Лабораторная работа № 1.12
Изучение свойств механического
гироскопа с тремя степенями свободы
Методические указания
к лабораторной работе
по курсу общей физики
Составители: А. И. Назаров, д.п.н., к.ф.-м.н., проф. кафедры общей физики;
В. А. Трухачева, к.ф.-м. н., доцент кафедры общей физики
Рецензент С. А. Чудинова, к.ф.-м. н., доцент кафедры общей физики
Петрозаводск
Изучение свойств механического гироскопа
с тремя степенями свободы
Цель работы:
изучить законы динамики твердого тела посредством экспериментального исследования свойств трехосевого механическогогироскопа с тремя степенями свободы.
Задачи:
1. Пронаблюдать свойства свободного гироскопа, явления прецессии и нутации.
2. Определить момент инерции гироскопа относительно главной оси симметрии, исходя из основного закона динамики вращательного движения.
3. Исследовать зависимость периода прецессии от периода вращения гироскопа вокруг главной оси симметрии. Рассчитать из этой зависимости момент инерции гироскопа.
4. Исследовать соотношение между периодом нутации и периодом вращения гироскопа вокруг главной оси симметрии.
Ключевые понятия:
гироскоп,момент инерции, момент сил, момент импульса, прецессия, нутация.
Описание экспериментальной установки
Рис. 1. Общий вид экспериментальной установки
Общий вид экспериментальной установки приведен на рис. 1. Стержень А, закрепленный в подшипнике штатива Ш, может вращаться вокруг стойки К в горизонтальной и вертикальной плоскостях. Диск гироскопа G насаживается на стержень А и с двух сторон закрепляется специальными шайбами F. Противовес С, который может перемещаться по стержню, служит для уравновешивания диска. Угол поворота в вертикальной плоскости отсчитывается по шкале транспортира Т, прикрепленной к штативу Ш. Барабан Б, закрепленный соосно с диском гироскопа G, служит для наматывания хлопкового шнура, который используется для раскручивания гироскопа. Шнур с помощью петли крепится на специальном штыре барабана Б. Подставка П используется для размещения на ней одной или нескольких гирек массами по 10 и 50 грамм. Черная полоска на диске G служит для визуального определения направления вращения диска относительно оси стержня А.
Для определения периодов прецессии и нутации используется секундомер. Для измерения периода вращения диска гироскопа относительно главной оси используется фотозатвор Ф с электронным счетным устройством. Световой пучок фотозатвора при вращении диска прерывается непрозрачной полоской бумаги, приклеенной к его краю и выступающей на пределы диска G на 2–3 см (рис. 13). При установке переключателя фотозатвора (рис. 2) в режим измерения периода первое прерывание светового сигнала запускает процесс начала отсчета времени, а второе – останавливает этот отсчет. Фотозатвор переходит в режим измерений путем нажатия на кнопку «Set».
Рис. 2. Общий вид фотозатвора
Теоретическое введение
Гироскопы и их свойства
Гироскоп («наблюдатель вращений») – это массивное аксиально-симметричное тело, быстро вращающееся вокруг главной оси симметрии. Ось вращения гироскопа под действием момента внешних сил может менять свое направление в пространстве. Свойства гироскопа наиболее ярко проявляются в случае, когда угловая скорость вращения тела велика по сравнению с угловой скоростью движения оси гироскопа. По характеру движения под действием внешних сил выделяют в основном два типа гироскопов: гироскопы с двумя и тремя вращательными степенями свободы. Первые из них называются несвободными.
В зависимости от физических свойств чувствительных гироскопических элементов выделяют гироскопы с механическим ротором (рис. 3), жидкостным ротором, вибрационные, ядерные (рис. 4), лазерные, (рис. 5) и т.д.
