Содержание отчета. Порядок выполнения работы

Таблица 1.1

Номер	Фактор		Отклик
	х1	х2	у
	-1	-1	у1
	+1	-1	у2
	-1	+1	у3
	+1	+1	у4

 

Сформированный подобным образом план эксперимента называется двухуровневым полным факторным экспериментом (ПФЭ) типа 2^k. Для его построения можно воспользоваться следующим приемом: в первом столбце знаки меняются поочередно, во втором — чередуются через два, в третьем — через четыре, в четвертом — через восемь и т.д.

План, соответствующий построенной таким образом матрице планирования (МП), обладает следующими свойствами:

1) симметричность относительно центра эксперимента — алгебраическая сумма элементов вектор-столбца каждого фактора равна нулю:

åx⁽ⁱ⁾_j=0, i=1,..,N, j=1,..,k;

2) условие нормировки — сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов:

å (x⁽ⁱ⁾_j)²=N, i=1,,N, j=1,..,k

3) ортогональность матрицы — скалярное произведение любых двух векторов-столбцов матрицы равна нулю:

åx⁽ⁱ⁾_j* x⁽ⁱ⁾_u =0, j¹u, i=1,,N, j, u=1,..,k.

 

Полный факторный эксперимент дает возможность вычислить независимо оценки коэффициентов, соответствующие не только линейной части модели (1.1), но и эффектам взаимодействия. Во многих практических задачах влияние взаимодействий (произведений факторов) второго и более высоких порядков отсутствует или пренебрежимо мало. Кроме того, на первых этапах исследования часто достаточно получить в первом приближении лишь линейную аппроксимацию изучаемого уравнения связи при минимальном количестве опытов. Поэтому неэффективно использовать ПФЭ для оценивания коэффициентов лишь при линейных членах и некоторых парных произведениях из-за избыточного числа точек плана (2^k), в особенности при большом числе факторов k (для определения (k+1) коэффициентов линейной модели достаточно (k + 1) точек плана эксперимента).

Дробным факторным экспериментом (ДФЭ) называется эксперимент, реализующий часть (дробную реплику) полного факторного эксперимента. Он позволяет получить, например, линейное приближение искомой функциональной зависимости М{у} = j(х) в некоторой небольшой окрестности точки базового режима при меньшем числе опытов.

Так, для решения трехфакторной (k = 3) задачи определения регрессии в линейном приближении можно ограничиться четырьмя вариантами варьирования, если для плана ПФЭ типа 2² переменных х ₁, х ₂ произведение х ₁, х ₂ приравнять третьему независимому фактору х ₃. Использование матрицы планирования, представленной в табл. 1.2, позволяет найти свободный член b₀ и три оценки коэффициентов регрессии при линейных членах b₁, b₂, b₃ (из четырех опытов нельзя получить более четырех оценок коэффициентов регрессии).

 

Таблица 1.2

n	X0	X1	X2	X3	X1 X2	X1 X3	X2 X3	X1X2X3
	+1	-1	-1	+1	+1	-1	-1	+1
	+1	+1	-1	-1	-1	-1	+1	+1
	+1	-1	+1	-1	-1	+1	-1	+1
	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1

 

Применение ДФЭ всегда связано со смешиванием, т.е. с совместным оцениванием нескольких теоретических коэффициентов математической модели. В рассматриваемом случае каждый из найденных коэффициентов b₁ включает в себя оценки двух теоретических коэффициентов регрессии:

b₀®b₀+b₁₂₃; b₁®b₁+b₂₃; b₂®b₂+b₁₃; b₃®b₃+b₁₂;

Действительно, указанные теоретические коэффициенты в таком планировании не могут быть найдены раздельно, поскольку столбцы МП для линейных членов и парных произведений совпадают (полностью коррелированы). Рассмотренный план ДФЭ представляет половину плана ПФЭ типа 2³ и называется полурепликой от ПФЭ типа 2³ или планом типа N = 2^3-1 (табл. 1.2).

При большом числе k факторов для получения линейного приближения можно построить дробные реплики более высокой степени дробности. Так, при k= 5 можно составить дробную реплику (четвертьреплику типа типа N = 2^5-2) на основе ПФЭ типа 2³, приравняв два из пяти факторов к взаимодействиям трех других факторов: парному и тройному. Будем обозначать тип дробной реплики записью 2 ^k-p, если р факторов приравнены к произведениям остальных k - р факторов. Дробность реплики при этом равна 1/2^p.

