ВВЕДЕНИЕ
Моя тема «Применение теории вероятности при определении выигрыша в азартных играх» является очень интересной. Математика соприкасается с обыденной жизнью гораздо больше, чем мы можем себе представить. Эта наука встречается нам каждый день при самых различных ситуациях. Например, вероятность — это одно из основных понятий не только в математической статистике, но и в жизни любого человека. Так, каждому из нас каждый день приходится принимать множество решений в условиях неопределенности. Однако эту неопределенность можно «превратить» в некоторую определенность. И тогда это знание может оказать существенную помощь при принятии решения. Как ни странно, но человек часто применяет теорию вероятностей в повседневном быту, хотя может и не знать математические формулы и распределения кривой вероятности, и это не обязательно. Жизненный опыт, логика и интуиция всегда подсказывают человеку его шансы на удачу, будь то поступление на работу, карьера, личная жизнь, решение проблем, возможность выигрыша и т.п. Однако иногда очень полезно проверить совпадают ли догадки с математическим анализом, ведь у каждого «случайного» события есть четкая вероятность его наступления.
Мне хотелось бы обратиться, по большей степени, к азартным играм, а точнее к вероятности выигрыша в них. Ведь азартные игры уже давно представляют развлекательные возможности для людей, чтобы сочетать удачу и мастерство в погоне за прибыльными выигрышами. Существуют сотни различных форм азартных игр, и каждая может определяться определенным математическим принципом.
Почему же люди прибегают к азартным играм? Я думаю, из-за желания получить как можно больше денежных средств и это не является ни для кого секретом. Но ведь у каждой монеты есть две стороны. Поэтому чтобы действительно выиграть, а не проиграть и не стать банкротом, в азартных играх нужны знания и удача. Конечно, без фортуны тяжело надеяться на благоприятный исход событий, однако больший, я бы даже сказала основной, является фактор умения применять математические знания или же теорию вероятности.
Итак, передо мной стоит следующая проблема: являются ли азартные игры действительно лёгким, доступным и подходящим методом для увеличения своего богатства?
Цель данной исследовательской работы заключается в изучении возможности применения теории вероятности при определении шанса выигрыша в азартных играх.
Также есть следующие задачи, которые необходимо выполнить в ходе исследовательской работы:
· Показать универсальность теории вероятности.
· Провести вероятностный анализ азартных игр.
· Выявить возможности применения теории вероятности при определении шанса выигрыша в азартных играх.
В процессе проведения исследования мною использовались преимущественно теоретические методы исследования: анализ, синтез, моделирование, классификация, обобщение, сравнение.
Мое исследование носит также преимущественно познавательный, чем прикладной характер. Однако некоторые выводы и собранный материал может быть использован на уроках математики при изучении тем, связанных с теорией вероятности.
Глава 1. Универсальность теории вероятности
Чтобы разобраться непосредственно в теории вероятности и расчётах, давайте для начала обратимся к истории её появления.
Французский дворянин, некий господин де Мере, был азартным игроком в кости и страстно хотел разбогатеть. Он затратил много времени, чтобы открыть тайну игры в кости. Он выдумывал различные варианты игры, предполагая, что таким образом приобретет крупное состояние. Так, например, он предлагал бросать одну кость по очереди 4 раза и убеждал партнера, что, по крайней мере, один раз выпадет при этом шестерка. Если за 4 броска шестерка не выходила, то выигрывал противник.
В те времена еще не существовала отрасль математики, которую сегодня мы называем теорией вероятностей, а поэтому, чтобы убедиться, верны ли его предположения, господин Мере обратился к своему знакомому, известному математику и философу Б. Паскалю с просьбой, чтобы он изучил два знаменитых вопроса, первый из которых он попытался решить сам.
Вопросы были следующие:
Сколько раз надо бросать две игральные кости, чтобы случаев выпадения сразу двух шестерок было больше половины от общего числа бросаний?