Наиболее распространены механические гироскопы, у которых носителем момента импульса является быстро вращающееся массивное твёрдое тело – ротор. Механические гироскопы могут иметь различные конструкции. Например, у гироскопа в оправе «карданов подвес» (рис. 2) ось вращения диска закреплена в подшипниках кольца, которое может вращаться относительно горизонтальной оси. В свою очередь, это кольцо закреплено в подшипниках другого (внешнего) кольца, которое может вращаться относительно вертикальной оси. Вся конструкция симметрична относительно центра масс гироскопа. Итак, гироскоп в оправе карданов подвес имеет три вращательные степени свободы, а его центр масс в процессе движения остаётся неподвижным (мы имеем тело с закрепленным центром масс). При этом моменты всех внешних сил относительно центра масс гироскопа равняются нулю. Такой гироскоп называется свободным. Свободный гироскоп обладает тремя вращательными степенями свободы. Другим примером свободного гироскопа является предлагаемый Вам для исследования трехосевой гироскоп (рис. 1).
Рис. 5. Схема лазерного гироскопа:
1– лазер; 2, 3, 4, 5, 6 – непрозрачные зеркала;
7 – полупрозрачное зеркало; 8 –фотодетектор.
Если вращение оси относительно одного из направлений заблокировать, то гироскоп будет иметь только две степени свободы. Его свойства сильно отличаются от свойств свободного гироскопа.
Типичным примером конструкции гироскопа с тремя степенями свободы является игрушка «юла». Здесь закреплён один из концов оси игрушки, а центр масс не совпадает с этой закреплённой точкой и меняет свое положение в пространстве (движется вокруг вертикальной оси) под действием момента силы тяжести.
Гироскоп с тремя степенями свободы обладает рядом уникальных и интересных свойств:
· направление главной оси свободного гироскопа с течением времени не изменяется,
· свободный гироскоп устойчив к ударным воздействиям,
· необычная реакция гироскопа на действие внешней силы (прецессионный характер движения),
· безынерционность гироскопа по отношению к силовому воздействию на ось вращения.
Эти свойства определяют практические применения гироскопов. Гироскопы, в частности, предназначены для определения параметров, характеризующих движение (угловая скорость, момент инерции) или стабилизируют положение объекта, на котором они установлены. Они используются при решении задач навигации, управления подвижными объектами. На свойствах гироскопа основаны разнообразные устройства, широко применяемые в современной технике. В этой связи гироскопы применяются для автоматического управления движением самолётов, морских судов, ракет, торпед и других объектов, для определения горизонта или географического меридиана. Сегодня работают над созданием космических гироскопов, что позволит решать задачи космической геодезии, навигации, геодинамики, геофизики, океанографии и многие другие на уровне требований 21 века. На гироскопы возлагается надежда по созданию космической инерциальной системы отсчета. До настоящего времени считается, что единственной возможностью создания такой системы координат является использование звезд, но звезды «скоропортящийся продукт», т. к. перемещаются. Постоянно действующие космические гироскопы позволят при любой погоде задавать, хранить и передавать на различные объекты данные о положении осей инерциальной системы отсчета для оперативного решения фундаментальных и прикладных задач.
Кратко рассмотрим в качестве примеров принципы работы вибрационных, ядерных и лазерных гироскопов.
Вибрационные гироскопы основаны на свойстве камертона, заключающемся в стремлении сохранить плоскость колебаний своих ножек. Теория и эксперимент показывают, что в ножке колеблющегося камертона, установленного на платформе, вращающейся вокруг оси симметрии камертона вследствие действия гироскопических сил, возникает периодический момент сил, частота которого равна частоте колебания ножек, а амплитуда пропорциональна угловой скорости вращения платформы. Поэтому, измеряя амплитуду угла закрутки ножки камертона, можно судить об угловой скорости платформы.
Ядерный гироскоп (рис. 4) основан на том свойстве, что ядро атома содержит протоны, обладающие спиновыми и орбитальными моментами количества движения (моментами импульса), а также связанными с ними магнитными моментами. При этом наличие момента импульса L у ядра придает ему свойства гироскопа, а наличие магнитного момента даёт возможность с помощью магнитного поля катушек индуктивности L1, L2 воздействовать на ось этого гироскопа и изменять ее направление в пространстве.
