Ряды динамики
Решение типовых заданий
Пример 9.1. По данным об общеобразовательных учреждениях (на начало года):
Таблица 9.1.1
| Число общеобразовательных учреждений, тыс. | 66,8 | 65,5 | 64,2 | 62,5 | 60,3 | 57,3 |
| Число учащихся в общеобразовательных учреждениях, тыс. чел. |
- Определите вид каждого динамического ряда.
- Постройте производный ряд динамики, на основе имеющихся.
- По одному ряду динамики, рассчитайте за каждый год показатели абсолютного прироста, темпа роста, темпа прироста, абсолютного значения 1% прироста.
- Сделайте выводы о тенденциях развития системы школьного образования в 2002-2007 гг.
Решение примера 9.1.
Пункт 1. Поскольку оба динамических ряда представлены данными на начало года, они являются моментными. Только моментные динамические ряды могут быть преобразованы в интервальные, путем пересчета исходных данных в среднегодовые, и не наоборот.
Пункт 2. Третий динамический ряд, который можно получить на основе исходных моментных динамических рядов, и также будет моментным; он может быть получен делением числа учащихся в общеобразовательных учреждениях всего на число общеобразовательных учреждений, в результате будет получен динамический ряд «Число учащихся, проходящих обучение в среднем в 1 общеобразовательном учреждении, чел.»:
Таблица 9.1.2
| Число учащихся, проходящих обучение в среднем в 1 общеобразовательном учреждении, чел |
Производный динамический ряд демонстрирует ту же тенденцию, что и исходные ряды динамики – тенденцию к снижению числа школьников в среднем на одно общеобразовательное учреждение.
Пункт 3. Показатели динамики удобно рассчитывать при помощи ППП Excel, введя необходимые формулы для определения абсолютного прироста (цепного и базисного), темпов роста (цепных и базисных), и т.п. Рассчитаем показатели изменения уровня ряда на примере первого динамического ряда – о числе школ. Результаты оформим в таблицу 9.1.3.
Таблица 9.1.3
| Годы | Число общеобразо-вательных учреждений, тыс. | Абсолютный прирост, тыс. | Темп роста, % | Темп прироста, % | Абсолютное значение 1 % прироста, учреждений | |||
| цепной | базисный | цепной | базисный | цепной | базисный | |||
| Yi | Yi – Yi -1 | Yi -Y0 | (Yi /Yi-1) × 100 | (Yi /Y0) × 100 | (Yi /Yi-1) × 100 - 100 | (Yi /Y0) × 100 -100 | Yi -1 / 100 | |
| 66,8 | - | - | - | - | - | - | - | |
| 65,5 | -1,3 | -1,3 | 98,1 | 98,1 | -1,9 | -1,9 | ||
| 64,2 | -1,3 | -2,6 | 98,0 | 96,1 | -2,0 | -3,9 | ||
| 62,5 | -1,7 | -4,3 | 97,4 | 93,6 | -2,6 | -6,4 | ||
| 60,3 | -2,2 | -6,5 | 96,5 | 90,3 | -3,5 | -9,7 | ||
| 57,3 | -3 | -9,5 | 95,0 | 85,8 | -5,0 | -14,2 |
В результате выполнения процедуры расчета семи формул (результаты оформлены в 2-8 столбцах табл.9.1.3) в пакете Excel, достаточно быстро можно найти показатели изменения уровня того ряда динамики, который изучается. По данным таблицы 9.1.3 можно констатировать, что изучаемое явление, а именно, число школ, имеет тенденцию к снижению (цепные темпы роста ни разу не превысили 100%), за пять рассмотренных лет с 2002 по 2007 г. число школ уменьшилось на 14,2% или на 9,5 тыс. общеобразовательных учреждений. Среднегодовое снижение числа школ (графа 8 табл. 9.1.3) было максимальным в 2003 г. и минимальным – в 2007 г.
Пункт 4. Дополняя выводы, сделанные при выполнении п.п.2-3 задания, отметим, что система общего (или школьного) образования относится к фундаментальной части образовательной системы любой страны. Общее среднее образование в России можно получить как в школах и гимназиях в течение 11 лет обучения, так и параллельно с получением среднего профессионального образования – в колледжах и лицеях. За период с 2002 по 2007 г. наблюдается снижение числа общеобразовательных учреждений с 66,8 тыс. до 57,3 тыс. учреждений, или на 9,5 тыс. школ. Это вызвано, в первую очередь, снижением контингента учащихся, вызванного в свою очередь снижением рождаемости в РФ после 1992 г. Наметившаяся с 2002 г. положительная тенденция роста численности родившихся еще не успела отразиться на численности школьников за рассматриваемые периоды времени, несмотря на то, что в среднем на одно общеобразовательное учреждение численность обучающихся в 2007 г. оказалась выше, чем в 2006 г. (см. табл.9.1.2).
