ТЕМА. ИЗУЧЕНИЕ ДИНАМИКИ ОБЩЕСТВЕННЫХ ