по направлению подготовки 01.03.04

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ
(НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

«МАИ»

 

Факультет № Б1: «Испытания летательных аппаратов »

Кафедра № Б12: «Информационные технологии испытаний и управления »

Утверждено на заседании

Учебно-методического Совета факультета №

 

Протокол №

от «___»___________20 г.

Методические рекомендации по выполнению лабораторной работы № 1 по дисциплине:

«Теория управления »

Тема: «Исследование систем автоматического управления. Определение устойчивости и качества линейных систем автоматического управления»

 

по направлению подготовки 01.03.04

« Прикладная математика (без профиля)»

Разработано:

Ст. преподавателем Мирошниковой Е.Н.

 

Утверждено

на заседании кафедры

 

«___»____________ 20г.

 

 

Москва - 2018г.

 

1. Целью выполнения лабораторной работы является:

 

Изучение теоретических сведений о динамических свойствах систем автоматического управления. Закрепление и применение теоретических сведений о динамических свойствах систем и способах исследования этих свойств на практике с помощью программы Mathcad.

 

 

2. Теоретическая часть

 

2.1 Качество процессов управления

2.1.1 Критерии устойчивости

 

Важным показателем АСР является устойчивость, поскольку основное ее назначение заключается в поддержании заданного постоянного значения регулируемого параметра или изменение его по определенному закону. При отклонении регулируемого параметра от заданной величины (например, под действием возмущения или изменения задания) регулятор воздействует на систему таким образом, чтобы ликвидировать это отклонение. Если система в результате этого воздействия возвращается в исходное состояние или переходит в другое равновесное состояние, то такая система называется устойчивой. Если же возникают колебания со все возрастающей амплитудой или происходит монотонное увеличение ошибки е, то система называется неустойчивой.

Для того, чтобы определить, устойчива система или нет, используются критерии устойчивости:

1) корневой критерий;

2) критерий Стодолы;

3) критерий Гурвица;

4) критерий Найквиста;

5) критерий Михайлова и др.

Первые два критерия являются необходимыми критериями устойчивости отдельных звеньев и разомкнутых систем. Критерий Гурвица является алгебраическим и разработан для определения устойчивости замкнутых систем без запаздывания. Последние два критерия относятся к группе частотных критериев, поскольку определяют устойчивость замкнутых систем по их частотным характеристикам. Их особенностью является возможность применения к замкнутым системам с запаздыванием, которыми является подавляющее большинство систем управления.

 

 

2.1.2 Корневой критерий

 

Корневой критерий определяет устойчивость системы по виду передаточной функции. Динамической характеристикой системы, описывающей основные поведенческие свойства, является характеристический полином, находящийся в знаменателе передаточной функции. Путем приравнивания знаменателя к нулю можно получить характеристическое уравнение, по корням которого определить устойчивость.

Корни характеристического уравнения могут быть как действительные, так и комплексные и для определения устойчивости откладываются на комплексной плоскости (рисунок 1).

 

Re

Im

Рисунок 11112.1 кор

Виды корней характеристического уравнения:

- Действительные:

положительные (корень № 1);

отрицательные (2);

нулевые (3);

- Комплексные

комплексные сопряженные (4);

чисто мнимые (5);

По кратности корни бывают:

одиночные (1, 2, 3);

сопряженные (4, 5): s_i = a ± jw;

кратные (6) s_i = s_i+1 = …

Корневой критерий формулируется следующим образом:

Линейная АСР устойчива, если все корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости. Если хотя бы один корень находится на мнимой оси, которая является границей устойчивости, то говорят, что система находится на границе устойчивости. Если хотя бы один корень находится в правой полуплоскости (не зависимо от числа корней в левой), то система является неустойчивой.

Иными словами, все действительные корни и действительные части комплексных корней должны быть отрицательны. В противном случае система неустойчива.

Пример 2.1. Передаточная функция системы имеет вид:

.

Характеристическое уравнение: s³ + 2s² + 2.25s + 1.25 = 0.

