Правило определения поперечной силы Q

Изгиб

Деформация изгиба связана с искривлением оси бруса.

 

Рис.1

 

Брус, работающий на изгиб, называется балкой (рис.1). Изгиб бывает прямой и косой.

Изгиб называется прямым, если внешние силы, перпендикулярные оси балки, действуют в плоскости, проходящей через ось балки и одну из главных центральных осей поперечного сечения (рис.2)

Рис.2

 

В задачах рассматриваются балки, испытывающие деформацию прямого изгиба. При прямом изгибе в поперечных сечениях балки возникают два силовых фактора:Q – поперечная сила, М_и – изгибающий момент. Внутренние силовые факторы определяются с помощью метода сечения

 

Рис.3

Проводим сечение на расстоянии z от точки приложения силы F,

отбрасываем мысленно одну часть и рассматриваем равновесие оставшейся части (рис.3).

При равновесии этой части балки в сечении возникает сила, равная по величине силе F, направленная в противоположную ей сторону. Это сила Q – поперечная сила, она расположена в плоскости сечения. Силы Q и F образуют пару сил. Момент, возникающий в сечении, должен уравновесить действие пары сил, этот момент называется изгибающим – М_и (рис.4)

рис.4

 

Правило определения поперечной силы Q

 

Поперечная сила Q равна алгебраической сумме проекций на ось y внешних сил, расположенных по одну сторону от сечения. Сила дает составляющую со знаком (+), если она стремится повернуть рассматриваемый элемент по часовой стрелке относительно сечения, с (-), если против часовой стрелки (рис.5).

рис. 6

 

 

Правило определения изгибающего момента М_и

Изгибающий момент, в каком либо сечении балки равен алгебраической сумме моментов внешних сил, расположенных по одну сторону от сечения, относительно центра тяжести сечения. Момент внешней силы берется со знаком (+), если сила стремится прогнуть балку относительно сечения выпуклостью вниз, берется со знаком (-), если выпуклостью вверх (рис.7).

 

 

М_и

 

рис.7

Особенности эпюр Q и М_и

 

1. На эпюре Q будет скачок в тех сечениях, где приложены внешние силы. Скачок равен величине внешней силы.

2. На участках, где нет сил, эпюра Q будет представлена прямой, параллельной нулевой линии.

3. На участках, где приложена распределенная нагрузка, эпюра – прямая наклонная линия, ее строить надо по двум крайним точкам.

4. В сечениях, где приложен внешний момент, на эпюре Q никаких изменений не будет.

5. На участках, где нет сил, эпюра М_и изображается прямой, наклонной к нулевой линии. Строить ее надо по крайним точкам участка.

6. В сечениях, где приложен внешний момент, на эпюре М_и будет скачок, равный по величине этому моменту. В этом сечении надо определять два значения М_и - без учета внешнего момента, с учетом внешнего момента.

7. На участках, где действует распределенная нагрузка, на эпюре – парабола. При построении эпюры следует учесть то, что выпуклость параболы всегда направлена навстречу стрелкам нагрузки.

8. Если на конце балки не приложен внешний момент, то изгибающий момент в этой точке равен нулю.

В задачах после построения эпюр производятся расчеты из условия прочности на изгиб по определению размеров сечений балок.

 

Для сечений стандартных профилей сечений (двутавр, швеллер) значения W_x заданы в таблицах ГОСТ (таблицы имеются в конце методички).

 

 

Рис.6.8

 

При построении эпюр Q и М договоримся на эпюре Q положительные значения откладывать сверху нулевой линии. На эпюре М у строителей принято откладывать положительные ординаты снизу. Такое правило построения эпюры М называется построением эпюры со стороны растянутых волокон, т. е. положительные значения М откладываются в сторону выпуклости изогнутой балки.