Как справедливо разделить поставленные на кон двумя игроками деньги, если они по каким-то причинам прекратили игру преждевременно?
Также в письме к Паскалю он пишет: «Вы знаете, что я открыл редкие вещи, которые почтенные математики никогда не обсуждали. О моих открытиях писали Вы, Ферма и Гюйгенс, которые ими восхищались. Эта наука имеет много любопытных вещей, но которые мне кажутся не очень полезными»[1].
Паскаль не только сам заинтересовался этим, но и написал письмо известному математику П. Ферма, чем спровоцировал его заняться общими законами игры в кости и вероятностью выигрыша.
Таким образом, азарт и жажда разбогатеть дали толчок возникновению новой чрезвычайно существенной математической дисциплины: теории вероятностей. В разработке ее основ принимали участие математики такого масштаба, как Паскаль и Ферма, Гюйгенс, который написал тракта «О расчетах при азартных играх», Яков Бернулли, Муавр, Лаплас, Гаусс и Пуассон. В наше время теория вероятности используется почти во всех отраслях знаний: в статистике, синоптике (прогноз погоды), биологии, экономике, технологии, строительстве и т. д.
Все мы в той или иной мере используем теорию вероятности на основе анализе произошедших в нашей жизни событий. Например, мы знаем, что смерть во время автомобильной аварии боле вероятна, чем от удара молнии, потому что первое, к сожалению, происходит очень часто. Так или иначе, мы обращаем на вероятность вещей внимание, чтобы спрогнозировать свое поведение. Но, к сожалению, не всегда человек может точно определить вероятность тех или иных событий.
Например, не зная статистики, большинство людей склонны думать, что шанс погибнуть в авиакатастрофе больше, чем в автомобильной аварии. Теперь же мы знаем, изучив факты (о которых, думаю, многие наслышаны), что это совсем не так. Дело в том, что наш жизненный «глазомер» иногда дает сбой, потому что авиатранспорт кажется значительно страшнее людям, привыкшим твердо ходить по земле. Да и большинство людей не так часто используют этот вид транспорта. Даже если мы и может оценить вероятность события верно, то, скорее всего, крайне неточно, что не будет иметь никакого смысла, скажем, в космической инженерии, где миллионные доли решают многое. А когда нам нужна точность, то мы обращаемся к кому? Конечно же, к математике.
Примеров реального использования теории вероятности в жизни множество. Практически вся современная экономика базируется на ней. Выпуская на рынок определенный товар, грамотный предприниматель наверняка учтет риски, а также вероятности покупки в том или рынке, стране и т.д. Практически не представляют свою жизнь без теории вероятности брокеры на мировых рынках. Предсказывание денежного курса (в котором точно не обойтись без теории вероятности) на денежных опционах или знаменитейшем рынке Forex дает возможность зарабатывать на данной теории серьезные деньги.
Теория вероятности имеет значение в начале практически любой деятельности, а также ее регулирования. Благодаря оценке шансов той или иной неполадки (например, космического корабля), мы знаем, какие усилия нам нужно приложить, что именно проверить, что вообще ожидать в тысячи километров от Земли. Возможности теракта в метрополитене, экономического кризиса или ядерной войны — все это можно выразить в процентах. А главное, предпринимать соответствующие контрдействия исходя из полученных данных. Любую деятельность любой сферы можно проанализировать, использую статистику, рассчитать благодаря теории вероятности и заметно улучшить.
В азартных играх теория вероятностей – расчет с использованием специальных формул. Подсчитывать в уме или на бумажке возможность выпадения той или иной комбинации в слоте долго и бессмысленно. То же можно сказать и о рулетке, покере. Специалисты создали программы, производящие необходимые подсчеты на основе заданных данных – предыдущих результатов игры. Прежде чем подсчитать вероятность победы, необходимо заняться фиксацией важной информации и записать, сколько раз выпадало определенное число на рулетке, как часто слот выдавал денежные призы и т.д.