Корни: s₁ = -1; s₂ = -0,5 + j; s₃ = -0,5 - j.

Следовательно, система устойчива.

 

 

2.1.2 Критерий Стодолы

 

Этот критерий является следствием из предыдущего и формулируется следующим образом: Линейная система устойчива, если все коэффициенты характеристического полинома положительны.

То есть, для передаточная из примера 2.1 по критерию Стодола соответствует устойчивой системе.

 

 

2.1.3 Критерий Гурвица

 

Критерий Гурвица работает с характеристическим полиномом замкнутой системы. Как известно, структурная схема АСР по ошибке имеет вид (рисунок 2)

W_p - передаточная функция регулятора,

Wp

Wy

x

e

u

y

f

Рисунок 2

W_y - передаточная функция объекта управления.

Определим передаточную функцию для прямой связи: W_¥ = W_p W_y.

Далее с учетом наличия отрицательной обратной связи получаем передаточную функцию замкнутой системы:

.

Как правило, передаточная функция разомкнутой системы имеет дробно-рациональный вид:

.

Тогда после подстановки и преобразования получаем:

.

Отсюда следует, что характеристический полином замкнутой системы (ХПЗС) можно определить как сумму числителя и знаменателя W_¥:

D_з(s) = A(s) + B(s).

Для определения устойчивости по Гурвицу строится матрица таким образом, чтобы по главной диагонали были расположены коэффициенты ХПЗС с a_n+1 по a₀. Справа и слева от нее записываются коэффициенты с индексами через 2 (a₀, a₂, a₄… или a₁, a₃, a₅ …). Тогда для устойчивой системы необходимо и достаточно, чтобы определитель и все главные диагональные миноры матрицы были больше нуля.

Если хотя бы один определитель будет равен нулю, то система будет находится на границе устойчивости.

Если хотя бы один определитель будет отрицателен, то система неустойчива не зависимо от числа положительных или нулевых определителей.

Пример 2.2. Дана передаточная функция разомкнутой системы

.

Требуется определить устойчивость замкнутой системы по критерию Гурвица.

Для этого определяется характеристический полином замкнутой системы (ХПЗС):

D(s) = A(s) + B(s) = 2s⁴ + 3s³ + s² + 2s³ + 9s² + 6s + 1 = 2s⁴ + 5s³ + 10s² + 6s + 1.

Поскольку степень ХПЗС равна n = 4, то матрица будет иметь размер 4х4. Коэффициенты ХПЗС равны а₄ = 2, а₃ = 5, а₂ = 10, а₁ = 6, а₀ = 1.

Матрица имеет вид:

(обратите внимание на сходство строк матрицы: 1 с 3 и 2 с 4). Определители:

Δ₁ = 5 > 0,

,

Δ₄ = 1* Δ₃ = 1*209 > 0.

Поскольку все определители положительны, то АСР устойчива.

 

 

2.1.4 Критерий Михайлова

 

Описанные выше критерии устойчивости не работают, если передаточная функция системы имеет запаздывание, то есть может быть записана в виде

,

где t - запаздывание.

В этом случае характеристическое выражение замкнутой системы полиномом не является и его корни определить невозможно. Для определения устойчивости в данном случае используются частотные критерии Михайлова и Найквиста.

Порядок применения критерия Михайлова:

1) Записывается характеристическое выражение замкнутой системы:

D_з(s) = A(s) + B(s)^.e^-ts.

2) Подставляется s = jw: D_з(jw) =Re(w) + Im(w).

3) Записывается уравнение годографа Михайлова D_з(jw) и строится кривая на комплексной плоскости.

Re

Im

уст.

неуст.

граница уст.

Рисунок 3

Для устойчивой АСР необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова (рисунок 3), начинаясь при w = 0 на положительной вещественной полуоси, обходил последовательно в положительном направлении (против часовой стрелки) при возрастании w от 0 до ¥ n квадрантов, где n - степень характеристического полинома.