Лазерный гироскоп (рис. 4) представляет собой кольцевой резонатор с тремя или четырьмя зеркалами, расположенными по углам треугольника или квадрата соответственно. Два лазерных луча, генерируемые и усиливающиеся в полостях гироскопа, непрерывно циркулируют по резонатору в противоположных направлениях. В датчике (фотодетекторе) формируется интерференционная картина из светлых и тёмных полос. Угол поворота резонатора (угол между направлением вращения тела гироскопа и его корпуса) регистрируется с помощью фотодетектора, посредством счёта пробегающих по его сенсору интерференционных полос.
Элементарная теория гироскопа с тремя степенями свободы
Динамические свойства гироскопа определяются такими основными параметрами, как угловая скорость собственного вращения w 0 (угловая скорость гироскопа), момент инерции I0 и собственный момент импульса гироскопа L. Поскольку для симметричных тел, вращающихся вокруг главной оси, момент импульса равен произведению момента инерции тела на угловую скорость его вращения, то для гироскопа:
L = I0 w 0. (1)
Напомним, что величина I0 является мерой инерции твердого тела. Момент инерции зависит от массы и от ее распределения относительно оси вращения. Величина вектора L определяет точность работы гироскопических приборов. Чем она больше, тем устойчивее и точнее работают эти приборы.
Движение гироскопа как твердого тела, определяется уравнением моментов:скорость изменения момента импульса вращающегося тела равняется суммарному моменту внешних сил, действующих на него:
d L /dt = M, (2)
где M = [ r, F ] – момент силы F относительно закрепленной точки (для свободного гироскопа – центра масс).
Пусть противовес уравновешивает диск G (рис. 1), т.е. гироскоп является свободным. Тогда результирующий момент сил, действующий на рассматриваемую систему равен нулю. Следовательно, согласно закону сохранения момента импульса и (2) момент импульса уравновешенного гироскопа L сохраняется.
d L /dt = 0; L = сonst. (3)
В зависимости от начальных условий и наличия внешнего воздействия, оказываемого на ось гироскопа с тремя степенями свободы, возможны три варианта его поведения.
1. Сохранение направления оси свободного гироскопа в пространстве. В однородном поле силы тяжести ось свободного гироскопа (главная ось) сохраняет первоначально заданное ей направление – первое свойство свободного гироскопа. Действительно, если гироскоп раскручен вокруг оси симметрии (главной оси симметрии), то направления момента импульса и угловой скорости совпадают. Тогда согласно (3) направление оси симметрии свободного гироскопа остается неизменным при любых попытках развернуть подставку, в которой закреплен гироскоп.
Устойчивость главной оси тем больше, чем точнее центр масс системы совпадает с точкой крепления гироскопа. В кардановом подвесе гироскоп закреплен в центре масс и обладает высокой устойчивостью. Устойчивость гироскопа возрастает с уменьшением силы трения в осях карданова подвеса и увеличением веса гироскопа, диаметра и скорости вращения диска вокруг главной оси. Для повышения устойчивостив современных гирокомпасах используются роторы гиромоторов, имеющие скорость вращения от 6000 до 30000 об/мин.
В соответствии с (2) гироскоп представляется жестким по отношению к импульсному внешнему воздействию. Он не реагирует на кратковременные ударные воздействия (второе свойство гироскопа: свободный гироскоп устойчив к ударным воздействиям).
2. Прецессия гироскопа под действием внешних сил. Раскрутим гироскоп и приложим к его оси силу F в направлении, перпендикулярном к оси вращения. Если бы гироскоп не вращался, то его ось наклонилась бы в направлении действия силы F. Наличие вращения приводит к тому, что вектор L меняет свое направление необычным образом. Ось гироскопа движется в плоскости, перпендикулярной линии действия силы.
