Сила давления жидкости на вертикальную пластинку.

Лекция 16

Тема: Применение интеграла к решению прикладных задач.

Содержание:

Площадь плоской фигуры

Геометрический смысл производной

Рис. 1

Геометрический смысл определённого интеграла заключается в нахождении площади криволинейной трапеции по формуле Ньютона-Лейбница (рис. 1)

Формула Ньютона-Лейбница:

Случаи.

Рис. 2

Если - чётная функция, то (рис. 2)

Рис. 3

Если криволинейная трапеция находится ниже оси , то (рис. 3)

Рис. 4

(рис. 4)

Рис. 5

(рис. 5)

Пример 1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: и (рис. 6).

Рис. 6

Решение:

Пример 2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: и (рис. 7)

 

Рис. 7

Решение:

Объём тела вращения

Формула для вычисления объёма тела, вращаемого вокруг оси

Пример 3. Вычислите объём тела, получаемого вращением вокруг оси функции , в промежутке от 1 до 3 (рис. 8)

Рис. 8

Решение:

Физический смысл определённого интеграла.

Физический смысл производной: Скорость есть производная от пути.

Физический смысл определённого интеграла: Путь есть интеграл от скорости по времени:

Пример 4. Тело движется прямолинейно и его скорость задаётся формулой Определите путь, пройденный этим телом за 3 секунды, за третью секунду.

Решение:

Пример 5. Определите путь тела от начала движения до остановки, если его скорость определяется формулой

Решение:

Если тело остановилось, то его скорость

Работа силы при прямолинейном движении.

Если сила, действующая на тело, является величиной постоянной, то работа, совершаемая под действием этой силы, вычисляется по формуле .

Если же сила представляет из себя некоторую переменную величину, описываемую формулой , то формула вычисления работы меняется: , где - работа (Дж), - функция силы (Н), и - пределы перемещения тела (м).

Работа, затраченная на сжатие (растяжение) пружины.

Сжатие (растяжение) пружины происходит прямолинейно и направление не важно, если мы рассчитываем численное значение работы (частный случай формулы из п.4).

Закон Гука позволяет вычислить силу по формуле , где - сила, действующая на пружину (Н), - коэффициент жёсткости пружины (зависит только от материала, из которого сделана пружина - ), - величина сжатия (растяжения) пружины (м).

Тогда, работа по сжатию (растяжению) пружины вычисляется по формуле: .

Пример 6. Сила в 60Н растягивает пружину на 6см. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть пружину на 3см?

Решение:

Сила давления жидкости на вертикальную пластинку.

Если пластинка опущена в жидкость горизонтально, то в каждой её точке сила давления одинакова и в целом на пластинку вычисляется по формуле: , где - сила давления (Н), - плотность жидкости (), - ускорение свободного падения , - высота столба жидкости над пластинкой (м), - площадь пластинки (м²).

Если же пластинка опущена в жидкость вертикально, то сила, действующая на каждую точку этой пластинки различна (чем глубже – тем больше), и тогда формула для вычисления силы давления изменяется: (рис. 9)

Рис. 9

Пример 7. Вычислите силу давления пресной воды на вертикальную прямоугольную пластинку, основание которой 4м, высота 2м, если верхний уровень пластинки находится на 1м ниже поверхности воды (рис. 10)

Рис. 10

Решение: