Статистическое определение вероятности

Перестановки

Определение: Любое упорядоченное множество, которое состоит из n -элементов, называется перестановкой из n-элементов.

Число всех перестановок из n -элементов выражают формулой:

P_n-число перестановок из n-элементов.

Задача. Сколькими способами можно расставить 5 книг на полке?

Решение: 5!=1*2*3*4*5=120 способов

Размещения

Определение: Если из множества n элементов выбирают m в определенном порядке, это называется размещением.

(число размещений из n-элементов по m).

Задача. Сколько двухзначных чисел можно составить из цифр 1,3,5,7,9, так чтобы в каждом числе не было одинаковых цифр?

Решение:

способов

Сочетания

Определение: Если из множества n элементов выбирают m, и порядок не имеет значения, это называется сочетанием.

Число сочетаний из n элементов по m.

Задача. В классе 25 учеников нужно выбрать трех дежурных. Сколькими способами можно это сделать?

Решение. способов

Вопрос 2. Случайные события. Вероятность случайных событий

Теория вероятностей объясняет и исследует различные закономерности, которым подчинены случайные события и случайные величины.

Событием является любой факт, который можно констатировать в результате наблюдения или опыта. Наблюдением или опытом называют реализацию определенных условий, в которых событие может состояться.

Все события, за которыми люди наблюдают или сами создают их, делятся на:

· достоверные события;

· невозможные события;

· случайные события.

Достоверным называется событие, которое обязательно происходит в результате эксперимента.

Невозможным называется событие, которое не может произойти в результате эксперимента

Случайным называют событие, результат которого нельзя предсказать заранее.

Статистическое определение вероятности

Не все случайные явления (эксперименты) можно изучать методами теории вероятностей, а лишь те, которые могут быть воспроизведены в одних и тех же условиях.

Определение. Вероятностью события A называется число Р(А), около которого колеблется значение статистической частоты этого события при условии увеличения количества испытаний.

При статистическом определении в качестве вероятности события принимается его относительная частота.

Относительной частотой события называют отношение числа испытаний , в которых данное событие появилось, к общему числу фактически проведённых испытаний: .

Частота события обладает следующими свойствами:

1. Частота случайного события есть число, заключенное между ну­лем и единицей:
0<P(A)<1

2. Частота достоверного события U равна единице:
P(U)=1

3. Частота невозможного события V равна нулю:
P(V)=0

4. Частота суммы двух несовместных событий A и B равна сумме частот этих событий:
P(A+B)=P(A)+P(B)

Пример 1. Из 500 взятых наудачу деталей оказалось 8 бракован­ных. Найти частоту бракованных деталей.

Решение. Так как в данном случае m = 8, n = 500, то в соответствии с формулой находим

P(A)=8:500=0,016

Пример 2. Игральный кубик подброшен 60 раз, при этом шестерка появилась 10 раз. Какова частота появления шестерки?

Решение. Из условия задачи следует, что n = 60, m = 10, поэтому

Пример 3. Два раза подбрасывается игральная кость. Или, что то же самое, один раз подбрасываются две игральные кости. Будем считать пространством элементарных исходов множество пар чисел , где (соответственно, ) есть число очков, выпавших при первом (втором) подбрасывании: .

Примеры событий:

— при первом подбрасывании выпало одно очко;

— при втором подбрасывании выпало одно очко;

— на костях выпало одинаковое число очков;

— на обеих костях выпало нечётное число очков.

Пример 4. Среди 1000 новорожденных оказалось 515 мальчиков. Чему равна частота рождения мальчиков?
Решение. Поскольку в данном случае n=1000, m=515, то P(A)=515/1000=0,515.