Поворот оси вращения гироскопа происходит под действием внешнего момента силы M и называется прецессией (третье свойство гироскопа: если внешняя сила стремиться повернуть гироскоп вокруг данной оси, то он поворачивается вокруг другой, ей перпендикулярной). Направление прецессии задается векторным уравнением
М = [ w p, L ],
где wp – угловая скорость прецессии.
Пользуясь элементарной теорией гироскопа, вычислим значение угловой скорости прецессии (рис. 6). Будем считать, что w0 >> wp,т. е. вектор L совпадает с векторомугловой скорости w0 инаправлен вдоль главной оси гироскопа х. Применим уравнение моментов. В результате действия силы F в течение времени dt начальныймомент импульса L0 получит приращение dL = Mdt, где М – момент силы F относительно точки О. Новый момент импульса L = L0 + dL отклонится относительно первоначального направления на некоторый угол da в горизонтальной плоскости (произойдет поворот вектора момента импульса вокруг оси z).Поскольку при больших угловых скоростях w0 вектор L направлен вдоль оси гироскопа, то вместе с L на угол da повернется и сама ось:
wp = da / dt = dL/(Ldt) = M/L = hF / (I0w0), (4)
где h – плечо силы F, L – проекция вектора L на горизонтальную плоскость.
Рис. 6. К расчету скорости прецессии
Если для создания силы F использовать груз известной массы m, то
wp = mg h/(I0w0). (4а)
В ходе прецессии ось гироскопа поворачивается вокруг вертикальной оси z, проходящей через точку опоры О, с угловой скоростью прецессии wp. Скорость прецессии пропорциональна величине внешней силы F, ее плечу h и обратно пропорциональна угловой скорости вращения гироскопа w0 и его моменту инерции I0. Угловая скорость прецессии не зависит от угла наклона оси гироскопа по отношению к вертикали (4, 4а).
При больших скоростях вращения гироскопа w0 скорость прецессии wp очень мала (4а) и ось гироскопа поворачивается столь медленно, что на некотором интервале времени таким движением можно пренебречь, а сам гироскоп использовать в качестве указателя неизменного направления в пространстве.
Характерной особенностью прецессии является ее безынерционность (четвертое свойство гироскопа): прецессионное движение существует в течение времени действия внешней силы и мгновенно прекращается с ее исчезновением.
3. Нутация. Если гироскоп не очень быстро вращается вокруг своей оси и при этом на нее оказывается внешнее воздействие, то вектор мгновенной угловой скорости и ось симметрии гироскопа не совпадают. В данном случае (рис. 7) помимо прецессии наблюдается движение, называемое нутацией (от лат. nutatio – колебание). Другими словами, нутационное движение возникает при силовом воздействии на ось прецессирующего гироскопа. При этом, чем сильнее раскручен гироскоп, тем меньше период нутации и меньше их амплитуда ("мельче" дрожания конца оси гироскопа).
Нутация обязательно возникнет, если ось сильно раскрученного гироскопа наклонить, а, затем, отпустить (рис. 7), или во время прецессии ударить по оси гироскопа. Эти опыты демонстрируют еще одну характерную особенность нутации – с течением времени она постепенно уменьшается и исчезает. Указанные факты являются следствием неизбежного трения в опоре гироскопа. Оно, как правило, больше, чем трение вокруг главной оси гироскопа. При больших угловых скоростях вращения гироскопа нутация воспринимается глазом как мелкое дрожание оси симметрии.
Теория описания движения нутаций выходит за рамки общей физики. Амплитуда нутаций (угол раствора конуса нутации) пропорциональна моменту силы тяжести и обратно пропорциональна w02. Частоту (угловую скорость) нутаций w N можно приближенно рассчитать с помощью соотношения
w N = Iх w 0 /Is , (5)
где Iх и Is – моменты инерции диска G относительно главной оси симметрии гироскопа и относительно оси, проходящей через точку опоры перпендикулярно главной оси симметрии, соответственно.