Пример 9.2. По данным Росстата во II квартале 2009 г в Российской Федерации наблюдалась следующая помесячная динамика изменения индекса реальных располагаемых денежных доходов населения, % к предыдущему периоду:
Таблица 9.2.1
| месяцы | апрель | май | июнь |
| Изменение индекса реальных располагаемых денежных доходов населения, % | +1,4 | +0,3 | -1,0 |
Определите темп прироста в целом за II квартал 2009 г.
Варианты ответа, %:
а) 100,7;
б) +0,7;
в) +0,42.
Решение примера 9.2. Для ответа на поставленный вопрос необходимо перевести исходные данные в цепные индексы и найти базисный индекс реальных располагаемых денежных доходов населения, путем перемножения цепных:
+1,4 означает 100 + 1,4 = 101,4% (или 1,014)
+0,3 означает 100 + 0,3 = 100,3% (или 1,003)
-1,0 означает 100 -1,0 = 99,0 % (или 0,99)
Базисный индекс реальных располагаемых денежных доходов населения найдем путем перемножения цепных индексов, выраженных в виде коэффициентов:
1,014 × 1,003 × 0,99 = 1,0069 × 100 = 100,7%
Таким образом, общей за II квартал 2009 г. темп роста реальных располагаемых денежных доходов населения составил 100,7%, а темп прироста соответственно +0,7% (100,7 – 100). Правильный ответ: б.
Пример 9.3. По данным обследований населения по проблемам занятости, о численности граждан, имеющих статус безработного (на конец года), были рассчитаны показатели динамики:
Таблица 9.3.1
| Годы | Численность граждан, имеющих статус безработного, тыс. чел. | Абсолютный прирост, тыс. чел. | Темп роста, % | Темп прироста, % | Абсолютное значение 1 % прироста, тыс. чел. | |||
| цепной | базисный | цепной | базисный | цепной | базисный | |||
| * | 282,7 | * | * | * | * | * | 16,376 | |
| 1830,1 | * | * | * | * | * | * | * | |
| * | * | * | 95,18 | * | * | * | * | |
| * | * | * | * | 80,87 | * | * | * | |
| * | * | * | * | * | -2,0 | * | * |
- Восстановите пропущенные показатели (*).
- Определите средний за рассматриваемый период уровень ряда динамики.
- Сделайте выводы о развитии изучаемого явления в период с 2004 по 2008 гг.
Решение примера 9.3.
Пункт 1. Восстановление пропущенных характеристик выполняется на основе знания формул расчета показателей изменения уровней ряда динамики – абсолютного прироста, темпа роста, темпа прироста, абсолютного значения 1 % прироста. Например, по данным табл.9.3.1 в 2004 г. цепной абсолютный прирост числа безработных составил 282,7 тыс. чел. (цепной, значит, по сравнению с 2003 г.). В том же 2004 г. абсолютное значение 1 % прироста числа безработных, определяемое как 1/100 часть предыдущего уровня (в данном случае – уровня 2003 г.), составило 16,376 тыс. чел. Отсюда, численность безработных в 2003 г. равна:
16,376 × 100 = 1637,6 тыс. чел.
Зная численность безработных в 2003 г. и цепной абсолютный прирост 2004 г., можно найти уровень 2004 г.:
Y2004 = Y2003 + (Y2004 –Y2003) = 1637,6 + 282,7 = 1920,3 тыс. чел.
Найдя численность безработных в 2004 г. и зная численность безработных в 2005 г. (по исходным данным), можно заполнить все недостающие показатели по строке за 2005 г.:
Абсолютный прирост цепной = Y2005 –Y2004 = 1830,1 – 1920,3 = - 90,2 (тыс. чел.) – именно на такую сумму снизилась численность граждан, имеющих статус безработного, в 2005 г. по сравнению с 2004 г.
Абсолютный прирост базисный совпадает в 2005 г. с цепным, так как база сравнения одна и та же - уровень 2004 г.
Темп роста цепной = Y2005: Y2004 = 1830,1: 1920,3 = 0,953 × 100 = 95,3% - уровень числа безработных 2005 г. составляет 95,3% от уровня 2004 г.
Темп роста базисный совпадает в 2005 г. с цепным, так как база сравнения одна и та же - уровень 2004 г.