Рассчитывать выигрышные комбинации, опираясь на теорию вероятностей, можно лишь в случае, если казино придерживается принципов честной игры. При вмешательстве в работу автоматов со стороны оператора предугадать исход событий невозможно.
Таким образом, мы чётко прослеживаем связь между теорией вероятностей и азартными играми.
Уже так много было сказано о теории вероятности, но что же это такое?
Теория вероятностей – это наука о закономерностях случайных событий. Под случайным событием в теории вероятностей понимается всякое явление, которое может произойти или не произойти (случайным образом) при осуществлении определенного комплекса условий. Каждое такое осуществление называется испытанием, опытом или экспериментом[2].
События можно подразделить на достоверные, невозможные и случайные.
Достоверным называется событие, которое обязательно произойдет при испытании. Невозможным называется событие, которое заведомо не произойдет при испытании. Случайным называется событие, которое в результате эксперимента может либо произойти, либо не произойти (в зависимости от случайных обстоятельств)[3].
Предметом теории вероятностей являются закономерности массовых случайных событий, где под массовостью мы понимаем многократную повторяемость[4].
Рассмотрим несколько событий: появление герба при бросании монеты; появление трех гербов при трехкратном бросании монеты; попадание в цель при выстреле; выигрыш по билету денежно-вещевой лотереи.
Очевидно, что каждое из этих событий обладает какой-то степенью возможности. Для того, чтобы количественно сравнивать между собой события по степени возможности, нужно с каждым событием связать определенное число.
Вероятность события есть численная мера степени объективной возможности этого события. В качестве единицы измерения вероятности принята вероятность достоверного события. Вероятность невозможного события равна нулю. Вероятность любого случайного события обозначается P и изменяется в диапазоне от нуля до единицы: 0 ≤ P ≤ 1.
Вероятностью случайного события называется отношение числа n несовместимых равновероятных элементарных событий, составляющих событие, к числу всех возможных элементарных событий N:
Одной из важнейших задач теории вероятностей является выявление практически невозможных (или практически достоверных) событий, дающих возможность предсказывать результат опыта, и выявление условий, при которых те или иные события становятся практически невозможными (достоверными)[5].
Наряду с практически невозможными (достоверными) событиями, которые позволяют с уверенностью предсказывать исход опыта, несмотря на наличие случайности, в теории вероятностей большую роль играют особого типа случайные величины, которые, хотя и являются случайными, но имеют такие незначительные колебания, что практически могут рассматриваться как не случайные. Примером такой «почти не случайной» величины может служить частота события при большом числе опытов. Эта величина хоть и является случайной, но при большом числе опытов практически может колебаться только в очень узких пределах вблизи вероятности события.
Такие «почти не случайные» величины дают возможность предсказывать численный результат опыта, несмотря на наличие в нем элементов случайности, оперируя с этим результатом столь же уверенно, как мы оперируем с данными, которые доставляются обычными методами точных наук.
Так, доказывается универсальность теории вероятности. Также мы можем сделать вывод, что методы, которые используются при расчетах в теории вероятности вполне применимы и в практической жизни каждого человека. Для этого вовсе не нужно использовать сложные расчеты, а нужно всего лишь фиксировать и анализировать определенную последовательность данных. Изучая на уроках темы, связанные с теорией вероятности (отдельные ее элементы, конечно) я приучилась быть более наблюдательной и тщательно подходить к анализу происходящих событий. Также это помогает мне принимать решения при планировании тех или иных действий. Таким образом, я считаю, что теория вероятности, действительно, универсальна и ее может использовать каждый школьник, если ему более детально и интересно объяснить, как это делать. В том числе, представляет, конечно же, интерес возможности использования теории вероятности в азартных играх для того, чтобы разбогатеть. А стать богатым в наше время хочет каждый. И это правильно в условиях рыночной экономики и постиндустриального общества, в котором мы живем. Поэтому, я считаю, что, если приводить примеры из азартных игр, то можно заинтересовать учеников в изучении теории вероятности. Как же может помочь эта теория в возможности выиграть в азартные игры? Рассмотрим этот вопрос подробнее в следующей главе.
