Алгоритмы решения задачи выбора стратегии.

Существует целый ряд критериев, позволяющих осуществлять выбор стратегии в условиях риска: критерий Байеса-Лапласа, расширенный максиминный критерий, критерий Ходжа–Лемана, критерий Гермейера и др.

Критерий Байеса-Лапласа. Данный критерий учитывает вероятность q_j проявления внешнего состояния Y_j. Математически этот критерий можно записать следующим образом:

Алгоритм выбора решения: матрица решений дополняется столбцом из математических ожиданий значений каждой из строк матрицы (сумма произведений элемента матрицы и вероятности события для каждого столбца). Затем из совокупности этих элементов определяется максимальный.

q₁=0,2 q₂=0,5 q₃=0,3

В соответствии с критерием Байеса-Лапласа наилучшей является стратегия №1, позволяющая найти вариант обеспечивающий максимальное получение прибыли с учетом вероятности наступления каждого из трех возможных исходов.

Расширенный максиминный критерий. Данный критерий определяет долгосрочную стратегию осторожного игрока. Позволяет наряду с вероятностью наступления исходов учесть вероятность применения той или иной стратегии. Математически этот критерий можно записать следующим образом:

Алгоритм выбора решения: формируется новая матрица путем нахождения произведения значений элементов исходной матрицы, вероятности исхода (q_j) и вероятности выбора стратегии (p_i). Затем для каждой строки новой матрицы выбирается минимальный элемент, а из совокупности этих элементов определяется максимальный.

q₁=0,2 q₂=0,5 q₃=0,3

В соответствии с расширенным максиминным критерием наилучшей является стратегия №4, позволяющая найти вариант, обеспечивающий максимальное получение прибыли в самых неблагоприятных условиях.

Критерий Ходжа–Лемана. С помощью параметра γ в этом критерии оценивается степень доверия к используемому распределению вероятностей. Математически этот критерий можно записать следующим образом:

Алгоритм выбора решения: находится сумма произведений математических ожиданий значений каждой из строк матрицы с коэффициентом доверия γ и минимальных элементов каждой строки с разницей между единицей и коэффициентом доверия γ. Затем из совокупности этих элементов определяется максимальный.

q₁=0,2 q₂=0,5 q₃=0,3 M[r_ij] при γ=0,2

В соответствии с критерием Ходжа–Лемана наилучшей является стратегия №3, позволяющая найти вариант, обеспечивающий максимальное получение прибыли с учетом степени доверия к используемому распределению вероятностей.

Критерий Гермейера. Данный критерий оценивает возможные величины потерь. При использовании данного критерия исходную матрицу необходимо преобразовать в матрицу, в которой все элементы имеют отрицательное значение (из каждого элемента вычитается любое число, большее максимального из всех элементов). Математически этот критерий можно записать следующим образом:

Алгоритм выбора решения: матрица решений (А) преобразуется в матрицу P₀ с отрицательными элементами (преобразование матрицы происходило путем вычитания каждого элемента из 30). Затем формируется матрица P₁, элементы которой рассчитываются как произведение текущего элемента преобразованной матрицы P₀ и вероятности состояния Y_j. Затем в каждой строке находится минимальный элемент, а из совокупности этих элементов определяется максимальный.

q₁=0,2 q₂=0,5 q₃=0,3 q₁=0,2 q₂=0,5 q₃=0,3

В соответствии с критерием Гермейера наилучшей является стратегия №1, позволяющая найти вариант, обеспечивающий минимизацию возможных потерь.

Задание для самостоятельной работы

Используя исходные данные вариантов раздела 3.3.1. настоящего учебного пособия, выбрать наилучшие стратегии развития системы по критериям: Байеса-Лапласа, расширенного максиминного, Ходжа-Лемана, Гермейера.

Задана следующая вероятность наступления исходов: q₁=0,25; q₂=0,60; q₃=0,15.

При применении расширенного максиминного критерия использовать следующие вероятности выбора стратегий: p₁=0,10; p₂=0,15; p₃=0,25; p₄=0,35; p₅=0,15.

При выборе стратегии с помощью Критерий Ходжа–Лемана степень доверия к используемому распределению вероятностей оценивается на уровне γ=0,35.

Вопросы для самоконтроля

1. Запишите формулу выбора стратегии по критерию Байеса-Лапласа.

2. Раскройте алгоритм выбора стратегии по критерию Байеса-Лапласа.

3. Запишите формулу выбора стратегии по расширенному максиминному критерию.

4. Раскройте алгоритм выбора стратегии по расширенному максиминному критерию.

5. Запишите формулу выбора стратегии по критерию Ходжа-Лемана.

6. Раскройте алгоритм выбора стратегии по критерию Ходжа-Лемана.

7. Запишите формулу выбора стратегии по критерию Гермейера.

8. Раскройте алгоритм выбора стратегии по критерию Гермейера.