Рассмотрим для простоты балку с прямоугольным поперечным сечением (рис.6.9). Следуя методу сечений, мысленно проведем разрез и отбросим какую-либо часть балки, а другую оставим. На оставшейся части покажем действующие на нее силы и в поперечном сечении – внутренние силовые факторы, которые являются результатом приведения к центру сечения сил, действующих на отброшенную часть. Учитывая, что внешние силы и распределенные нагрузки лежат в одной плоскости и действуют перпендикулярно оси балки, в сечении получим поперечную силу Q _y и изгибающий момент M _x. Эти внутренние силовые факторы заранее неизвестны, поэтому их показывают в положительном направлении в соответствии с принятыми правилами знаков.

Рис.6.9

 

На рис.6.9 показаны два случая оставшейся части: левая и правая.

Для определения величины Q _y и M _x составляются два уравнения равновесия для оставшейся части

Изгибающий момент M _x, действующий в поперечном сечении балки, по величине равен сумме моментов всех внешних сил, приложенных к рассматриваемой отсеченной части бруса, относительно центральной оси x этого сечения:

Если внешняя сила в данном сечении растягивает нижние волокна балки, то момент этой силы в этом сечении считается положительным, если растягиваются верхние волокна балки, то момент этой силы будет отрицательным.

Поперечная сила Q _y в сечении бруса, по величине равна сумме проекций всех внешних сил, действующих на отсеченную часть бруса, на ось перпендикулярную оси бруса (ось y):

Уравнение момента составляется относительно оси Х, проходящей в поперечном сечении через точку на оси балки – тогда поперечная сила в уравнение не входит и величина M _x определяется независимо от Q _y. Можно доказать, что результат вычислений Q _y и M _x не зависит от того, равновесие какой оставшейся части рассматривается.

Рассмотрим характерный пример (рис. 6.10, а) и установим не­обходимые правила. Решение задачи, как правило, начинается с определения полной системы внешних сил. Для этого отбросим опоры и заменим их соответствующими реакциями (рис. 6.10, б), выполняющими ту же роль, что и опорные закрепления.

Заданная система статически определима, следовательно, из ус­ловий равновесия системы, т.е. равенства нулю суммы моментов всех сил относительно шарнирных опор (в шарнирах нет ограниче­ний поворота сечений балки, поэтому изгибающих моментов не возникает) и , определяем вертикальные реакции в опорах:

Для определения имеем: откуда . Для проверки правильности вычислений воспользуемся усло­вием равенства нулю суммы всех вертикальных сил откуда получим

0 = 0.

Рис. 6.10

 

Для определения внутренних силовых факторов - изгибающего момента М (z) и поперечной силы Q (z) как функций от продоль­ной координаты z, воспользуемся методом сечений. Для полу­чения этих зависимостей балку разбивают на участки, границами которых являются следующие точки: начало и конец балки; точки приложения сосредоточенных усилий; начало и конец действия распределенных усилий; сечения, в которых скачкообразно изменя­ется жесткость балки; в точках, где происходит изменение ориен­тации элементов, если имеем дело с стержневой системой со сложной структурой.

Заданная система состоит из двух участков - первого (0≤z≤a) и второго (a≤z≤a+b). Следовательно, задавая последовательно сечения, принадлежащие к первому и второму участкам, и рассмат­ривая равновесие отсеченных частей системы при действии на них всех внешних сил и внутренних уси­лий, определим выражения для внутренних сило­вых факторов.

Из условия равновесия отсеченной части системы, расположенной левее от сечения z ₁ (первый участок), (см. рис. 6.10, в), получим:

Для определения Q _y и M _x на втором участке рассмотрим рав­новесие отсеченной части балки, расположенной правее от сечения z₂ (см. рис. 6.10, б), т.е. откуда и определим:

Эпюры Q _y и M _x изображены на рис. 6.11. Заметим, что эпюры изгибающих моментов M _x, как и поперечных сил Q _y строятся на оси бруса, однако в отличие от эпюры поперечных сил знак момента не указывается, а ординаты изгибающего момента откла­дываются co стороны растянутых волокон.

Рис. 6.11