Глава 2. Вероятностный анализ азартных игр
Как же можно посчитать свой возможный выигрыш? И можно ли это сделать вообще? Как я уже отметила в предыдущей главе – можно. Теперь попытаемся ответить на вопрос, как это сделать?
Математическое ожидание дискретной случайной величины есть сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности:
M(X) = x1p1 + x2p2 +... + xnpn
Применительно к игре математическое ожидание является суммой, которую вы можете заработать или проиграть в среднем по каждой ставке. На языке игроков это иногда называется преимуществом игрока (если оно положительно для игрока), или преимуществом казино (если оно отрицательно для игрока)[6].
Где P – вероятность выигрыша или проигрыша
A – выигранная или проигранная сумма
N– количество возможных результатов
Предположим, вы играете в кости. При выпадении 5 и 6 очков вы выигрывайте 5 очков, а при выпадении 1, 2, 3 и 4 – проигрывайте 3 очка. Посчитаем математическое ожидание.
Как мы видим математическое ожидание отрицательное, что делает игру не обоснованной. Попробуем поднять выигрыш до 6 очков.
Вот на таких условиях можно играть. А теперь попробуем поднять выигрыш до 7 рублей.
Как мы видим математическое ожидание положительное, что даёт больше шансов на выигрыш. Таким образом, можно выиграть, если изначально будет потенциал для получения приза. Для этого нужно сделать нехитрые вычисления: проверить с помощью математического ожидания непосредственно само число и, если оно окажется положительным, то стоит надеяться на выигрыш. Собственно, как показывают расчеты, выяснить это несложно. На уроках математики вполне возможно решать задачи и выяснять, сможем ли мы заработать деньги при игре в кости или нет. Как мы видим, шансы есть. Нужно лишь правильно посчитать.
Лотереи:
Ещё из советских времён пришли к нам лотереи. Гениальным режиссёром Леонидом Иовичем Гайдаем даже был снят фильм «Спортлото 82». Опустим художественные подробности фильма и попробуем посчитать, какой шанс на выигрыш дают нам лотереи. Сначала о правилах. В купленной карточке нужно зачеркнуть 5 из 36 чисел, либо 6 из 49 в зависимости от варианта игры. Одну часть билета отправить по почте, другую оставить себе. Затем при помощи лототрона и шаров определяется выигрышная комбинация. Давайте немного окунёмся в математику. Для того чтобы узнать шанс на выигрыш, воспользуемся следующей формулой (где m – количество шаров, которые необходимо угадать, играя в лотерею, а n – количество шаров в лототроне).
Для лотереи 6 из 49:
Для лотереи 5 из 36:
Вот оно истинное лицо числовых лотерей. Теперь понятна вся мизерность шанса на выигрыш в лотерею. Кажется, что может быть проще угадать 6 чисел из 49? А угадать одно число из 13 983 816 чисел реально? Запомните – это одно и то же.
Из почти 14 миллионов игроков в лотерею лишь одному может выпасть шанс угадать все шесть чисел. Действительно стоило создать фильм об этом великом событии. Таким образом, математически предсказать выигрышную комбинацию невозможно. Здесь большую роль играет случайность и везение. Может, это покажется и неинтересным на уроках математики, зато может заставить кого-то задуматься и отказаться от желания испытывать судьбу на деньги. Если мы купим даже 100 лотерейных билетов и будем пытаться математически подбирать возможные комбинации чисел, то мы сможем лишь ненамного приблизиться к возможному выигрышу. Это может быть полезным только лишь с точки зрения формирования навыка решения задач с применением формул теории вероятности.
Европейская рулетка (рулетка Монте – Карло):
Колесо рулетки Монте - Карло имеет 37 секторов, секторы 1, 3, 5, 7, 9,13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35 красные; секторы 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36 чёрные и сектор 0, он же ZERO – зелёного цвета.