Если годограф Михайлова проходит через начало координат, то говорят, что система находится на границе устойчивости.

 

 

2.1.5 Критерий Найквиста

 

Данный критерий аналогичен критерию Михайлова, но работает с АФХ системы, поэтому более сложен для расчетов.

Последовательность:

1) Определяется передаточная функция разомкнутой системы .

2) Определяется число правых корней m.

3) Подставляется s = jw: W_¥(jw).

4) Строится АФХ разомкнутой системы.

Для устойчивости АСР необходимо и достаточно, чтобы при увеличении w от 0 до ¥ АФХ W_¥(jw) m раз охватывала точку (-1; 0), где m - число правых корней разомкнутой системы.

 

 

Re

Im

-1

неуст.

уст.

Рисунок 4

Если АФХ проходит через точку (-1; 0), то замкнутая система находится на границе устойчивости.

В случае, если характеристическое уравнение разомкнутой системы A(s) = 0 корней не имеет (т.е. m = 0), то критерий, согласно критерию, замкнутая система является устойчивой, если АФХ разомкнутой системы W_¥(jw) не охватывала точку (-1; 0), в противном случае система будет неустойчива (или на границе устойчивости).

Если характеристическое уравнение разомкнутой системы имеет нулевые корни, т. е. ее переда­точная функция может быть представлена в виде

то АФЧХ при à0 уходит в бесконечность (рисунок 5). В этом случае АФЧХ дополняются дугой (— )( /2) окружности бесконечно большого радиуса (на рисунке 5 пунктирные линии). И для устойчивости замкну­той системы дополненная АФЧХ должна l/2 раз охватывать или при l = 0 (разомкнутая система устойчива) не охватывать точ­ку (-1, j0).

Рисунок 5 - АФЧХ при нулевых полюсах

 

 

2.1.6 Определение области устойчивости

 

Структура системы определяется составом элементов звеньев и связями между ними. Поэтому изменить структуру системы — это значит изменить состав ее элементов или связи между ними.

При заданной структуре какие-либо параметры могут быть не фиксированными, т. е. их можно изменять. Такие параметры называ­ют варьируемыми. При наличии варьируемых параметров возникает проблема определения области устойчивости.

Областью устойчивости в пространстве параметров называют множество всех значений варьируемых параметров, при которых система устойчива.

Если существует область устойчивости в пространстве парамет­ров, т. е. существуют такие значения варьируемых параметров, при которых система устойчива, то она называется структурно устойчи­вой или структурно устойчивой относительно заданных варьируе­мых параметров. В противном случае, т.е. если нет таких значений варьируемых параметров, при которых система устойчива, она на­зывается структурно неустойчивой или структурно неустойчивой относительно заданных варьируемых параметров.

Область устойчивости можно определить с помощью алгебраичес­ких критериев устойчивости.

Пример. Передаточная функция разомкнутой системы Определить область устойчивости замкнутой системы на плоскости параметров (k,Т).

Решение. Характеристический полином замкнутой системы имеет вид

По критерию Льенара-Шипара

Очевидно, эти неравенства будут выполнены, если

Эта система неравенств определяет область устойчивости.

Пример. Передаточная функция разомкнутой системы

W(p) = =.

В разомкнутом состоянии система является нейтрально устойчивой (ее характеристическое уравнение a(р)=0 имеет нулевой корень).

Необходимо с помощью критерия Гурвица определить условия, при которых система, замкнутая единичной отрицательной обратной связью, будет устойчивой.

Решение. Характеристическое уравнение замкнутой системы

d(p)=b(p)+a(p)=Т₁Т₂p³+(Т₁+Т₂)p²+p+k_w=d₃p³+d₂p²+d₁p+d₀=0.

Необходимое и достаточное условие устойчивости при n=3:

D₂=d₁d₂-d₀d₃>0;

D₂=(T₁+T₂)-k_wT₁T₂>0,

т. е. замкнутая система будет устойчивой, если

k_w<,

или k_w<+.