В общем случае гироскоп совершает сложное движение, состоящее из прецессионного движения с постоянной угловой скоростью wp, на которую накладываются нутационные колебания с большой частотой и малой амплитудой.
У медленно вращающегося гироскопа нутационные колебания довольно заметны и, слагаясь с прецессией, существенно меняют картину движения оси гироскопа: конец оси может описывать ясно видимую волнообразную или петлеобразную кривую. Вид этой кривой зависит от начальных условий: направления и значения силы, с которой толкнули главную ось гироскопа, и ее исходного положения (рис. 8).
Перечисленные свойства гироскопов проявляются при выполнении двух условий:
· ось вращения гироскопа должна иметь возможность изменять своё направление в пространстве, т.е. гироскоп должен обладать тремя вращательными степенями свободы;
·
 |
угловая скорость вращения гироскопа вокруг главной оси симметрии должна быть много больше скорости прецессии. Для данной установки желательно, чтобы w 0 ≥ 25 Гц.
Рис. 8. Нутации гироскопа:
а) раскрученный гироскоп, установили под некоторым углом к вертикали
и отпустили;
б) дополнительно был совершен толчок оси гироскопа в направлении прецессии;
в) дополнительно был совершен толчок оси гироскопа против направления
прецессии.
Экспериментальные методы определения
момента инерции гироскопа
В данной лабораторной работе предлагается использовать два метода определения момента инерции гироскопа I0. Первый из них основан на измерении углового ускорения ε диска G гироскопа, которое возникает под действием груза массы m, привязанного к намотанной на барабан Б, закрепленный на валу гироскопа, нити (рис. 9). При этом два возможных направления вращения оси гироскопа заблокированы, т. е. заблокировано любое вращательное движение главной оси гироскопа, сам же диск гироскопа может вращаться вокруг этой оси.
Для описания движения системы груз – диск используем законы динамики поступательного движения груза и вращательного движения диска. С учетом равенства ускорения груза a и тангенциального ускорения a t точек, расположенных по краю барабана Б, на который намотана нить с подвешенной к ней грузом, получим:
ε = M/I0, (6)
M = r Т, (7)
Т = m(g - a), (8)
a = at = ε r, (9)
Рис. 9. Схема эксперимента
Решив систему уравнений (6)—(9) получим, что груз движется с постоянным ускорением, зависящим от величины момента инерции гироскопа. Ускорение a найдем независимым образом, исходя из уравнения равноускоренного движения с начальной нулевой скоростью и известной высоты H падения груза:
a = 2H/t2H (10)
Тогда
t2H= 2H (I0 + mr2) /(mg r2), (11)
I0 =(gt2H – 2 H) mr2 / (2H), (12)
где Т –сила натяжения нити, r – радиус барабана Б, tH – время падения груза с высоты H, m g – сила тяжести.
Формула (12) позволяет по известным значениям m и r, и измеренным в опыте значениям t2H и H, определить момент инерции диска I0.
С другой стороны, из геометрических соображений следует, что
I0 = ½ m0 R2+ ½ mбr2 = π ρ/2 (d R4 +l r4), (13)
где m0 – масса диска, R – радиус диска, d его толщина, l – толщина барабана Б, ρ – плотность материала, из которого изготовлены диск и барабан гироскопа.
Второй метод определения момента инерции диска основан на измерении угловых скоростей w 0 и w p. Приложим к оси вращающегося гироскопа силу m g, линия действия которой не проходит через закрепленную точку О – точку опоры гироскопа (рис. 10). Для этого добавим на держателе грузов массу m и расположим его на расстоянии h от точки О.
