Примеры решения задач на расчет цепей при соединении треугольником

Пример №1

Задача

В трехфазную сеть с U_Л = 380 В включен соединенный треугольником трехфазный асинхронный двигатель мощностью P = 5 кВт, КПД двигателя равен η_Н = 90%, коэффициент мощности cos φ_Н = 0,8. Определить фазные и линейные токи двигателя, параметры его схемы замещения R_Ф, X_Ф, построить векторную диаграмму. Включить ваттметры для измерения активной мощности и найти их показания.

Анализ и решение задачи

Расчетная схема

Двигатель является активно-индуктивным потребителем энергии, его схема замещения приведена на рис. 2

Рисунок 2

Расчет активной мощности и токов, потребляемых двигателем из сети.

В паспорте двигателя указывается механическая мощность на валу; потребляемая активная мощности двигателя

P = P_Н / η = 500 / 0.9 = 5560 Вт.

Для симметричной нагрузки, какой является двигатель,

P = 3 U_Ф I_Ф cos φ и I_Ф = P / (3 U_Ф cos φ).
I_Ф = 5560 / (3 · 380 · 0,8) = 6,09 А.
I_Л = I_Ф = · 6,09 = 10,54 А.

Расчет параметров схемы замещения двигателя.

Z_Ф = U_Ф / I_Ф = 380 / 6,09 = 62,4 Ом; R_Ф = Z_Ф cos φ = 62,4 · 0,8 = 49,9 Ом;
X_Ф = Z_Ф sin φ_Ф = 62,4 · 0,6 = 37,4 Ом; cos φ_Ф = cos φ_Н = 0,8.

Построение векторной диаграммы.

Линейные напряжения строятся в виде симметричной звезды, они же являются в данном случае фазными напряжениями. Фазные токи отстают от напряжений на угол φ_Ф, линейные токи строятся по фазным на основании уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа:

Í_A = Í_ab - Í_ca; Í_B = Í_bc - Í_ab; Í_C = Í_ca - Í_bc.

Векторная диаграмма показана на рис. 3

Рисунок 3

Схема включения ваттметров.

В трехпроводных сетях часто для измерения активной мощности применяется схема двух ваттметров, один из вариантов которой показан на рисунке 4. Показания ваттметра определяются произведением напряжения, приложенного к его катушке напряжения, на ток в токовой катушке и косинус угла между ними:

P₁ = U_AB I_A cos (Ú_AB ^ Í_A) = 380 · 10,54 · cos (φ_Ф + 30°) = 1573 Вт;
P₂ = U_CB I_C cos (Ú_CB ^ Í_C) = 380 · 10,54 · cos (φ_Ф - 30°) = 3976 Вт.

Активная мощность трехфазной цепи равна алгебраической сумме показаний приборов: P = P₁ + P₂ = 1573 + 3976 = 5549 Вт.

Рисунок 4

На рисунке 5 показано еще два варианта подключения приборов по схеме двух ваттметров.

Рисунок 5

При симметричной нагрузке можно измерить мощность одним ваттметром, подключив его обмотку напряжения к соответствующему фазному напряжению сети (если доступна нейтральная точка) или создав искусственную точку (рис. 6), при этом прибор измеряет мощность одной фазы, мощность всей цепи P_цепи = 3 P_W.

Рисунок 6

Пример № 2

Задача

К источнику с U_Л = 220 В подключена соединенная треугольником осветительная сеть. Распределение нагрузки по фазам: P_AB = 2200 Вт, P_BC = 3300 Вт, P_CA = 4400 Вт. Вычислить активную мощность, потребляемую схемой из сети, фазные и линейные токи приемников.

Анализ и решение задачи

Активная мощность всей нагрузки равна сумме мощностей фаз:

P = P_AB + P_BC + P_CA = 2200 + 3300 + 4400 = 9900 Вт.

Расчет фазных токов. Т.к. осветительная сеть имеет cos φ = 1, для любой фазы I_Ф = P_Ф / U_Ф, поэтому:

I_AB = P_AB / U_AB = 2200 / 220 =10 А; I_BC = P_BC / U_BC = 3300 / 220 =15 А; I_CA = P_CA / U_CA = 4400 / 220 =20 А.

Аналитический расчет линейных токов выполняется комплексным методом на основании 1-го закона Кирхгофа; определим их графически, построив векторную диаграмму (рис. 7, а)

Из диаграммы следует: I_A = 27,6 А; I_B = 22,8 А; I_C = 26,6 А.

Рис. 7.

Задание 1. Выполните расчет трехфазной цепи по условиям задачи 1.

Задача 1

В трехфазную сеть с U_Л = 380 В включен по схеме треугольник асинхронный двигатель, имеющий Z_Ф = 19 Ом, cos φ_Ф = 0,8. Найти линейные токи и активную мощность, потребляемую двигателем из сети.

Ответ: 34,6 А; 18,2 кВт.

Задание 2. Выполните расчет трехфазной цепи по условиям задачи 2.

Задача 2

Трехфазная печь включена в сеть с U_Л = 380 В по схеме треугольник. Найти линейный ток и мощность печи, если R_Ф = 10 Ом. Как изменятся линейный ток и мощность печи, если ее включить в ту же сеть по схеме звезда?

Ответ: 65,7 А; 43,2 кВт; 21,9 А; 14,4 кВт.

Контрольные вопросы

1. Начертите схему соединения потребителей по способу «треугольник» и подключения их к трехфазной сети.

2. Как определить общую активную Р, реактивную Q и полную S мощности электроприемников в несимметричной трехфазной цепи при их соединении треугольником?

3. Как определить общую активную Р, реактивную Q и полную S мощности электроприемников в симметричной трехфазной цепи при их соединении треугольником?

4. Как определить активную Рф, реактивную Qф и полную Sф мощности для отдельной фазы?

5. Запишите соотношение между фазными и линейными токами при соединении «треугольником»?

6. Запишите соотношение между фазными и линейными напряжениями при соединении «треугольником»?

7. Опишите, что произойдет в системе трехфазного питания при обрыве одного из линейных проводов.