При планировании ДФЭ недопустимо произвольное разбиение ПФЭ на части. Для правильного планирования ДФЭ необходимо использовать все имеющиеся сведения теоретического и интуитивного характера об объекте и выделить те факторы и произведения факторов, влияние которых на отклик существенно. При этом смешивание нужно производить так, чтобы линейные коэффициенты b₀, b₁, …, b_k были смешаны с коэффициентами при взаимодействиях самого высокого порядка (так как обычно они в модели отсутствуют) или при тех взаимодействиях, о которых априори известно, что они не оказывают влияния на отклик.

Для построения плана ДФЭ типа 2 ^k-p выбирается (k – р)факторов и для них строится ПФП. Значения оставшихся p факторов определяются приравниванием их различным взаимодействиям (парным, тройным и т.д.) предшествующих факторов. Эти выражения называются генерирующими соотношениями. Так, в рассмотренном выше примере при построении полуреплики типа 2^3-1 переменная x была задана генерирующим соотношением х₃ = х₁ х₂.

Умножив обе части генерирующего соотношения на переменную, для задания которой оно использовалось, получим выражение, называемое определяющим контрастом (1 = х ₁ х ₂ х ₃, так как всегда х ₁ х ₁ = 1). Совокупность всех определяющих контрастов, а также их произведений составляет обобщающий определяющий контрас т (ООК).

Значение ООК позволяет для всех факторов определить, с какими эффектами взаимодействия смешаны их линейные эффекты. Перемножив поочередно каждый из независимых факторов на ООК, получим x₁=x₂x₃, x₂=x₁x₃, x₃=x₁x₂.Кроме того, ООК определяет систему смешивания для центра плана x₀=x₁x₂x_3.

Отсюда легко находятся смешиваемые теоретические коэффициенты регрессии и их оценки:

b₀®b₀+b₁₂₃; b₁®b₁+b₂₃; b₂®b₂+b₁₃; b₃®b₃+b₁₂;

Если априори можно принять, что коэффициенты при всех парных и тройном взаимодействиях равны нулю, то реализация этой полуреплики позволит получить раздельные оценки всех четырех линейных коэффициентов регрессии.

Для четвертьреплики в пятифакторном планировании типа 2^5-2 должны быть заданы два генерирующих соотношения, например: x₄=x₁x₂x₃, x₅=x₁x₂. Число точек плана будет N = 2^5-2 = 8.

Причем полагаем b₁₂₃= 0, т.е. x₁,x₂,x₃ все вместе не взаимодействуют (не оказывают существенного влияния на выходную переменную) и b₁₂= 0, т.е. x₁,x₂также не взаимодействуют. Определяющие контрасты для этой реплики согласно приведенным выше правилам имеют вид 1=x₁x₂x₃x₄, 1=x₁x₂x₅ .

Обобщающий определяющий контраст, построенный на основе всех полученных определяющих контрастов и их произведений, полностью характеризует разрешающую способность реплик высокой степени дробности.

Так, в данном случае ООК имеет вид 1= x₁x₂x₃x₄= x₁x₂x₅=x₃x₄x₅.

Совместные оценки здесь определяются вспомогательными соотношениями:

x₀=x₁x₂x₃x₄=x₁x₂x₅=x₃x₄x₅;

x₁=x₂x₃x₄=x₂x₅=x₁x₃x₄x₅;

x₂=x₁x₃x₄=x₁x₅=x₂x₃x₄x₅;

x₁x₃=x₂x₄=x₂x₃x₄=x₁x₄x₅;

x₃=x₁x₂x₄=x₁x₂x₃x₅=x₄x₅;

x₄=x₁x₂x₃=x₁x₂x₄x₅=x₃x₅;

x₅=x₁x₂x₃x₄x₅=x₁x₂=x₃x₄.