Рис. 10. Прецессия под действием перегрузка
В рассматриваемом примере движение гироскопа складывается из вращения с угловой скоростью w0 вокруг оси х, связанной с осью симметрии диска, и ее вращения вокруг оси z со скоростью прецессии wp. Выразив угловые скорости через периоды вращения (wp = 2π / Тр и w0= 2 π / Т0) из уравнения (4а) получим:
1 / Т0 = (m g h /4π2 I0) ТP. (14)
Как следует из уравнения (14), измерив m, h, собственный период вращения диска Т0 и период прецессии ТP,можно определить момент инерции I0 диска G.
Рассчитав величину момента инерции I0 и измерив период вращения диска Т0 из закона изменения кинетической энергии (в нашем случае уменьшение кинетической энергии вращения происходит за счет работы сил трения) из соотношения (15) можно найти средний момент сил трения Мтр при торможении.
I0 w02/2 = Мтр φ, (15)
где φ – угол поворота диска до полной остановки.
Наличие момента сил трения можно учесть, введя поправки в формулы (7), (11), (12) и оценить влияние трения на экспериментально определяемую величину момента инерции диска.
Правила безопасности
1. При запуске гироскопа не касайтесь руками вращающегося диска!
2. Не тормозите вращающийся гироскоп руками.
3. Противовес должен быть закреплен на стержне гироскопа во избежание его соскальзывания.
4. Следите за тем, чтобы при наблюдении прецессии не было посторонних предметов в области движения гироскопа.
Упражнения
Упражнение 1. Наблюдение свойств гироскопа с тремя степенями свободы.
1. Установите режим свободного гироскопа:
· освободите стержень А гироскопа из штатива Ш1 (рис. 11);
· перемещая противовес С уравновесьте гироскоп, т. е. добейтесь устойчивого по отношению к уровню горизонта положения его оси (рис. 1). Закрепите противовес в этом положении.
· Один из концов хлопковой нити закрепите с помощью петли на барабане Б. Намотайте нить на барабан.
· Быстро дернув за нить, намотанную на ось гироскопа и придерживая при этом ее ось рукой, раскрутите гироскоп. Отпустите ось гироскопа.
· Пронаблюдайте, как реагирует ось гироскопа на попытку изменить положение подставки со штативом.
· Легко ударяя карандашом или ручкой по оси гироскопа: по горизонтали (вправо, влево), по вертикали (вверх, вниз), пронаблюдайте, как реагирует на Ваши удары гироскоп (его ось).
· Результаты наблюдений отразите в рабочем журнале. Сравните поведение раскрученного и не раскрученного гироскопа.
2. Пронаблюдайте за режимом прецессии. Установите, от чего зависит величина и направление скорости прецессии. Изобразите на рисунках направление угловой скорости вращения диска и скорости прецессии.
3. Пронаблюдайте за режимом нутации. Если Вы удерживали ось вращения от прецессии, то, отпустив ее, вы обязательно получите нутации. Рассмотрите нутации в других случаях: толчка оси гироскопа в направлении прецессии; толчка в противоположном направлении; толчка оси вниз и вверх.
Упражнение 2. Определение момента инерции гироскопа относительно
главной оси симметрии.
1. Закрепите стержень А гироскопа в штативе Ш1 (рис. 11). В этом случае диск гироскопа может вращаться только относительно главной оси симметрии.
Рис. 11. Гироскоп с одной степенью свободы
2. Один из концов нити закрепите с помощью петли на барабане Б. Намотайте нить на барабан.
3. Установите гироскоп на столе так, чтобы барабан с нитью свисал с края стола (рис. 9).
4. К свободному концу нити прикрепите подставку массой 10 грамм с расположенной на ней грузом (m – масса подставки с грузом). Подставку с грузом расположите на платформе, закрепленной в штативе, на высоте H от пола. Высоту H измерьте с помощью рулетки.
5. С помощью секундомера измерьте время падения груза tH с высоты H. Время падения отсчитывайте с момента начала вращения диска гироскопа до момента касания грузом пола.
