Распределение рабочих по стажу работы

Лекция 2 21.09

Средняя величина – это обобщающая характеристика совокупности объектов, которая выражает типический размер признака.

В статистике применяются различные виды средних величин: простые и взвешенные, степенные и структурные. Наиболее часто применяют степенные средние: арифметическую, гармоническую, геометрическую. Из структурных средних используют моду и медиану.

Введем следующие понятия и обозначения: признак, по которому находится средняя, называется осредняемым признаком и обозначается х; величина осредняемого признака у каждой единицы совокупности называется индивидуальным его значением, или вариантами, и обозначается как х₁, х₂, х₃,…,х_n; частота – это повторяемость индивидуальных значений признака, обозначается буквой f.

Средняя арифметическая простая исчисляется как сумма отдельных значений признака (х_1, х₂, х_{3,…………}х_n), деленная на их число (n):

.

Средняя арифметическая простая применяется в тех случаях, когда признак встречается в совокупности один раз.

Средняя арифметическая взвешенная исчисляется из значений варьирующего признака (вариант) с учетом их весов (f). Она исчисляется во всех случаях, когда различные варианты встречаются по несколько раз:

.

Если исходные данные (значения признака) заданы в виде интервального ряда, то сначала закрывают интервалы, приняв их равными ближайшим закрытым, а затем находят середину интервала и принимают ее за варианту.

Требуется определить средний стаж работы рабочего по данным графы 1 и 2 нижеприведенной таблицы.

Распределение рабочих по стажу работы

Закрываем открытый интервал «до 5». Ширина ближайшего закрытого интервала равна 5 годам (5 – 10), следовательно, наш интервал примет значение от 0 до 5. Аналогично открытый интервал «20 и выше» примет значение 20 - 25, поскольку ширина ближайшего закрытого (15 – 20) равна 5.

Находим середину каждого интервала и принимаем ее за значение х.

Исчисляем значения хf и сумму этих значений, необходимую для расчета средней арифметической взвешенной по формуле (3.5).

Определяем средний стаж рабочего: лет.

Когда статистическая информация не содержит частот f по отдельным вариантам х совокупности, а представлена как их произведение хf, то применяется формула средней гармонической:

,

где ω = x ^.f.

Средняя геометрическая применяется в тех случаях, когда индивидуальные значения признака представляют собой, как правило, относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики, т.е. характеризует средний коэффициент роста. Если имеется n коэффициентов роста, то формула среднего коэффициента роста будет иметь вид

.

Различие индивидуальных значений признака внутри изучаемойсовокупности в статистике называется вариацией признака. Она возникает в результате того, что его индивидуальные значения складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов (условий), которые по-разному сочетаются в каждом отдельном случае.

Для измерения вариации признака и характеристики величины средней применяются:

Размах вариации (R) – это разность между максимальным и минимальным значением признака:

R=X _max-X _min.

Среднее линейное отклонение () – это средняя арифметическая из абсолютных отклонений отдельных вариантов от их средней:

- для не взвешенной и - для взвешенной средней

Дисперсия (σ²) – средний квадрат отклонений всех значений признака от их средней величины:

для не взвешенной и для взвешенной средней

Среднее квадратическое отклонение (σ) - это квадратный корень из дисперсии:

или .

Коэффициент вариации (V) – относительная мера вариации. Представляет собой выраженное в процентах отношение среднего квадратического отклонения к средней величине, исчисляется по формуле:

.

Виды дисперсий и правило сложения дисперсий. Наряду с изучением вариации признака по всей совокупности в целом, становится возможным изучить вариацию для каждой группы, а также и между этими группами. В простейшем случае, когда совокупность расчленена на группы по одному фактору, изучение вариации достигается посредством исчисления и анализа трех видов дисперсий: общей, межгрупповой и внутригрупповой.

Общая дисперсия (σ²) измеряет вариацию признака по всей совокупности под влиянием всех факторов. Она равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака х от общей средней и может быть вычислена как простая дисперсия или взвешенная дисперсия.

Межгрупповая дисперсия (δ²) характеризует систематическую вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Она равна среднему квадрату отклонений групповых средних от общей средней :

, где f – численность единиц в группе.

Внутригрупповая дисперсия () измеряет вариацию признака внутри групп, обусловленную влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Она может быть исчислена как простая дисперсия или взвешенная дисперсия:

или .

Средняя из внутригрупповых дисперсий :

.

Между общей дисперсией (σ²), средней из частных (внутригрупповых) дисперсий (), межгрупповой дисперсией (δ²) существует соотношение, определяемое правилом сложения дисперсий:

.