Г.
Раздел 13. Итоговое повторение курса математики
Тема 13.5. Решение систем уравнений и неравенств
Решение систем уравнений с двумя переменными
Совокупность уравнений или неравенств обозначает объединение полученных ответов всех выражений в единый ответ.
Система уравнений или неравенств предполагает включение в ответ только тех значений, которые будут являться решениями каждого выражения системы.
Для решения систем уравнений с двумя переменными в основном используют два метода: "подстановка" и "алгебраическое сложение". Так же для проверки или прикидки ответа используется графический метод.
Метод подстановки заключается в том, чтобы выразить одну переменную через другую в первом уравнении и подставить полученное выражение во второе. Затем, решить второе уравнение и получить значение одной переменной. Далее подставив это значение в первое уравнение найти вторую переменную.
Метод алгебраического сложения заключается в том, чтобы с помощью сложения двух уравнений с двумя переменными получить одно с одной переменной, через которое она и находится. Вторая переменная находится путём подстановки значения первой переменной в любое из первоначальных уравнений. В рамках этого метода можно домножать одно или оба уравнения системы на любые числа так, чтобы при дальнейшем их сложении одна из переменных ушла из уравнения (результата).
Графический метод заключается в том, чтобы изобразить каждое уравнение в виде графика функции и найти точку (точки) пересечения графиков. Координаты этих точек и будут являться решениями данной системы. Минусом данного способа решения является его недостаточная точность, поэтому этот метод можно использовать только для проверки или прикидки ответа системы.
Решение совокупностей уравнений с одной переменной
Совокупности уравнений с одной переменной чаще всего встречаются при решении модульных уравнений и, как уже выше говорилось, обозначают, что каждое решение необходимо включить в ответ, если нет других ограничений.
Решение систем и совокупностей неравенств
Решение совокупностей и систем неравенств практически не отличается от решения единичных неравенств с одной переменной. Но при решении следует помнить, что в ответ системы вписывается пересечение результатов решения неравенств, а в ответ совокупности – все полученные результаты.
При решении системы или совокупности неравенств допускается решать каждое неравенство в отдельности. После того, как будет решено каждое неравенство, записывается общий ответ системы или совокупности.
Задача 1. Решить систему уравнений методом подстановки и проверить графически:
Решение: 1. Решим систему:
2. Изобразим графически, для этого выразим "у" через "х" в обоих уравнениях:
Изобразив уравнения графически видим, что решение выполнено верно.
Ответ: (2; -2).
Задача 2. Решить систему уравнений методом алгебраического сложения и проверить графически:
Решение: 1. Решим систему:
2. Изобразим графически заданные уравнения, для этого преобразуем их:
После преобразования видим, что необходимо начертить параболу (квадратная функция) и прямую (линейная функция). Точки их пересечения и будут решениями системы.
По графику видим, что решение верно.
Ответ: (0; 5); (3; -4).
Задача 3. Сколько действительных корней имеет уравнение:
Решение: Чтобы ответить на вопрос примера, не нужно решать это уравнение, достаточно преобразовать его в две функции и изобразить их на координатной плоскости, количество точек пересечения графиков и будет нужным ответом:
После преобразования видим, что график первой функции – это график функции:
у = √ х, параллельно сдвинутый влево на одну единицу и вверх на две; а график второй функции – это гипербола: у = -1/ х, параллельно сдвинутый на две единицы влево и на две единицы вверх.
Даже примерного изображения этих графиков достаточно, чтобы понять, что пересекаться они ни когда не будут, следовательно, исходное уравнение не имеет решений в действительных числах.
Ответ: 0.
Задача 4. Рассмотрим решение совокупности уравнений на примере решения модульного уравнения:
Из решения видно, что нужно взять в ответ все ответы, учитывая ограничения к каждому.
Ответ: {-4}υ[4;+∞).
Задача 5. Решить совокупность неравенств:
Ответ: {-3}υ[-2; 2].
Более подробно можно посмотреть: Богомолов, Н.В.Математика: учебник для СПО / Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко. — 5-е изд., перераб. и доп. — М.: Изд-во Юрайт, 2019. — 401 с. — (Серия: Профессиональное образование). — ISBN 978-5-534-07878-7. — Текст: электронный // ЭБС Юрайт [сайт]. — URL: https://www.biblio-online.ru/bcode/433286.