 

2.2 Показатели качества

 

Если исследуемая АСР устойчива, то может возникнуть вопрос о том, насколько качественно происходит регулирование в этой системе и удовлетворяет ли оно технологическим требованиям. На практике качество регулирования может быть определено визуально по графику переходной кривой, однако, имеются точные методы, дающие конкретные числовые значения.

Показатели качества разбиты на 4 группы:

1) прямые - определяемые непосредственно по кривой переходного процесса,

2) корневые - определяемые по корням характеристического полинома,

3) частотные - по частотным характеристикам,

4) интегральные - получаемые путем интегрирования функций.

 

 

2.2.1 Прямые показатели качества.

 

К ним относятся: степень затухания y, перерегулирование s, статическая ошибка е_ст, время регулирования t_p и др.

Предположим, переходная кривая, снятая на объекте, имеет колебательный вид (рисунок 6).

 

Рисунок 6 – Переходная характеристика

 

Сразу по ней определяется установившееся значение выходной величины у_уст.

Степень затухания y определяется по формуле

,

где А₁ и А₃ - соответственно 1-я и 3-я амплитуды переходной кривой.

Перерегулирование s = , где y_max - максимум переходной кривой.

Статическая ошибка е_ст = х - у_уст, где х - входная величина.

Время достижения первого максимума t_м определяется по графику.

Время регулирования t_p определяется следующим образом: Находится допустимое отклонение D = 5% у_уст и строится «трубка» толщиной 2D. Время t_p соответствует последней точке пересечения y(t) с данной границей. То есть время, когда колебания регулируемой величины перестают превышать 5 % от установившегося значения.

2.2.2 Корневые показатели качества

 

К ним относятся: степень колебательности m, степень устойчивости h и др.

Не требуют построения переходных кривых, поскольку определяются по корням характеристического полинома. Для этого корни полинома откладываются на комплексной плоскости и по ним определяются:

Степень устойчивости h определяется как граница, правее которой корней нет, т.е.

h = min ,

где Re(s_i) - действительная часть корня s_i.

Степень колебательности m рассчитывается через угол g: m = tg g. Для определения g проводятся два луча, которые ограничивают все корни на комплексной плоскости. g - угол между этими лучами и мнимой осью. Степень колебательности может быть определена также по формуле:

m = min .

 

 

2.2.3 Частотные показатели качества

 

В качестве частотных показателей качества используют резонансный пик, полосу пропуска­ния, запас устойчивости по фазе и запас устойчивости по амплитуде.

Резонансный пик и полосы пропускания определяются по ампли­тудной частотной характеристике (рисунок 7). Резонансным пиком или показателем колебательности называется отношение максимально­го значения А_т к начальному значению А(0): М = А_т/А(0). В большинстве систем управления считается желательным, чтобы ре­зонансный пик находится в пределах от 1,1 до 1,5. Частота _p, при которой А() достигает максимального значения (А_т = А( _р)), назы­вается резонансной частотой.

 

Рисунок 7 - Амплитудная частотная характеристика

 

Полосой пропускания называют диапазон частот (0, _П), где _П — частота, при которой А() принимает значение 0,707A(0).

Для определения частотных показателей качества требуется построение АФХ разомкнутой системы и АЧХ замкнутой системы.

По АФХ определяются запасы: DA - по амплитуде, Dj - по фазе (рисунок 8).

Re

Im

Dj

DA

-1

Рисунок 8

Запас DA определяется по точке пересечения АФХ с отрицательной действительной полуосью.

Для определения Dj строится окружность единичного радиуса с центром в начале координат. Запас Dj определяется по точке пересечения с этой окружностью.

По АЧХ замкнутой системы определяются показатели колебательности по заданию М и ошибке М_Е как максимумы соответственно АЧХ по заданию и АЧХ по ошибке.