Эти вспомогательные соотношения позволяют установить, какие столбцы МП окажутся линейно зависимыми и, следовательно, совместной оценкой каких теоретических коэффициентов является тот или иной выборочный коэффициент регрессии:

b₀®b₀+b₁₂₃₄+b₁₂₅+b₃₄₅;

b₁®b₁+b₂₃₄+b₂₅+b₁₃₄₅;

b₂®b₂+b₁₃₄+b₁₅+b₂₃₄₅;

b₃®b₃+b₁₂₄+b₁₂₃₅+b₄₅;

b₄®b₄+b₁₂₃+b₁₂₄₅+b₃₅;

b₅®b₅+b₁₂₃₄₅+b₁₂+b₃₄;

b₁₃®b₁₃+b₂₄+b₂₃₅+b₁₄₅;

b₁₄®b₁₄+b₂₃+b₂₄₅+b₁₃₅.

Разрешающая способность этой четвертьреплики невысокая и равна трем, так как все теоретические линейные коэффициенты регрессии смешаны с коэффициентами при парных взаимодействиях.

С учетом свойств матрицы планирования формулы для вычисления оценок коэффициентов регрессии b_j и b_j1 принимают вид

; ; ; j, l =1,..,k, j¹ l, (N=8). (1.6)

 

Поскольку они определяются по результатам эксперимента (случайные величины), то и значения их также случайны, т.е. определяются с погрешностями. Может случиться, что абсолютная величина некоторых коэффициентов приблизительно равна погрешностям их определения или даже меньше. Такие коэффициентысчитаютсянезначимыми. Физически незначимость коэффициента по какому-либо фактору х_j означает, что приращение целевой функции, вызванное изменением фактора х_j, соизмеримо с погрешностями измерения целевой функции.

Для ортогональных планов ПФЭ и ДФЭ дисперсии коэффициентов регрессии равны между собой и определяются следующим образом:

s_bj²=s_bjl²=Dвос/N, где Dвос - s ²{у} — дисперсия воспроизводимости, характеризующая ошибку наблюдений. Для ее определения в одной из точек плана (обычно в центре) производится q независимых наблюдений выходной переменной у. Оценка Dвос будет

 

; ,

где у _0j — значение выходной переменной в i-м наблюдении.

 

Проверка значимости коэффициентов b_j состоит в проверке статистической гипотезы H₀: b_j = 0. С этой целью используется статистика U_j=b_j/ s_{bj ,} подчиненная t-распределению Стьюдента c числом степеней свободы n_вос = q -1. Если вычисленное значение ½ U_j ½< t_a, то гипотеза принимается и коэффициент b_j незначим. Значение t_a берется из таблицы t -распределения (приложение 2) при заданном уровне значимости a.

Аналогично может быть проверена значимость коэффициентов регрессии b_jl.

 

Статистическая незначимость оценки коэффициента регрессии может быть обусловлена следующими причинами:

— данный j-й фактор не имеет функциональной связи с откликом, т.е. b_j = 0;

— уровень х_j0 базового режима x₀ находится в точке частного экстремума функции отклика по фактору x_j и тогда b_j=¶y/¶x_j=0;

— интервал варьирования D x_jвыбран малым;

— вследствие влияния неуправляемых и неконтролируемых факторов велика ошибка воспроизводимости эксперимента.

Если значимы все коэффициенты регрессии, полученная модель может быть использована для исследования системы.

Если часть коэффициентов регрессии значима, а часть незначима, то можно провести дополнительную серию опытов с тем же центром плана (или с его переносом) и новыми интервалами варьирования по незначимым факторам.

Возможны другие способы получения значимых коэффициентов — увеличение числа параллельных опытов и достройка плана путем перехода к реплике меньшей дробности.

Если все коэффициенты незначимы, следует увеличить интервалы варьирования D х_j (j=1,..,k) по всем факторам.

Следует отметить, что найденные по формулам (1.6) параметры модели могут быть использованы только при подстановке в модель (1.4) нормированных значений переменных (1.5). Для получения линейной регрессионной модели, использующей значения входных переменных в натуральных единицах, необходимо произвести пересчет коэффициентов модели по формулам:

; ; j=1,..,k,

где b — коэффициенты модели в нормированной системе координат; а — коэффициенты модели в абсолютной системе координат (в натуральных единицах).

Для модели первого порядка с парными взаимодействиями формулы пересчета коэффициентов имеют вид

;

 

, i=1..k;

 

, i,j=1..k, i>j

Для проверки гипотезы об адекватности математического описания опытным данным достаточно оценить отклонение предсказаний по полученному уравнению регрессии величины отклика от результатов наблюдений y_i в одних и тех же i -x точках факторного пространства. Рассеяние результатов наблюдений вблизи уравнения регрессии, оценивающего истинную функцию отклика, можно охарактеризовать с помощью дисперсии адекватности

,

где (k + 1) — число членов аппроксимирующего полинома. Дисперсия адекватности определяется с числом степеней свободы n_ад=N-(k+1).