6. Проведите серию измерений tH для других масс грузов (выберите 4-6 различных груза). Результаты занесите в таблицу 1.
7. Постройте график зависимости t2H от 1/m.
8. Пользуясь формулой (11) определите момент инерции диска I0 по наклону прямолинейной зависимости t2H = f(1/m) методом наименьших квадратов или методом парных точек. Вычислите погрешность полученного результата.
9. Рассчитайте момент инерции диска по формуле (13). Необходимые для проведения расчетов радиусы диска и барабана и ширину диска измерьте с помощью штангенциркуля. Считайте плотности этих веществ равными:
ρ = 0.9 г/см3. Сравните результаты эксперимента и расчета.
10*. Раскрутите диск и измерьте секундомером время от начала его движения до полной остановки Δt. Пользуясь формулой (15) рассчитайте средний момент сил трения. Угол поворота φ до полной остановки найдите из условия движения диска с постоянным ускорением и начальной скоростью w0
j = w0 Dt /2.
11*. Оцените, как влияет момент сил трения на величину момента инерции, определенную в п. 8. Для этого добавьте в правую часть уравнения (7) полученное в эксперименте его среднее значение момента сил трения Мтр.
Таблица 1.
Результаты измерений зависимости время падения груза от высоты H
| m, г | |||||||
| 1/m, г-1 | |||||||
| tH, c | |||||||
| t2H, c2 |
Упражнение 3. Исследование зависимости между периодом прецессии
и периодом вращения гироскопа вокруг главной оси симметрии.
1. Подготовьте фотозатвор для измерений:
· Подключите клеммы фотозатвора к источнику питания напряжением 5 В как показано на рис. 12.
Рис. 12. Подключение фотозатвора
· Включите источник питания в сеть.
· Установите фотозатвор в рабочее положение на лабораторном столе (так, чтобы полоска бумаги, приклеенная к диску G, при его вращении пересекала световой луч затвора).
· Поставьте переключатель на фотозатворе в режим измерения периода 
.
Рис. 13. Измерение периода вращения гироскопа и периода прецессии
2. Освободите стержень А из штатива Ш1.
3. Уравновесьте гироскоп.
4. С помощью нити, укрепленной на барабане диска, раскрутите диск свободного гироскопа, придерживая его ось рукой, а затем отпустите ее.
5. Нажав на кнопку «Set» фотозатвора? измерьте время одного оборота диска Т0.
6. Отодвиньте фотозатвор в сторону так, чтобы он не мешал дальнейшей прецессии гироскопа (рис. 13).
7. Быстро подвесьте груз массой m = 50 г, расположенный на подставке, в углубление на стержне А на расстоянии h = 27 cm от более длинного конца оси гироскопа (рис. 10). При этом гироскоп начнет совершать прецессионное движение.
8. С помощью секундомера измерьте период прецессии ТP – время одного оборота оси гироскопа в горизонтальной плоскости. Во время прецессии ось вращения гироскопа постепенно наклоняется. Если наклон дойдет до критического значения (гироскоп коснётся поверхности стола), то прецессия прекратиться. В этом случае измеряйте время половины оборота прецессии (вместо времени полного оборота). Тогда период прецессии будет вдвое больше измеренного времени. Если ось вращения гироскопа наклоняется слишком быстро, то это означает, что гироскоп недостаточно раскручен. В этом случае повторите опыт, увеличив скорость вращения диска.
9. Повторите п.п. 3-8 от шести до восьми раз.
10. По полученным результатам постройте график зависимости 1/T0 = f (Тp).
11. Используя формулу (14) по наклону прямолинейного графика вычислите момент инерции диска гироскопа и сравните его с данными, полученными в упражнении 2.
12. Повторите измерения п.п. 3-11 с другой массой m.
13. Вычислите погрешности экспериментальных результатов. Сделайте выводы.
Таблица 2.