 

 

2.2.4 Связи между показателями качества

 

Описанные выше показатели качества связаны между собой определенными соотношениями:

; t_p = ; ;

 

2.3 Краткое описание системы Mathcad

 

Пакет программ Mathcad фирмы MathSoft относится к программным системам компьютерной математики. Он имеет простой и удобный интерфейс, сочетающийся с мощными средствами для выполнения сложных математических расчетов. Широко используются версии Mathcad 8, Mathcad 10 и Mathcad 2014. Несмотря на различные требования к аппаратным ресурсам, они имеют схожий интерфейс и обеспечивают одинаковый базисный набор математических вычислений. Запуск системы производится следующими способами:

- выполнив клик мышью по ярлыку Mathcad на Рабочем столе Windows;

- нажав кнопку “Пуск” и выбрав Стартового меню Windows раздел “ Программы”/”MachSoft Apps/Mathcad 7 (8 или 2000).

Основное окно пакета, которое для версии 7.0 имеет вид (рисунок 9).

 

Рисунок 9 – Основное окно пакета Mathcad

Вверху окна располагается заголовок с именем документа. Ниже располагается строка Главного меню. За ним расположена панель кнопок инструментов, которые дублируют наиболее важные команды Главного меню. Набор кнопок на экране определяется с помощью соответствующих опций раздела View меню. Обычно используются две панели кнопок: панель инструментов (дублирующая ряд наиболее распространенных команд и операций) и панель форматирования (четвертая строка) для выбора типа и размера шрифтов и способа выравнивания текстовых комментариев. Над рабочей областью документа может располагаться строка кнопок вызовов экранных панелей, которые ускоряют работу по вводу операторов, функций, греческих символов, а также вызывают встроенный калькулятор. Далее находится рабочая область документа, в которой вводят математические выражения на языке Mathcad и текстовые комментарии. В низу окна находится строка статуса системы.

Документы системы Mathcad являются файлами с расширением.mcd.

 

 

2.3.2 Определение корней характеристического уравнения системы

 

Выражение передаточной функции САР удобно представить как отношения полиномов числителя и знаменателя:

, (2.3.1)

где a₃, …, a₀ – коэффициенты полинома числителя;

b₃, …, b₀ – коэффициенты полинома знаменателя.

Для определения нулей передаточной функции необходимо с помощью Mathcad решить уравнение, полученное из полинома числителя вида

a₃×p³+a₂×p²+a₁×p+a₀=0. (2.3.2)

Полюса получают из характеристического уравнения системы

b₄×p⁴+b₃×p³+b₂×p²+b₁×p+b₀=0. (2.3.3)

В Mathcad для определения корней уравнений (2.3.2) и (2.3.3) задаются вектора коэффициентов полиномов числителя и знаменателя. При задании векторов матрицей следует следить, чтобы номер индекса вектора соответствовал степени при операторе Лапласа. Номер индекса вводится с помощью символа “[“.

Корни алгебраического уравнения определяются Mathcad с помощью функции polyroots(<вектор>), аргументом которой является вектор (матрица-столбец) коэффициентов полиномов уравнения.

Пример определения корней для полиномов передаточной функции вида

. (2.3.4)

Получены корни полинома числителя: p₁=–10, p₂=–2,213×10^-8+10i, p₃=–10i.

Получены корни: p₁=–97,698, p₂= –2,08, p_3,4= –0,111±4,959i

Здесь использовалось два способа задания исходных значений полиномов: поэлементно (для a) и вектором (для b). При определении элемента вектора сначала набирается имя переменной вектора, а затем нажимается клавиша «[» и вводится индекс элемента вектора. Для ввода значений вектора следует нажать Ctrl+M и в раскрывшемся диалоговом окне указать в поле Rows порядок полинома, а в Columns – ввести 1. В шаблоне вектора на месте черных точек вводятся значения элементов вектора, начиная с верхней позиции, которая соответствует коэффициенту полинома при р=0.

С помощью переменной i или j (мнимых единиц) в Mathcad обозначаются мнимые части комплексных корней.