 

Проверка гипотезы об адекватности состоит, по сути дела, в сопоставлении дисперсии адекватности D _ад с оценкой дисперсии воспроизводимости отклика D_вос. Если эти оценки дисперсий однородны, то математическое описание адекватно представляет результаты опыта, если же нет, то описание считается неадекватным. Проверку гипотезы об адекватности производят с использованием F - критерия Фишера, который характери­зуется отношением

F=D_ад/D_вос.

 

Если найденное эмпирически значение критерия F меньше критического F_кр, (приложение 1) для соответствующего числа степеней свободы: числителя v_ад = N - (k+l) и знаменателя v_вос = q-1,при заданном уровне значимости a, то гипотезу об адекватности принимают. В противном случае, гипотезу отвергают, и математическое описание (найденное уравнение регрессии) признается неадекватным.

Проверка адекватности возможна только при числе степеней свободы n_ад и n_вос больше нуля. Если число N точек плана ПФЭ равно числу оценок коэффициентов регрессии N = k + 1, то, для проверки гипотезы об адекватности математического описания, степеней свободы не остается (n_aд =0). Если же некоторые оценки коэффициен­тов регрессии оказались незначимыми, то число членов проверяемого уравнения в этом случае меньше числа N вариантов варьирования N > k + 1 и для проверки гипотезы об адекватности останется одна или несколько степеней свободы (n_ад > 0). Однако в этом случае необходимо исключить незначимые коэффициенты b_j из уравнения регрессии и пересчитать величину D _ад.

Если гипотеза об адекватности отвергается, необходимо переходить к более сложной форме математического описания либо, если это возможно, проводить эксперимент с меньшим интервалом варьирования D x_j. Следует отметить, что максимальная величина интервала варьирования определяется условием адекватного описания объекта в области варьирования факторов. Если при больших интервалах варьирования математическая модель неадекватна, то возникают систематические ошибки в определении коэффициентов, для уменьшения которых следует сузить область варьиро­вания. Однако с уменьшением интервала варьирования появляется целый рад новых трудностей: растет отношение помехи к полезному сигналу, что приводит к необходимости увеличения числа параллельных опытов для выделения полезного сигнала на фоне шума, иначе оценки коэффициентов могут стать статистически незначимыми.

 

Если линейная модель неадекватна, то необходимо оценить значимость влияния квадратичных членов уравнения (1.1) на выходную переменную. С этой целью используется статистика •

,

подчиненная t - распределению Стьюдента с числом степеней свободы n_boc = q - 1.Если U < t_a, найденного из приложения 2 при заданном уровне значимости a, то влияние факторов хj² незначимо и им можно пренебречь. В противном случае нужно переходить к уравнению регрессии более высокого порядка.

 

Варианты задания области изменения факторов и значимых взаимодействий представлены в табл. 1.3.

 

Таблица 1.3

Номер варианта	Границы области допустимых значений факторов	Значимые взаимодействия
Х1	Х2	Х3	Х4	Х5
	0;30	-10;40	0;70	-50;20	-15;15	x1x3, x1x4
	40;100	25;45	-10;80	20;100	25;65	x1x3, x1x5
	10;70	10;80	-15;65	50;90	40;100	x2x3, x3x4
	40;90	-20;20	10;60	50;100	-15;45	x1x4, x1x5
	20;60	0;60	-15;75	0;40	10;60	x1x4, x3x4
	10;60	-15;75	40;90	50;80	0;100	x1x3, x2x3
	45;85	40;120	30;100	20;70	50;120	x1x3, x3x4
	50;125	-20;50	20;80	40;90	30;80	x2x4, x2x5

 

Для проведения эксперимента и получения значений функции отклика в заданных точках плана используется стандартная программа BLACKBOX, входящая в состав математического обеспечения кафедры. Способы обращения к программе и организации ввода данных представляются преподавателем.