Если не считать 0, секторы на колесе рулетки чередуются между красным и чёрным. Такой странный порядок чисел на колесе предназначен для того, чтобы большие и маленькие числа, так же как чётные и нечётные числа, имели тенденцию чередоваться.
Ставки казино:
Прямая ставка или ставка на число – является ставкой на единственное число и оплачивается в случае выигрыш 35:1, т. е. при выпадении выбранного вами числа выигрыш равен 35 единицам, в других случаях вы поигрываете одну единицу (ставку).
Ставка на 2 числа является ставкой на два смежных числа в таблице на столе рулетки. Фишка ставится на черту, разделяющую два номера. Выигрыш оплачивается как 17:1, если выпадает любое из выбранных чисел.
Ставка на 3 числа (или ставка на строку C) является ставкой на три числа в вертикальной строке таблицы. Фишка ставится на вертикальную черту, ограничивающую ряд справа. Выигрыш оплачивается как 11:1, если при одном вращении колеса рулетки выпадет одно из трёх чисел.
Ставка на 4 числа (D) является ставкой на четыре числа, которые образуют квадрат на столе рулетки. Фишка ставится на угол между четырьмя номерами. Выигрыш оплачивается как 8:1, если при одном вращении колеса рулетки выпадает одно из 4 чисел.
Ставка на 6 чисел (F) является ставкой на шесть чисел в двух смежных строках. Выигрыш оплачивается как 5:1, если выпадает одно из выбранных чисел.
Ставка на 12 чисел. Ставки на 12 чисел могут быть сделаны несколькими способами. Ставка на столбец (G) делается на любой из трёх столбцов, расположенных горизонтально на столе. Фишка ставится на поле возле выбранной колонки.
Другие ставки на 12 чисел (H) – первая дюжина (1 – 12), средняя дюжина (13 – 24) и последняя дюжина (25 – 36). Ставки на 12 чисел оплачиваются как 2:1, если выпадает одно из выбранных чисел. Ставка на 12 чисел проигрывает, если выпадает 0.
Ставки на 18 чисел. Ставка на цвет (I) является ставкой на красное или чёрное.
Ставка на чёт – нечет (K) является ставкой на чётные числа от 1 до 36 или на нечётные числа от 1 до 36. Малая ставка (J) является ставкой на числа 1 – 18, и большая ставка является ставкой на числа от 19 до 36.
Ставки на 18 чисел оплачиваются 1:1, если при одном вращении колеса рулетки выпадает одно из выбранных чисел. Ставка на 18 чисел проигрывает, если выпадает 0.
Определим величину ожидаемого выигрыша при различных ставках:
X – величина выигрыша (проигрыша)
P(X) – вероятность выигрыша (проигрыша)
Ставка на число
| X | -1 | |
| P(X) | 
| 
|
Как мы видим математическое ожидание в данном случае отрицательное, т. е. на каждую поставленную единицу ожидается проигрыш около 0,03 этой единицы.
Ставка на пару чисел
| X | -1 | |
| P(X) | 
| 
|
Ставка на четыре числа
| X | -1 | |
| P(X) | 
| 
|
Ставка на дюжину
| X | -1 | |
| P(X) | 
| 
|
Как мы видим, правила игры созданы так, что с повышением вероятности того, что произойдёт определённое событие, уменьшается ставка на это событие, при этом математическое ожидание остаётся неизменным. Таким образом, делаем вывод о том, что европейская рулетка или, проще говоря, казино далеко не является местом, где люди выигрывают большие суммы денег, скорее даже наоборот. В самих правилах игры заложена математическая закономерность не повышающая, а понимающая вероятность выигрыша. Тем не менее, мы видим, что просчитать вероятность выигрыша возможно. Однако правила казино не позволят нам сделать его очень большим. Нужно очень долго прорешивать возможные комбинации, чтобы выиграть большую сумму денег.
