятую кодовую комбинацию Y двоичного кода необходимо проставить веса всех восьми его единичных разрядов, которые представляют собой десятеричные эквиваленты единичных разрядов. Для этого необходимо взять 8-разрядную кодовую комбинацию двоичного кода, состоящую из одних единиц: 1 1 1 1 1 1 1 1 и проставлять веса единичных разрядов, которые равны 2n-1, начиная с первого левого (младшего) разряда и кончая восьмым правым (старшим) разрядом, где – n – есть текущий номер разряда:
27 26 25 24 23 22 21 20 = 128 64 32 16 8 4 2 1.
Десятеричный эквивалент двоичного числа равен сумме весов всех его единичных разрядов, т.е. 111111112 = 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 25510.
По условию задачи ваши три последние цифры шифра представляют собой десятеричный эквивалент вашей кодовой комбинации. Вам остается только набрать в сумме из весов единичных разрядов (веса не должны повторяться) ваше трехразрядное число. Те номера разрядов, веса которых вы использовали, должны иметь в вашей кодовой комбинации единичные значения, а остальные разряды иметь нулевые значения.
Примеры. 1. Допустим, три последних цифры вашего шифра имеют нулевые значения, 00010. При отсутствии значащих цифр все разряды имеют нулевые значения: 00010 = 000000002.
2. 00110 = 1 (вес у 1) = 000000012
3. 01110 = 8 (вес у 4) + 2 (вес у 2) + 1 (вес у 1) = 000010112.
4. 11110 = 64 (вес у 7) + 32 (вес у 6) + 8 (вес у 4) + 4 (вес у 3) + 2 (вес у 2) + 1 (вес у 1) = 011011112.
Примечание. Индексы 10 и 2 указывают на основание системы счисления, в которой представлено число, соответственно, в десятичной или двоичной системах счисления.