 

Содержание отчета

 

Отчет должен содержать:

— задание;

— матрицы планирования эксперимента, составленные из кодированных и реальных значений входных переменных;

— результаты эксперимента;

— результаты расчетов оценок коэффициентов регрессий и дисперсий;

— результаты проверки значимости коэффициентов и адекватности модели;

— выводы по работе.

 

Контрольные вопросы

 

1. Каким образом формируется матрица планирования при ПФЭ?

2. Какими свойствами обладает матрица планирования?

3. Как осуществляется выбор интервала варьирования? Его допусти­мые максимальные и минимальные значения.

4. Дробные реплики. Значение реплик и составление для них матриц планирования.

5. Почему желательна симметрия уравнений регрессии относительно коэффициентов?

6. Каково допустимое минимальное число экспериментов при заданном числе факторов?

7. Полуреплики 2^4-1 заданы: одна — определяющим контрастом 1=x₁x₂x₃x₄, другая — генерирующим соотношением х ₄ = - x₁ х₂. Какая из этих полуреплик обладает большей разрешающей способностью?

8. Матрица планирования (ДФЭ типа2^5-1) задана генерирующими соотношениями x₄=-x₁x₃; x₅=x₁x₃x₂. Найти систему смешивания основных факторов.

9. Как проверить значимость оценок коэффициентов регрессии?

10. При каких условиях оценки коэффициентов регрессии незначимы и как эти условия изменить?

11. Как проверить адекватность модели?

Работа 2. Метод крутого восхождения (метод Бокса — Уилсона)

 

Цель работы — знакомство с методом планирования экспериментов, предназначенных для поиска условий, которые обеспечивают экстремум функции отклика.

 

Порядок выполнения работы

 

Работу следует выполнять в таком порядке:

1. Для построенной линейной регрессионной модели рассчитать шаги движения по градиенту.

2. Построить в натуральных единицах план эксперимента, реализующий движение по градиенту.

3. В 3-х, 4-х точках провести «мысленные» опыты для получения расчетных значении отклика y^M.

4. Провести эксперименты на ЭВМ и определить экстремальные значения функции отклика.

5. В найденной экстремальной точке вновь построить линейную модель и осуществить движение в область экстремума поверхности отклика.

6. Оформить отчет о работе.

7. Ответить на контрольные вопросы.

 

Общие сведения

 

Метод крутого восхождения основан на использовании движения по градиенту в сторону возрастания выходной переменной у.

Напомним, что вектор-градиент в k-факторном пространстве определяется соотношением

,

где (i=1..k) — единичные направляющие векторы (орты), расположенные вдоль факторных осей; ду / дх_i — частная производная целевой функции по i-му фактору.

Для линейной регрессионной модели вида у = b₀ + b₁x_l +...+ b_kx_k коэффициенты bj являются компонентами вектора-градиента.

Таким образом, если коэффициент регрессии b_jумножить на интервал варьирования фактора Dх_i, то будет определено приращение координаты x_i точки, лежащей на градиенте. Это положение для двумерного случая иллюстрируется на рис. 2.1.

Расчет движения по градиенту осуществляется таким образом, чтобы от центра плана до границ области в направлении градиента получилось 8-10 шагов. Для этого необходимо:

а) определить составляющие градиента в реальном масштабе l_I=b_i D _, i=1,k;

б) вычислить число шагов по каждой из переменных в сторону возрастания функции от центра плана х_io до границы области ^Г в направлении движения _min или _max:

,

где t — масштабный коэффициент (первоначально t = 1);

в) определить минимальное число шагов в направлении градиента в допустимой области п= min(n_i.). Если оно неудовлетворительно, то масштабный коэффициент t необходимо скорректировать таким образом, чтобы получить число п в желаемом интервале (8-10);

г) величину шага по выбранной в п. «в» 7-й переменной принять за базовую l_баз = l_I• tкон;

д) определить величину шага по всем переменным, обеспечивающую движение по градиенту в реальном масштабе:

, i=1..k;

е) определить координаты точек на i- м шаге в направлении градиента

, l=1,2,…, и провести в них «мысленные» (рассчитанные по модели) и проверочные (реальные) опыты.

«Мысленные» опыты заключаются в получении предсказанных (расчетных) значений отклика у ^м по полученному линейному уравнению регрессии. Они позволяют:

1) сокращать объем реальных опытов;

2) получить представление о том, насколько хорошо регрессионные уравнения аппроксимируют реальную поверхность отклика, т.е. насколько расчетные значения у ^м отличаются от значений y, наблюдавшихся в реальных опытах.

