Любое смешанное число получается в результате выделения целой части в неправильной дроби. Например, рассмотрим неправильную дробь 
. Если выделить в ней целую часть, то получается 
Но возможен и обратный процесс — любое смешанное число можно перевести в неправильную дробь. Для этого, целую часть надо умножить на знаменатель дробной части и прибавить к числителю дробной части. Полученное число будет числителем новой дроби, а знаменатель остаётся прежним.
Например, переведём смешанное число в неправильную дробь. Умножаем целую часть 2 на знаменатель дробной части 3:
2 × 3 = 6
Затем, к 6 прибавляем числитель дробной части 1:
6 + 1 = 7
Полученная семёрка будет числителем новой дроби, а знаменатель останется прежним:
Подробное решение выглядит так:
А с помощью переменных перевод смешанного числа в неправильную дробь можно записать так:
Пример 2. Перевести смешанное число 
в неправильную дробь.
Умножаем целую часть смешанного числа на знаменатель дробной части и прибавляем к числителю дробной части, а знаменатель оставляем прежним:
Основное свойство дроби
Основное свойство дроби говорит о том, что если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то получится равная ей дробь. Что это значит? Это значит, что значение дроби не изменится.
Например, рассмотрим дробь 
. Умножим её числитель и знаменатель на одно и то же число, например на число 2:
Получили новую дробь 
. Если верить основному свойству дроби, то дроби и равны между собой. Так ли это? Давайте проверим, нарисовав эти дроби в виде кусочков пиццы:
Посмотрите внимательно на эти два рисунка. Первый рисунок иллюстрирует дробь (один кусок из двух), а второй иллюстрирует дробь (два куска из четырёх). Если хорошо присмотреться на эти куски, то можно убедиться, что у них одинаковые размеры. Различие лишь в том, что разделаны они по-разному. Первая пицца была разделана на два куска, и оттуда взяли один кусок. А вторая пицца была разделана на четыре куска, и оттуда взяли два куска.
Поэтому, между дробями и можно поставить знак равенства (=) потому что эти дроби несут одно и то же значение. Другими словами, они равны:
Теперь испытаем основное свойство дроби, разделив числитель и знаменатель на одно и то же число.
Рассмотрим дробь 
. Давайте разделим её числитель и знаменатель на одно и то же число, например на число 2:
Получили новую дробь . Если верить основному свойству дроби, то дроби и равны между собой. Так ли это? Давайте проверим, нарисовав эти дроби в виде кусочков пиццы:
Посмотрите внимательно на эти два рисунка. Первый рисунок иллюстрирует дробь (четыре куска из восьми), а второй иллюстрирует дробь (два куска из четырёх). Если хорошо присмотреться на эти куски, то можно убедиться, что у них одинаковые размеры. Различие лишь в том, что разделаны они по-разному. Первая пицца была разделана на восемь кусков, и оттуда взяли четыре куска. А вторая пицца была разделана на четыре куска, и оттуда взяли два куска.
Поэтому, между дробями и можно поставить знак равенства (=) потому что эти дроби несут одно и то же значение. Другими словами, они равны:
Теперь мы полностью проверили, как работает основное свойство дроби, и убедились, что работает оно замечательно.
Число, на которое умножается числитель и знаменатель, называется дополнительным множителем. Запомните это обязательно!
Сокращение дробей
Дроби можно сокращать. Сократить — значит сделать дробь короче и проще для восприятия. Например, дробь выглядит намного проще и красивее, чем дробь 
.
Если при решении задач и примеров получается большая некрасивая дробь, то нужно пытаться её сократить.
Сокращение дроби опирается на основное свойство дроби. Поэтому, прежде чем изучать сокращение дробей, обязательно изучите основное свойство дроби.
Деление числителя и знаменателя на общий делитель называется сокращением дроби.
Пример 1. Сократим дробь 
. Надо разделить числитель и знаменатель на наибольший общий делитель чисел 2 и 4.
В данном случае, дробь простая и для неё НОД ищется легко. НОД { 2 и 4 } это 2. Значит числитель и знаменатель дроби надо разделить на двойку. Итак, делим числитель и знаменатель на 2:
Пример 2. Сократим дробь . Чтобы сократить эту дробь, нужно числитель и знаменатель этой дроби разделить на наибольший общий делитель чисел 20 и 40. НОД { 20 и 40 } это 20. Значит делим числитель и знаменатель дроби на 20:
Пример 3. Сократим дробь 
. Чтобы сократить эту дробь, нужно числитель и знаменатель этой дроби разделить на наибольший общий делитель чисел 32 и 36. НОД { 32 и 36 } это 4. Значит делим числитель и знаменатель дроби на 4:
Если в числителе и знаменателе стоят простые числа, то такую дробь сократить нельзя — она не сокращается. Такие дроби называют несократимыми. Например, следующие дроби являются несократимыми:
Напомним, что простыми называются числа, которые делятся только на единицу и самих себя.