Темп прироста цепной = (Y2005 : Y2004) × 100 – 100 = - 4,7% - в 2005 г. не наблюдается прироста числа граждан, имеющих статус безработного, поскольку данный показатель меньше 0, то есть имеет место снижением темпов прироста, что в случае с безработицей можно интерпретировать как положительную тенденцию.
Абсолютное значение 1 % прироста2005 = Y2004 : 100 = 1920,3: 100 = 19,20 тыс. чел. – поскольку в 2005 г. прироста (%) не наблюдается, а имеет место убыль (%), соответственно, можно найти вторым способом абсолютную убыль численности безработных граждан, путем перемножения абсолютного значения 1% прироста (19,20 тыс. чел.) на темп прироста (-4,7%):
Абсолютный прирост цепной2005 = 19,20 ×(-4,7) = -90,24 тыс. чел., что практически совпадает с суммой абсолютной убыли, полученной путем прямого сравнения двух рядом стоящих уровней ряда динамики (Y2005 –Y2004).
Аналогичным образом, используя взаимосвязи между показателями динамики (например, темп прироста (в %) есть темп роста (в %) за минусом 100), находим остальные пропущенные характеристики показателей динамики за 2006-2008 гг. Результаты расчетов оформим в таблице 9.3.2.
Таблица 9.3.2
| Годы | Численность граждан, имеющих статус безработного, тыс. чел. | Абсолютный прирост, тыс. чел. | Темп роста, % | Темп прироста, % | Абсолютное значение 1 % прироста, тыс. чел. | |||
| цепной | базисный | цепной | базисный | цепной | базисный | |||
| Yi | Yi – Yi -1 | Yi -Y0 | (Yi /Yi-1) × 100 | (Yi /Y0) × 100 | (Yi /Yi-1) × 100 - 100 | (Yi /Y0) × 100 -100 | Yi -1 / 100 | |
| 1920,3 | 282,7 | * | * | * | * | * | 16,376 | |
| 1830,1 | -90,2 | -90,2 | 95,30 | 95,30 | -4,70 | -4,70 | 19,203 | |
| 1741,9 | -88,2 | -178,4 | 95,18 | 90,71 | -4,82 | -9,29 | 18,301 | |
| -188,9 | -367,3 | 89,16 | 80,87 | -10,84 | -19,13 | 17,419 | ||
| 1521,8 | -31,2 | -398,5 | 97,99 | 79,25 | -2,01 | -20,75 | 15,53 |
Пункт 2. Определим средний за период уровень безработных в 2004-2008 гг. по средней хронологической, так как информация характеризуется равноудаленными моментами времени:
½ Y1 +Y2 +…+Yn-1 + ½ Yn ½ 1920,3 + 1830,1 + 1741,9 +1553,0 +½ 1521,8
Yср. = -------------------------------- = ------------------------------------------------------------- =
n-1 5-1
= 1711,5 тыс. чел. – средняя численность граждан, имеющих статус безработного в России, в период с 2004 по 2008 гг.
Пункт 3. По данным табл. 9.3.2 можно констатировать, что численность безработного населения России имеет тенденцию к снижению, с 1,9 млн.чел в 2004 г. до 1.,5 млн. чел. в 2008 г., то есть уменьшилась почти на 400 тыс. чел. или на 20,75%. Самое большое снижение числа безработных наблюдалось в 2007 г., о чем свидетельствует темп роста 89,2%, или темп прироста: -10,8%. Самое незначительное снижение численности безработных наблюдалось в 2008 г., когда их число уменьшилось лишь на 31 тыс. чел. или на 2%.
Пример 9.4. Имеется следующий ряд динамики коэффициента рождаемости в РФ, промилле:
Таблица 9.4.1
| Родившихся, на 1000 чел. населения | 9,0 | 9,7 | 10,2 | 10,4 | 10,2 | 10,4 | 11,3 |
- Определите средний уровень ряда динамики; средний годовой абсолютный прирост и среднегодовой темп роста и прироста.
- Выберите функцию тренда для описания изучаемого явления и найдите ее параметры.
- На основе тренда дайте точечный прогноз числа родившихся (в промилле) в 2009 г.
Решение примера 9.4.
Пункт 1. Средний уровень ряда динамики данного интервального ряда динамики, построенного из относительных характеристик, можно определить по средней арифметической простой:
Y = Σ Yi / n = (9,0 +9,7 +10,2 +10,4 +10,2 +10,4 +11,3) / 7 = 10,2 ‰
Средний годовой абсолютный прирост определим через уровни ряда динамики, а не через цепные абсолютный приросты, что также возможно:
Δ = -- (Yn –Y0),
n
где Yn – последний уровень ряда динамики;
Y0 – уровень ряда динамики, принятый за базу сравнения;
n – число промежутков времени между последним и базисным уровнем.
