ВАРИАНТ 4
Вариант № 34184535
Решение заданий с развернутым ответом
Задание 1 № 77336
Поезд Новосибирск-Красноярск отправляется в 15:20, а прибывает в 4:20 на следующий день (время московское). Сколько часов поезд находится в пути?
Решение.
В день отправления поезд едет 24:00 − 15:20 = 8 час. 40 мин., а на следующий день до момента прибытия он едет 4 час. 20 мин. Всего в пути поезд проведет 8:40 + 4:20 = 13 часов.
Ответ: 13.
Задание 2 № 27521
На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Симферополе за каждый месяц 1988 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, сколько было месяцев, когда среднемесячная температура превышала 20 градусов Цельсия.
Решение.
Из диаграммы видно, что было 2 месяца, когда среднемесячная температура превышала 20 градусов Цельсия (см. рисунок).
Ответ: 2.
Задание 3 № 27848
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см изображена трапеция. Найдите длину средней линии этой трапеции.
Решение.
Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований:
.
Ответ: 3.
Задание 4 № 320197
Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем 36,8 °С, равна 0,81. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,8 °С или выше.
Решение.
Указанные события противоположны, поэтому искомая вероятность равна 1 − 0,81 = 0,19.
Ответ: 0,19.
Задание 5 № 77370
Решите уравнение 
.
Решение.
Воспользуемся формулой 
:
.
Ответ: −4.
Задание 6 № 27779
В треугольнике ABC угол A равен 60°, угол B равен 82°. AD, BE и CF — высоты, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах.
Решение.
Угол между высотами равен углу между сторонами, к которым они проведены:
Ответ: 82.
Задание 7 № 525703
На рисунке изображены график функции 
и касательная к этому графику, проведённая в точке x 0. Уравнение касательной показано на рисунке. Найдите значение функции 
в точке x 0.
Решение.
Найдём значение 
. Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной.
.
Тогда искомое значение
Ответ: 0,75.
Задание 8 № 25601
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Решение.
Площадь поверхности заданного многогранника равна площади поверхности прямоугольного параллелепипеда с ребрами 3, 5, 5:
.
Ответ: 110.
Задание 9 № 26779
Найдите 
, если 
.
Решение.
Используем формулу косинуса двойного угла 
. Имеем:
Ответ: 22,08.
Задание 10 № 28011
Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью 
м/с под острым углом 
к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью 
(м/с), где 
кг – масса скейтбордиста со скейтом, а 
кг – масса платформы. Под каким максимальным углом (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,25 м/с?
Решение.
Задача сводится к решению неравенства 
на интервале 
при заданных значениях массы скейтбордиста кг и массы платформы кг:
Ответ: 60.
Задание 11 № 99602
Расстояние между пристанями А и В равно 120 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот прошел 24 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Решение.
Скорость плота равна скорости течения реки 2 км/ч. Пусть и км/ч – скорость яхты, тогда скорость яхты по течению равна 
км/ч, а скорость яхты против течения равна 
км/ч. Яхта, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А, а плоту понадобилось на час больше времени, чтобы пройти 24 км.
Ответ: 22.
Задание 12 № 26719
Найдите наибольшее значение функции 
на отрезке 
.
Решение.
Найдем производную заданной функции:
.
Найдем нули производной на заданном отрезке:
.
Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:
В точке 
заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:
Ответ: 8.
Задание 13 (С1) № 521844
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | |
| Максимальный балл |
Решите уравнение: 
.
Решение.
Уравнение является квадратным относительно корня:
Ответ: 
.
Задание 14 (С2) № 514474
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) | |
| Выполнен только один из пунктов а) или б) | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | |
| Максимальный балл |
*Критерии распространяются и на случай использования координатного метода
В правильной четырёхугольной призме АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 сторона АВ основания равна 6, а боковое ребро АА 1 равно 
. На ребрах BC и C 1 D 1 точки К и L соответственно, причём ВК = 4, C 1 L = 5. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки К и L.
а) Докажите, что прямая AC 1 перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите расстояние от точки B 1 до плоскости γ.
Решение.
а) Так как плоскость 
параллельна диагонали основания BD, то пересекает основание ABCD по прямой KK1 параллельной BD, K1 лежит на CD. Так как, 
прямая сечения 
параллельна BD, где L1 лежит на B1C1. Сечением призмы будет трапеция 
.