 

Проделывая эксперименты в каждой точке (с выбранным шагом), построим зависимость функции отклика от номера шага (рис.2.2).

 

Найденная в результате движения по градиенту экстремальная точка принимается в качестве исходной (центр плана) для построения нового плана эксперимента.

Вокруг нее снова формируется ПФП (ДФП), проводится эксперимент, строится линейная модель, определяется новое направление движения в направлении градиента и повторяются все действия, обеспечивающие движение в область экстремума функции отклика.

Для организации движения по градиенту можно также использовать методы оптимизации функции одной переменной (методы дихотомии, «золотого сечения», чисел Фибоначчи и др.).

Поисковое рабочее движение прекращают по достижении области экстремума. Признаком достижения экстремума является статистическая незначимость оценок b_i коэффициентов линейной регрессии, вычисленных по результатам ПФЭ (ДФЭ) вокруг очередной нулевой точки, либо выход на границу области допустимых значений факторов.

 

Содержание отчета

 

Отчет должен содержать:

—задание;

— матрицы планирования эксперимента;

— результаты экспериментов, оформленные в виде таблицы;

— графики изменения функции отклика при движении по градиенту;

— выводы по работе.

 

Контрольные вопросы

 

1. В чем заключается процедура метода крутого восхождения?

2. В чем состоит роль мысленных опытов и как они проводятся?

3. Каким образом методом крутого восхождения можно исследовать поверхность с несколькими экстремумами?

4. Как определить расчетные составляющие рабочих шагов в реальном масштабе в направлении градиента?

5. Когда заканчивается поисковое рабочее движение к области экстремума функции отклика?

 

 

Работа 3. Планирование второго порядка.

Ортогональное центральное композиционное планирование

 

Цель работы — изучение методов планирования эксперимента для получения математического описания системы в виде полинома второго порядка и использование этого описания для определения координат оп­тимума функции отклика.

 

Порядок выполнения работы

 

Работу следует выполнять в таком порядке:

1. Оформить план эксперимента.

2. Для заданной преподавателем модели исследуемого объекта («черного ящика») провести на ЭВМ эксперименты в соответствии с полученным планом.

3. Определить оценки коэффициентов регрессии математической модели «черного ящика».

4. Проверить значимость коэффициентов модели,

5. Проверить адекватность математической модели.

6. Найти координаты оптимума с использованием модели и провести уточняющий эксперимент.

7. Оформить отчет о работе.

8. Ответить на контрольные вопросы.

 

Общие сведения

 

Пусть имеется сложная система. При исследовании целевой функции y в области экстремума (стационарной области) модель первого порядка является уже недостаточной. Более подходящей моделью для аппроксимации локального участка функции отклика является регрессионная модель второго порядка:

M{y}=b₀+åb_jx_j+åb_jlx_jx_l+åb_jjx_j², j,l=1..k, l<j, (3.1)

где b₀, b_j, b_jl , b_jj — коэффициенты регрессии.

Планы проведения эксперимента, необходимого для построения модели второго порядка, отличаются от линейных планов тем, что факторы варьируются на нескольких (минимум на трех) уровнях. В связи с этим на практике используются центральные композиционные планы (ЦКП), состоящие из трех блоков, включающих:

1) ядро плана — точки N_ф = 2^k полного или дробного факторного эксперимента N_ф=2^k-p;

2) «звездные» точки N_а = 2 ^k;

3) нулевые (центральные) точки N ₀.

 

Общее число N точек ЦКП N = N ф + N _а + N ₀.

При построении планов используют различные критерии оптимальности планирования. Наиболее широко применяются ортогональные, ротатабельные и D-оптимальные планы.

При ортогональном планировании коэффициенты уравнения регрессии оцениваются независимо с минимальными дисперсиями. Причем факторы с незначимыми коэффициентами можно сразу отбрасывать, без пересчета оставшихся значимых коэффициентов, как это необходимо делать при неортогональных планах.

Ротатабельные планы позволяют получать уравнения регрессии, предсказывающие значения функции отклика с одинаковой точностью во всех направлениях на одинаковом расстоянии от центра плана.