Игровые автоматы:
Сейчас игровые автоматы не встретишь ни в торговых, ни в развлекательных центрах, а ведь ещё совсем недавно они стояли прямо на улицах и каждый мог испытать свою судьбу. При этом, как правило, вы либо проигрывали, либо оставались в незначительном выигрыше. Попробуем разобраться, был ли шанс разбогатеть, играя на них.
О правилах:
Стоимость одной игры составляла пять рублей. Выигрыш варьировался в зависимости от комбинации трёх цифр на игровом табло. Величина выигрыша равнялась произведению пяти рублей и количеству монет, указанному в таблице. Например, 444=50 обозначает, что при выпадении числа 444 ваш выигрыш составит 50 пятачков. Рассчитаем вероятность выпадения каждой комбинации. При расчётах будем исходить из того, что выпадение любой из цифр равновероятно.
Посчитаем вероятность выпадения трёх одинаковых цифр:
Вероятность выпадения двух одинаковых цифр в схемах Y00 и Y77 равна:
Расклад вида YY0 и YY7 означает, что второй цифрой не может стоять 0 и 7 соответственно (так как это приведёт к появлению других комбинаций), а первая цифра может быть вообще любой, отсюда:
Сведём в таблицу сумму и вероятность выигрыша
| X | |||||||
| P | 0,09 | 0,09 | 0,009 | 0,009 | 0,001 | 0,001 | 0,001 |
| X | |||||||
| P | 0,001 | 0,001 | 0,001 | 0,001 | 0,001 | 0,001 | 0,001 |
И посчитаем математическое ожидание выигрыша:
В результате мы видим, что математическое ожидание выигрыша меньше пяти рублей, хотя и ненамного, что делает игру обоснованной при однократном испытании, но при продолжительной игре результат будет уже просто удручающим. Так что заработать на такой игре вряд ли удастся.
Таким образом, мы можем сделать вывод из всего вышеописанного, что азартные игры не являются лёгким и быстрым способом заработка денег. Однако возможность просчитать выигрыш существует. В этом нам может помочь теория вероятности.
Глава 3. Выявление возможности применения теории вероятности при определении шанса выиграть в азартных играх
Мы уже выявляли возможность использовать расчеты теории вероятности при определении шанса выиграть в конкретном виде игр. Постольку видов азартных игр колоссальное множество, то следует обратиться к универсальной формуле расчета прибыли, которая выглядит следующим образом:
где:
Sсред — средний выигрыш в одном цикле игры (один бросок игральной кости, одно вращение рулетки, одно конкретное действие игрока в покере, одна ставка в букмекерской конторе и т. п.);
Pв — вероятность выигрыша;
Sв — сумма выигрыша;
Pп — вероятность проигрыша;
Sп — сумма проигрыша.
Эта формула достаточна простая, но главное её легко применить в жизни.
К примеру, вы бросаете игральную кость единожды. И для выигрыша нужна сумма меньше 5 очков. Какова будет сумма выигрыша, будет ли он вообще и стоит ли начинать игру?
Всего будет 36 возможных вариантов. После подсчёта видим, что всего 6 раз сумма очков двух костей будет меньше 5. Значит, вероятность выигрыша равна 1/6:
Соответственно, вероятность проигрыша равна 5/6. Также, допустим, мы ставим 10$.
Так, руководствуясь универсальной формулой, следует:
Из этого мы делаем вывод, что, если будем ставим по 10$ каждый раз, то вероятнее всего проиграем 6,6$, а значит это невыгодно и не стоит начинать игру.
Этот пример иллюстрирует одно из многих применений теории вероятности в реальной жизни.
Таким образом, можно подобрать серию задач на уроках математики, которые можно с успехом решать, обсуждать и, возможно, применять в жизни. Кстати, это касается не только азартных игр, но и других случаев, когда нужно делать выбор.
Еще раз подчеркнем, что, если кто решит, что выиграть огромную сумму денег в азартные игры – это легко, он ошибается. Изученный мной материал показывает, что, в принципе, это возможно, но для этого необходимо вести долгие и кропотливые подсчеты. Так что, это тоже огромный труд, а не результат фортуны.