 

 

2.4 Расчет определителей в системе Mathcad

 

Для нахождения определителей Гурвица следует задать с помощью оператора присваивания матричные переменные, имена которых рекомендуется обозначать строчными символами (верхний регистр). Чтобы записать выражения определителей сразу после оператора “:=” вызывается клавишами Ctrl + M шаблон матрицы соответствующего размера, где в определенных позициях записываются численные значения или переменные. Численные значения определителей задаются с помощью символа вертикальной черты |, после ввода которого появляется шаблон вида |  | внутри которого записывается имя матричной переменной.

Пример расчета значений определителей Гурвица для системы.

 

 

2.5 Расчет частотных характеристик системы с помощью Mathcad

 

Для получения частотных характеристик следует задать ранжированную переменную, определяющую расчетный диапазон частот в формате

<имя переменной частоты>:=<первое значение>,<второе>.. <последнее>.

Здесь диапазон.. вводится при нажатии клавиши “;”.

Далее определяется комплексная переменная p(w):=i×w. Здесь i – мнимая единица, считается известной в Mathcad (возможно задать ее значение i:=). Квадратный корень задается в шаблоне, который вызывается символом “\”. Затем вводится выражение передаточной функции как переменной, зависящей от р.

Пример задания частоты от 0.025 до 100 с шагом 0.025 с^-1 для (2.4).

 

Далее в виде функции с помощью оператора присваивания задаются расчетные выражения полиномов или передаточной функции с использованием определенной переменной р. В левой части оператора в скобках после имени функции, указывается имя ранжированной переменной-аргумента. Например,

Затем определяются выражения различных частотных характеристик. При этом используются следующие встроенные функции Mathcad:

Re (<выражение>) – выделение действительной части выражения;

Im (<выражение>) – выражение мнимой части выражения;

|<выражение>| – взятие модуля выражения;

arg (<выражение>) – взятие аргумента выражения в радианах.

Пример определения выражений частотных характеристик в Mathcad.

Двухмерные графики в декартовой системе координат строятся в Mathcad с помощью шаблона, вызываемого символом @.

максимум Y

Зона графика

переменная Y

 

минимум Y минимум X максимум

Рисунок 10 – Шаблон двухмерного графика 2D XY Plot

При заполнении шаблона сначала указываются переменные (или расчетные выражения), значения которых отображаются в осях X и Y. При этом следует указывать в скобках полную структуру ранжированной переменной. Можно не указывать диапазон изменения переменных (максимальные и минимальные значения), при этом будут автоматически отображаться на графике все значения.

Если выполнить двойной клик левой кнопки мыши по графику, то раскроется диалоговое окно настроек графика. Страница “ XY Axes ” содержит настройки отображения осей графика с помощью трех групп маркеров: осей абсцисс (X-Axis) и ординат (Y-Axis), а так же вида осей графика (Axes Style). Для настройки отображения данных по осям используются позиции маркеров:

Log Scale – установка логарифмической шкалы;

Grid Lines – отображение сетки шкалы;

Numbered – показ числовых значений линий сетки на шкале;

Autoscale – автоматическое масштабирование графика;

Show Markers – отображение маркеров графика;

Auto Grid – автоматическое определение числа линий сетки, если оно выключено, то в поле Number of Grid следует указать число линий сетки на оси.

Общий вид графика настраивается с помощью следующих переключателей:

Boxed – на графике не выделяются координатные оси;

Crossed – на графике строятся координатные оси;

None – на графике не показываются координатная сетка и оси.

Если установить маркер в позицию Equal Scales, то масштаб отображения по осям X и Y выбирается одинаковым. Пример построения графиков:

 

а) АФХ системы б) АЧХ системы

 

Рисунок 11 – Частотные характеристики системы.

