Краткий анализ других видов дуополии

Равновесие Штакельберга. Рассмотренная модель Курно описывает лишь один из возможных способов формирования экономической стратегии дуополистов. Причем исходная гипотеза (7.3.3) относительно предположительных вариаций, на основе которой строится равновесие Курно, оказалась, по существу, не соответствующей реальности, так как не выдерживает испытания временем.

Откажемся от гипотезы Курно и анализируем другую гипотезу, которая порождает так называемую дуополию Штакельберга.

Фирму 1 (2) будем называть дуополистом Курно, если

Далее фирму 1 (2) будем называть S -стратегом, если она считает, что фирма 2 (1) будет вести себя как дуополист Курно, т.е. что она будет определять свой выпуск, пользуясь кривой реакции (см. рис. 7.7).

Определение 7.4. Модель (7.3.1) называется дуополией Штакельберга, если одна или обе фирмы являются S -стратегами.

Тройка , где - решение задачи (7.3.1) при условиях дуополии Штакельберга, - соответствующая этим выпускам (в силу системы (7.3.1)) цена товара, называется равновесием Штакельберга.

Проанализируем дуополию Штакельберга на примере 8.2. Пусть фирма 1 является S -стратегом, т.е., по ее мнению, Тогда из второго равенства в (7.3.10) найдем вид кривой реакции для фирмы 2:

(7.4.1)

Отсюда вычислим предположительную вариацию фирмы 1 для данного случая:

Подставляя это в первое из необходимых условий (7.3.9), получаем

Это равенство дает нам вид кривой реакции для фирмы 1:

(7.4.2)

Итак, если с точки зрения фирмы 1 ее партнер является дуополистом Курно, то кривые реакции имеют вид (7.4.1) и (7.4.2). Если предположение фирмы 1 верно, то, решая систему (7.4.1)-(7.4.2) относительно и , найдем оптимальные выпуски в дуополии Штакельберга, в которой фирма 1 является S -стратегом:

Подставляя эти значения в формулу для цены (см. условие примера 8.2), найдем

Найденная тройка

(7.4.3)

определяет равновесие Штакельберга, когда фирма 1 является объективным S -стратегом. Это равновесие часто называют 1-равновесием Штакельберга.

Сравнивая данное равновесие с равновесием Курно (7.3.11), можем сказать, что в 1-равновесии Штакельберга товар "дороже" на величину , фирма 1 выпускает больше, а фирма 2 - меньше, чем при равновесии Курно, и в таком же отношении находятся прибыли фирм.

Если фирмы поменяются местами, т.е. S -стратегом будет теперь фирма 2, то, учитывая симметричность случая, получим следующее 2-равновесие Штакельберга:

(7.4.4)

В этой ситуации в более выгодном положении находится фирма 2, так как она получает большую прибыль, чем в равновесии Курно, а фирма 1 - меньшую.

Предположим, наконец, что обе фирмы являются S -стратегами. В результате получаем, что обе фирмы ошибаются в своих предположениях о том, что конкурент является дуополистом Курно, тогда как обе они являются истинными дуополистами Штакельберга (стратегами). В этом случае (гипотетические) кривые реакции (Курно) имеют вид:

Поэтому предположительные вариации придают необходимым условиям (7.3.9) следующий вид:

Решая совместно эти два уравнения, получаем

Этим выпускам соответствует цена

Тройка

(7.5.4)

называется неравновесием Штакельберга.

Неравновесность набора (7.4.5) объясняется тем, что в данной ситуации обе фирмы получают меньшую прибыль, чем в равновесии Курно (7.3.11), и потому почти наверняка подобные экономические решения дуополистами будут отвергнуты.

Равновесие Нэша. В рассмотренных моделях исходили из того, что свои экономические решения по поводу объемов выпуска дуополисты принимают лишь на основе информации (гипотезы) об объемах выпуска конкурента. Отмечая узость такого подхода, все же надо понимать, что, во-первых, всегда можно обобщить эти подходы на основе более разнообразной информации, во-вторых, объем выпуска партнера для конкурирующих фирм является основным и определяющим ориентиром для принятия решения дуополистами.

Обобщая экономические решения, проанализированные в дуополиях Курно и Штакельберга, можно сказать, что у каждой фирмы есть два варианта поведения: либо действовать как дуополист Курно, либо действовать как дуополист Штакельберга (т.е. быть S -стратегом).

Экономическое решение i -ой фирмы, характеризующее ее как дуополиста Курно, будем называть ее -стратегией и обозначать . Аналогично, экономическое решение i -ой фирмы, характеризующее ее как дуополиста Штакельберга, будем называть ее - стратегией и обозначать .