Заключение
Цель и задачи, поставленные в работе, выполнены. В частности, нам удалось рассмотреть теорию вероятности в азартных играх и доказать её универсальность. Узнали, что теория вероятностей – это математическая наука, изучающая закономерности массовых случайных явлений. Она определяет и анализирует числовые характеристики случайных событий, наиболее важными, из которых являются вероятность события и математическое ожидание случайной величины. Также в процессе изучения материала мы познакомились с наиболее интересными видами азартных игр и их классификацией.
Работа позволяет сделать вывод о том, что в основе таких игр лежит математическая наука, как теория вероятности. Благодаря её точным и грамотным вычислениям, можно выяснить какой ход, какое решение или какая ставка возможно принесёт игроку успех.
Также на примерах я выяснила, что:
- выигрыш в азартных играх ничтожно мал и сводится к нулю;
- большинство людей считает, что игра в карты, игровые автоматы, рулетку и т. п. приносят быструю и лёгкую прибыль, хотя это не является истиной.
Мне хотелось бы, чтобы моя работа помогла людям не совершать ошибки, которые они допускают, играя в азартные игры.
Список литературы
1. Бернштейн С.Н. Теория вероятностей, 4 изд.,К. - Л., 2003.
2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учебник для вузов. М.: Высшая школа, 2006.
3. Гнеденко Б.В. Очерк по теории вероятностей. М.: Эдиториал УРСС, 2009.
4. История появление азартных игр. 2012. URL: https://kazin0.com/index.php?file=istoriya_poyavleniya_azartnyih_igr.
5. История теории вероятностей// https://veroyat.narod.ru/istoriya_teorii_veroyatnostey.html
6. Классификация азартных игр. 2011. URL: https://libsib.ru/igorniy-biznes/mir-azartnich-igr/klassifikatsiya-igr-osnovnie-ponyatiya-i-termini.
7. Колмогоров А. Н. Журбенко И. Г. Прохоров А. В. Введение в теорию вероятностей – М.: Наука, 1982.
8. Луговая И.Н. Курс теории вероятностей, 4 изд., М., 2001.
9. Лютикас В. С. Школьнику о теории вероятностей – М.: Просвещение, 1983.
10. Математика и азартные игры. 2013. URL: https://www.casino-grand.ru/matematika_i_azartnie_igri_147.html
11. Тарасов Л. В. Закономерности окружающего мира – М.: Физматлит, 2004.
12. Теория вероятностей в азартных играх-https://maerenkovavv.ru/load/tvorcheskie_raboty_uchashhikhsja/kachimova_julija/3-1-0-20
13. Теория вероятностей и расчет карт -https://ruwinners.com/how-win/win-blackjack/bj-raschet.html
14. Трошин Л.И. Теория вероятностей: Учебное пособие/ Московский государственный университет экономики и информатики. – М., 2003.
15. Универсальная формула вычисления прибыли для азартных игр. 2011. // URL: https://pokersell.ru/strategiya/universalnaya-formula-vychisleniya-pribyli-dlya-azartnyx-igr/.
16. Яковлев В.П. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие. – 3-е изд. – М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К», 2012.
[1] Цит. по: Гнеденко Б.В, Хинчин А.Я. Элементарное введение в теорию вероятностей, 3 изд.,К. - Л.,2008. С. 78.
[2] Луговая И.Н. Курс теории вероятностей, 4 изд., М., 2001. С. 54.
[3] Бернштейн С.Н. Теория вероятностей, 4 изд.,К. - Л., 2003. С. 89.
[4] Луговая И.Н. Указ. Соч. С. 56.
[5] Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учебник для вузов. М.: Высшая школа, 2006. С. 234.
[6] Гнеденко Б.В. Очерк по теории вероятностей. М.: Эдиториал УРСС, 2009. С. 68.