Точность оценивания коэффициентов регрессии характеризуется эллипсоидом рассеивания их оценок. Планирование, при котором требуется, чтобы объем эллипсоида рассеяния оценок коэффициентов был минимальным, называется D-оптимальным.

В настоящей работе рассматривается ортогональное центральное композиционное планирование (ОЦКП). Критерием оптимальности плана является ортогональность столбцов матрицы планирования. В силу ортогональности планирования все оценки коэффициентов являются независимыми друг от друга.

При ОЦКП к ядру N _ф плана добавляют 2 k звездных точек с координатами, включающими звездное плечо (так, при k= 2 добавляются четыре точки с координатами (±а,0),(0,±а), которые изображены на рис.3.1), и одну точка в центре плана.

 

Значения входных переменных, соответствующие композиционному плану второго порядка при k = 3, приведены в табл.3.1.

Таблица 3.1

Номер опыта	Х1	Х2	Х3	Примечания
	-1	-1	-1	Полный факторный план Nф
	+1	-1	-1
	-1	+1	-1
	+1	+1	-1
	-1	-1	+1
	+1	-1	+1
	-1	+1	+1
	+1	+1	+1
	+a			Звездные точки Na
	-a
		+a
		-a
			+a
			-a
				Центр плана N0

 

Величина a выбирается так, чтобы обеспечить ортогональность получаемого плана. В табл.3.2 приведены параметры ортогональных центральных композиционных планов для разного числа входных переменных.

 

Таблица 3.2

Размерность: число факторов	Ядро плана	N	a	b	C0	C1	C2	C3
	22			0,6667	0,1111	0,1667	0,5	0,25
	23		1,215	0,73	0,0667	0,0913	0,229	0,1250
	24		1,414	0,8	0,04	0,05	0,125	0,0625
	25-1		1,547	0,77	0,0370	0,0481	0,087	0,0625
	26-1		1,722	0,843	0,222	0,0264	0,056	0,0312
	27-1		1,885	0,9	0,0127	0,0141	0,038	0,0156
	28-1		2,001	0,8898	0,0123	0,0139	0,031	0,0156

 

Формулы для расчета оценок коэффициентов уравнения регрессии имеют вид

, 1 £ i £ k;

 

, 1 £ i £ k;

(3.2)

, 1 £ i, l £ k, i<1;

 

.

Оценки дисперсий коэффициентов модели определяются по формулам

где D _вос — оценка дисперсий ошибок наблюдений (дисперсия воспроизводимости), для определения которой необходимо произвести q дополнительных наблюдений в выбранной точке (например, в центре плана):

, (3.3)

где — среднее значение выходной переменной, вычисленное по результатам этих наблюдений.

Проверка значимости коэффициентов регрессии проводится по t - критерию по изложенной в работе 1 методике с v = q - 1 степенями свободы:

Если какое-либо неравенство выполняется, то соответствующий коэффициент значим.

Найденные по формулам (3.1) параметры модели могут быть использованы только при подстановке в модель нормированных значений переменных (1.5). Для получения регрессионной модели вида (3.1), использующей значения входных переменных в натуральных единицах, необходимо произвести пересчет коэффициентов модели по формулам

где b — оценки коэффициентов модели в нормированной системе координат; а — оценки коэффициентов модели в абсолютной системе координат. Проверка адекватности модели проводится с помощью F-критерия Фишера:

F=D_ад/D_вос ,

где Dад — дисперсия адекватности, определяющая рассогласование результатов эксперимента у_i со значениями выходной переменной , вычисленными по модели:

, (3.4)

 

где d— число коэффициентов модели.

Если F < F_KР при заданном уровне значимости для числа степеней свободы числителя.v_aд = N-d и знаменателя v_вос =q-l, то гипотеза об адекватном описании объекта принимается.

Если модель неадекватна, то следует изменить интервалы варьирования переменных. Если и это не приводит к желаемым результатам, необходимо переходить к построению модели более высокого порядка.

Если полученная модель адекватна, то она используется для анализа поверхности отклика и поиска положения точки оптимума. Для определения координат экстремальной точки необходимо либо приравнять нулю первые частные производные полученного уравнения регрессии и решить данную систему линейных уравнений, либо воспользоваться имеющимися стандартными численными методами оптимизации функции многих переменных, используя найденное уравнение регрессии в качестве целевой функции. Если найденная экстремальная точка находится в допустимой области, то в ней необходимо про