Ознакомление с теорией предела функции.
Предел функции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.
Записывается предел следующим образом 
.
Вычислим предел: 
Подставляем вместо х – 3. 
Заметим, что предел числа равен самому числу.
Примеры: вычислите пределы 
Если в некоторой точке области определения функции существует предел и этот предел равен значению функции в данной точке, то функция называется непрерывной (в данной точке).
Вычислим значение функции в точке x0 = 3 и значение его предела в этой точке.
Значение предела и значение функции в этой точке совпадает, следовательно, функция непрерывна в точке x0 = 3.
Но при вычислении пределов зачастую появляются выражения, значение которых не определено. Такие выражения называют неопределённостями.
Основные виды неопределенностей: 
Раскрытие неопределенностей
Для раскрытия неопределенностей используют следующее:
· упрощают выражение функции: раскладывают на множители, преобразовывают функцию с помощью формул сокращенного умножения, тригонометрических формул, домножают на сопряженное, что позволяет в дальнейшем сократить и т.д., и т.п.;
· если предел при раскрытии неопределенностей существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению, если такого предела не существует, то говорят, что функция расходится.
Пример: вычислим предел. 
Разложим числитель на множители 
Вычисление пределов функции
Пример 1. Вычислите предел функции: 
При прямой подстановке, получается неопределенность:
Разложим на множители числитель и знаменатель и вычислим предел.
Пример 2. Вычислите предел функции: 
При прямой подстановке, получается неопределенность.
Помножим и числитель, и знаменатель на 
.
Учтем, что если число разделить на бесконечно большое число получится ноль. То есть предел 
Аналогично 
Пример 3. Вычислите предел функции: 
При прямой подстановке, получается неопределенность.
Помножим и числитель, и знаменатель на .
Мы учли, что 
Свойства функции:
Если f(x)=b a g(x)=c то выполняются следующие свойства:
Замечательные пределы.
Первый замечательный предел.
Теорема. Предел отношения sin бесконечно малой величины к самой этой величины к самой этой величине равен 1, т.е. 
. Или 
Теорема. Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, равен единице, то есть 
Этот предел называют первым замечательным пределом. С его помощью вычисляют пределы выражений, содержащих тригонометрические функции.
Пример 1. Вычислить 
Решение. Преобразуем данное выражение:   
Пример 2. Найти 
Решение. Для того чтобы воспользоваться первым замечательным пределом, перейдем к новой переменной  которая при  стремится к нулю. Тогда имеем       
Второй замечательный предел:  или  или  , 
Пример 3. Найти 
Решение. Полагая  , получим:  и   
Пример 4. Найти 
Решение. Преобразуем выражение, стоящее под знаком предельного перехода.
    
Так как  , а  , то  .
Для зачета по теме «Пределы», необходимо решить зачетную работу
|
Зачетная работа по теме «Пределы».
Вычислите пределы:
5) 
6) Найти предел функции: 
|