 

 

2.3.5 Построение переходных характеристик системы

 

Расчет переходных характеристик системы в Mathcad выполняют двумя способами: численным интегрированием системы обыкновенных дифференциальных уравнений или символьными обратными преобразованиями Лапласа:

1. Численное определение переходной характеристики системы

Переходная характеристика системы находится при этом в три этапа:

1) преобразование передаточной функции системы в систему обыкновенных и алгебраических уравнений, общий вид которой:

Y(p)=Z₁(p)a₀+ ×a_j-1;

pZ₁(p)=Z₂(p);

pZ₂(p)=Z₃(p);

............;

pZ_i(p)=Z_i+1(p);

.............;

pZ_n-1(p)=Z_n(p);

pZ_n(p)=(X(p)- ×b_k-1),

где Z_i - дополнительные переменные состояния (выходы интеграторов);

2) численное интегрирование полученной системы;

3)вывод результатов в виде графиков или таблиц.

 

Время переходного процесса находится на основе максимального значения вещественной части вектора корней характеристического уравнения системы:

tп»||, где i=1…n.

Оценка жесткости производится с помощью отношением модулей максимального и минимальных значений корней характеристического уравнения:

m=.

Задача является плохо обусловленной («жесткой»), если m ³ 10⁵.

 

Пример расчета переходной характеристики для системы (2.1).

График строится с помощью шаблона XY Plot

Рисунок 3.3.7 – Построение переходной характеристики

 

Символьный расчет переходной характеристики

При этом используется раздел меню Simbolics Главного меню Mathcad, в котором для записанного выражения передаточной функции (для обозначения оператора Лапласа следует использовать символ s вместо p) используется символьная функция обратного преобразования Лапласа invlaplase из подраздела Transform. При этом можно использовать палитру символьных операций.

 

3.Задание на выполнение

1. Изучить теоретические сведения.

2. Запустить систему Mathcad.

3. В соответствии с заданным вариантом записать передаточную функцию системы, которую необходимо исследовать на устойчивость и качество с помощью алгебраических и частотных критериев. Для этого:

- записать дифференциальное уравнение системы;

- определить полюса передаточной функции;

- определить нули передаточной функции;

- получить динамические характеристики – переходную функцию h(t) и частотные характеристики;

- построить кривую Михайлова;

- построить годограф Найквиста.

4. По построенным характеристикам сделать анализ свойств системы. Определить показатели качества системы.

5. Оформить отчет.

6. Сдать отчет преподавателю и защитить работу.

Отчет оформляется в соответствии с требованиями, предъявляемыми к оформлению лабораторных работ в вузе, и должен содержать титульный лист, формулировку цели работы, постановку задачи в соответствии с вариантом задания, результаты работы, выводы.

 

4. Варианты задания

 

 

5. Контрольные вопросы.

 

1. Понятие устойчивости

2. Дать определение нулей и полюсов передаточной функции

3. Какие частотные характеристики вы знаете?

5. Какие временные характеристики вы знаете?

6. С помощью каких методов можно определить переходную функцию?

7. Какие команды вы узнали в процессе выполнения лабораторной работы. Для чего каждая из них предназначена?

8. Как в Mathcadе строятся графики?

9. Алгебраические критерии устойчивости

10. Критерий Михайлова

11. Критерий Найквиста

12. Показатели качества. Корневые показатели

13. Показатели качества. Частотные показатели

14. Определение области устойчивости

15. Как определяется определитель в Mathcadе?

 

 

6. Список учебно-методической и дополнительной литературы

1. Ким Д. П. Теория автоматического управления. Т. 1. Линейные системы. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 288 с

2. Пантелеев А.В. Вариационное исчисление в примерах и задачах. - М.: Высшая школа, 2006.

2. Пантелеев А.В., Бортаковский А.С. Теория управления в примерах и задачах. - М.: Высшая школа, 2003.

3. Пантелеев А.В., Якимова А.С., Босов А.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения: основы теории и алгоритмы решений. - М.: Изд-во Вузовская книга, 2012. - 380 с.

4. Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления. – М.: Наука, 1978.

5. MathCAD 14 для студентов, инженеров и конструкторов. Валерий Очков. Издательство: БХВ-Петербург, 2007. – 368 с., ил.