Результаты измерений периода прецессии и периода вращения диска гироскопа вокруг его главной оси
| m, г | № | |||||||
| T0, c | ||||||||
| 1/T0, c-1 | ||||||||
| Тp, c | ||||||||
| T0, c | ||||||||
| 1/T0, c-1 | ||||||||
| Тp, c |
Упражнение 4. Исследование соотношения между периодом нутации
и периодом собственных колебаний гироскопа.
1.Установите режим нутации: для этого ось прецессирующего гироскопа слегка наклоните рукой в вертикальной плоскости, а затем уберите руку.
2.Измерьте период нутации tn с помощью секундомера.
3.Незамедлительно измерьте с помощью фотозатвора период вращения диска T0 вокруг его главной оси. Результаты измерений занесите в таблицу 3.
4.Опыт повторите 6-8 раз, стараясь раскручивать гироскоп до различных (но при этом достаточно высоких) начальных скоростей w0.
5.По полученным результатам постройте график зависимости T0 от периода нутации T n.
6.Проанализируйте полученную зависимость.
7*. Используя график зависимости T0 = f(Tn) и найденное в упражнениях 2 и 3 значение момента инерции I0, с помощью (5) оцените значение момента Is.
Таблица 3.
Результаты измерений периода нутации
| № | |||||||
| T0, c | |||||||
| ТN, c |
Контрольные вопросы
1. Перечислите кинематические характеристики вращательного движения твердого тела. Укажите их физический смысл и единицы измерения.
2. Что называется моментом силы относительно точки вращения? Как найти направление вектора момента силы? Что называется плечом силы?
3. Дайте определение момента инерции материальной точки, твердого тела. Каковы единицы измерения этой величины?
4. Сформулируйте основной закон динамики вращательного движения твердого тела.
5. Дайте определение и запишите выражение для момента импульса симметричного твердого тела.
6. Чем определяется величина момента импульса гироскопа?
7. Сформулируйте закон изменения момента импульса системы.
8. *Перечислите законы сохранения в механике и соответствующие им симметрии пространства-времени.
9. Что такое свободный или уравновешенный гироскоп?
10. Перечислите основные свойства гироскопов с тремя степенями свободы. Как они объясняются?
11. При каком условии гироскоп начинает прецессировать? Чем определяется угловая скорость прецессии?
12. В чем состоит явление нутации? От чего зависит период нутации?
13. Как будет вести себя гироскоп, если на ось неподвижного гироскопа подействовать: вертикальной силой; горизонтальной силой?
14. Выведите формулу (10). Найдите зависимость от времени: а) угловой скорости диска; кинетической энергии всей системы.
15. * За счет чего гироскоп приобретает кинетическую энергию, связанную с прецессией?
16. * Воспользовавшись законом сохранения момента импульса относительно оси вращения и законом сохранения механической энергии, покажите, как начнет двигаться ось гироскопа, если ее во время прецессии толкнуть назад по отношению к направлению прецессии.
17. Покажите направление прецессии гироскопа и направление момента импульса при действии на него сил в заданном на рис. 14а и 14б направлениях, если гироскоп вращается по и против часовой стрелки.
Литература
Основная
1. Назаров А.И.Основы механики и теории относительности. Мультимедийный курс / Петрозаводск: ПетрГУ, 2003. – С. 168-174.
2. Алешкевич В.А., Деденко Л.Г., Караваев В.А.. Механика / М.: Academa, 2004. – С. 238-250.
3. Иродов И.Е. Механика. Основные законы механики / М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. - С. 187-193.
4. Матвеев А.Н. Механика и теория относительности / М.: Высшая школа, 1976. - С. 317-331.
Дополнительная
5. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Механика: в 3 т. / М.: Физматлит, 2002. Т.1. - С. 278-305.
6. Павлов В.А. Гироскопический эффект, его проявления и использование. / Л.: 1985.
7. Малеев П.И. Новые типы гироскопов. / Л.: 1971. 158 с.