Для того, чтобы прямая была перпендикулярна плоскости, необходимо, чтобы она была перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.
Заметим, что проекцией прямой AC 1 на плоскость ABCD является прямая AC. Кроме того, 
, как диагонали квадрата, таким образом, по теореме о трех перпендикулярах 
следовательно, 
.
Рассмотрим плоскость AA 1 C 1 C. Пусть эта плоскость пересекает прямые KK 1 и LL 1 в точках E и F соответственно. O – точка пересечения EF и AC 1.
Четырёхугольник AA 1 C 1 C – прямоугольник, причём
, 
, 
, 
, 
Так как AA 1 C 1 C прямоугольник, 
~ 
, 
. Значит, 
, 
. Таким образом,
.
Тогда по обратной теореме Пифагора 
следовательно, треугольник 
прямоугольный, 
.
Таким образом 
.
б) Расстояние от точки B 1 до плоскости 
равно расстоянию до нее от любой точки параллельной ей прямой B 1 D 1. Из точки M – пересечения диагоналей грани 
в плоскости AA 1 C 1 C опустим перпендикуляр MH на прямую EF. Так как, по доказанному в п. а) , плоскость 
, следовательно, указанный перпендикуляр – искомое расстояние. Найдем 
. Заметим, 
~ , 
. Таким образом 
.
Ответ: б) 
.
Задание 15 (С3) № 508559
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Обоснованно получен верный ответ. | |
| Допущена единичная ошибка, возможно, приведшая к неверному ответу, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения. | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | |
| Максимальный балл |
Решите неравенство: 
.
Решение.
Сделаем замену 
.
Тогда 
или 
, откуда находим множество решений неравенства: 
.
Ответ: .
Задание 16 (С4) № 516801
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | |
| Максимальный балл |
В треугольнике ABC точки A 1, B 1 и C 1 – середины сторон ВС, АС и АВ соответственно, AH – высота, 
, 
а) Докажите, что A 1, B 1, C 1 и H лежат на одной окружности.
б) Найдите A 1 H, если 
.
Решение.
a) Заметим, что 
– медиана прямоугольного треугольника ABH, значит, 
, но и 
как средняя линия треугольника АВС. Поэтому четырёхугольник 
– равнобедренная трапеция, вокруг неё можно описать окружность, а значит, точки A 1, B 1, C 1 и H лежат на одной окружности. Что и требовалось доказать.
б) Середины сторон треугольника являются вершинами подобного ему треугольника. Поэтому верны равенства: 
, 
Кроме того из п. а) 
.
Следовательно,
.
Пусть R – радиус окружности, описанной вокруг трапеции. Эта окружность одновременно описана вокруг треугольников 
и 
. Тогда по теореме синусов для каждого из них, имеем:
,
откуда находим 
.
Приведем другое решение пункта а) Так как – медиана прямоугольного треугольника ABH, треугольник 
равнобедренный, тогда 
, откуда 
. Поскольку 
, сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°, а значит, он является вписанным.
Приведём решение пункта б) без использования пункта а).
Найдем сторону АВ треугольника ABC по теореме синусов:
.
Найдем катет прямоугольного треугольника AHB:
Тогда длина искомого отрезка A 1 H:
.
Замечание. Покажем, что полученная длина равна 1. Действительно, поскольку
имеем:
Ответ: б) 1.
Задание 17 (С5) № 513923
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Обоснованно получен верный ответ | |
| Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели и получен результат: — неверный ответ из-за вычислительной ошибки; — верный ответ, но решение недостаточно обосновано | |
| Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, при этом решение может быть не завершено | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | |
| Максимальный балл |
В июле 2016 года планируется взять кредит в размере 4,2 млн. руб. Условия возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года.
— с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга.
— в июле 2017, 2018 и 2019 годов долг остается равным 4,2 млн. руб.
— суммы выплат 2020 и 2021 годов равны.
Найдите r, если долг выплачен полностью и общие выплаты составили 6,1 млн. рублей.
Решение.
Пусть банк начисляет r процентов, то есть умножает остаток долга на 
Тогда первые три платежа составляли 
миллионов рублей. Пусть, далее, четвертый и пятый платежи составляли N миллионов рублей. Тогда 
, откуда 
. По условию, общие выплаты составили 6,1 млн руб., откуда имеем:
.
Тогда 
.
Ответ: 10.
Приведём другое решение.