Таким образом, у каждого дуополиста имеется две стратегии: у фирмы 1 - и , у фирмы 2 - и , и потому может быть реализована одна из четырех ситуаций: . Разместим соответствующие этим ситуациям объемы выпусков фирмы 1 и фирмы 2 в следующую таблицу (рис. 7.8).

Стратегия фирмы 2 Стратегия фирмы 1

Рис. 7.8 Объёмы выпуска дуополистов

На рис. 7.8 - равновесие Курно, - 1-равновесие Штакельберга, - 2-равновесие Штакельберга, - неравновесие Штакельберга.

Матрицу

(7.4.6)

можно рассматривать как математическую модель принятия решения с двумя участниками, имеющими каждый только две стратегии. Каждой из перечисленных четырех ситуаций соответствует одна из пар выпусков . Например, если первый участник выбрал стратегию , а второй - стратегию , то в создавшейся ситуации выпуск первого участника равен , а второго - . Каждый участник выбирает свою стратегию с целью получения как можно большего выпуска.

Модель (7.4.6) называется бескоалиционной игрой двух лиц или биматричной игрой; участники называются игроками, а выпуск - выигрышем первого игрока, - выигрышем второго игрока.

Таким образом, биматричная игра (7.4.6) может рассматриваться как еще одна (обобщенная) модель дуополии. По построению этой игры оптимальные стратегии (стратегии, максимизирующие выигрыши) игроков являются наилучшими экономическими решениями дуополистов.

Специфика модели (7.4.6), и вообще игровых моделей, в том, что по причине конфликтного характера принятия решения нет ситуаций, доставляющих игрокам их максимальные выигрыши. Объясним это на числовых значениях элементов матрицы , положив в примере 8.2 . В этом случае матрица принимает вид:

(7.4.7)

Следовательно, максимальный выигрыш первого игрока (36) может реализоваться в ситуации , а максимальный выигрыш второго игрока (36) может реализоваться в ситуации . Так как эти ситуации не совместны, т.е. не могут реализоваться одновременно, то добиться максимальных выигрышей оба игрока одновременно не смогут.

Единственным приемлемым принципом оптимального поведения игроков в биматричной игре является принцип равновесия по Нэшу (см. определение 7.1). Применяя это правило, найдем ситуацию равновесия Нэша в игре .

Выбирая стратегию , первый игрок в худшем случае получит а, применяя стратегию , - . Лучший из двух худших выигрышей равен Этот выигрыш соответствует стратегии . Рассуждая так же, найдем для второго игрока выигрыш 23 и стратегию . Легко проверить, что ситуация и является равновесием Нэша. Действительно, отклоняясь односторонне от ситуации , любой игрок разве что уменьшает свой же выигрыш.

Напомним, что эта же ситуация в дуополии была названа неравновесием Штакельберга, так как существует доминирующая над ней ситуация , в которой оба дуополиста получают большие прибыли. Но в модели (7.4.7) в условиях отсутствия обмена информацией между игроками ситуация реализована не будет ввиду рискованности одностороннего отклонения игроков от ситуации равновесия Нэша. Этот факт говорит в пользу кооперации между дуополистами, так как согласованный выбор привел бы их к гораздо лучшей ситуации .

Картельные принципы. Приведенный выше анализ модели (7.4.7) приводит к идее о целесообразности кооперации между дуополистами с целью максимизации общей прибыли, т.е. образования картеля.

В примере 8.2 объединение фирм в картель означает, что они сообща определяют объем выпуска максимизирующий общую прибыль

С помощью необходимых условий первого порядка можно найти максимальный суммарный выпуск

(7.4.8)

Следовательно, в условиях картеля нет проблем с получением максимальной суммарной прибыли, так как информация полная и нет нужды анализировать разные гипотезы. Зато здесь возникает другая проблема, связанная со справедливым разделом общей прибыли между участниками картеля. Этот вопрос напрямую приводит к теории кооперативных игр, где разработано большое число фундаментальных принципов оптимальности, таких как с-ядро, НМ-решение и т.д.

Нетрудно заметить, что все дележи максимального суммарного выпуска (7.4.8) расположены на множестве

Геометрически это есть отрезок, соединяющий монопольные точки

и

Легко убедиться, что любая точка удовлетворяет условию оптимальности по Парето. Поэтому есть Парето-оптимальное множество распределений выпуска (7.4.8) между дуополистами и, как было замечено ранее (см. раздел 6.4), точки именно этого множества должны быть предметом переговоров по поводу справедливого дележа общей прибыли.