1 (11,3 -9,0)
Δ = -- (Yn –Y0) = -------------- = 0,38 ≈ 0,4 ‰
n 6
Среднегодовой темп роста можно также определить, используя информацию о базисном темпе роста, после извлечения из него корня 6-ой степени:
Т = √ Yn / Y0,
где n – число периодов, разделяющих последний (n-ый) и базисный уровни.
Т = √ 11,3: 9,0 = 1,0386 ≈ 1,039 × 100 = 103,9%
Тогда средний за год темп прироста определим как разность между среднегодовым темпом роста и 100%:
К = Т – 100, %
К = 103,9 -100 = 3,9%
Таким образом, в среднем за год коэффициент рождаемости увеличивается на 0,4‰, что составляет 3,9% прироста.
Пункт 2. Построить уравнение тренда означает найти его параметры. Найти параметры прямой можно вручную, построив систему нормальных уравнений, либо, воспользовавшись методами машинной обработки информации в одном из пакетов прикладных программ (Excel, SPSS, Statgrafics).
Уравнение линейного тренда как наиболее прозрачного для интерпретации желательно строить первым из возможных, и если оно будет отвечать требованиями статистической значимости, можно будет им воспользоваться для целей прогноза.
Воспользуемся ППП Excel для построения линейного тренда Y t = a + b×t. Внеся в качестве исходной информации два столбца данных: Y i и t. При этом параметр t задается в обычном измерении, во возрастанию от 1, в объеме числа уровней ряда: в нашем случае от 1 до 7. Затем, обратившись в «Меню – Сервис – Анализ данных», запрашиваем функцию «Регрессия», отметив в качестве параметра Y – диапазон расположения ряда исходных уровней Y i, в качестве параметра X - диапазон расположения ряда t. После вывода итогов (табл.9.4.2) выписываем уравнение тренда, интерпретируем параметры. Уравнения тренда, характеризующиеся высоким значением коэффициента детерминации, F-критерия Фишера, значениями t -статистики, послужат хорошим основанием для построения прогноза изучаемого явления.
Таблица 9.4.2
Результаты построения уравнения тренда в ППП Excel
| ВЫВОД ИТОГОВ | ||||
| Регрессионная статистика | ||||
| Множественный R | 0,909511 | |||
| R-квадрат | 0,827209 | |||
| Нормированный R-квадрат | 0,792651 | |||
| Стандартная ошибка | 0,320602 | |||
| Наблюдения | ||||
| Дисперсионный анализ | ||||
| Df | SS | MS | F | |
| Регрессия | 2,460357 | 2,460357 | 23,93676 | |
| Остаток | 0,513929 | 0,102786 | ||
| Итого | 2,974286 | |||
| Коэффициенты | Стандартная ошибка | t -статистика | P-Значение | |
| Y-пересечение | 8,985714 | 0,270958 | 33,16273 | 4,69E-07 |
| t | 0,296429 | 0,060588 | 4,892521 | 0,004504 |
Следовательно, уравнение линейного тренда будет следующим:
Y t = 8,99 + 0,296 t
Значение параметра b = 0,296 в линейном тренде интерпретируется как совокупное влияние всех факторов на изучаемый признак за один рассматриваемый период, или, ежегодное увеличение (b > 0) коэффициента рождаемости составляет 0,3‰. Иными словами, практически на 3 чел ежегодно становится больше на каждые 10 000 населения страны. Значение параметра a = 8,99 соответствует теоретическому значению уровня 2000 г (когда t =0), в нашем примере практически совпадая с фактическим (исходным) уровнем ряда.
Пункт 3.На основе тренда получаем возможность дать точечный прогноз числа родившихся (в промилле) в 2009 г.
Поскольку уравнение тренда Y t = 8,99 + 0,296 t построено по данным 2001-2007 г., и 2007 г. соответствует t =7, а 2009 г.- t =9, подставив в уравнение тренда вместо t значение 9, мы получим представление о том, какое значение может принять коэффициент рождаемости в 2009 г., при условии, что наблюдаемая в 2001-2007 гг. тенденция в этой области сохранится:
Y 2009 = 8,99 + 0,296 × 9 = 11,65‰.
Более точным считается интервальный, а не точечный прогноз, выполняемый по данным уравнений трендов, однако, и точечный прогноз имеет свою аналитическую ценность. В данном случае, речь идет о том, что рождаемость растет и в 2009 г. ее уровень можно ожидать равным 11,65‰, или на каждые 10000 чел. будет приходиться 116 чел. новорожденных.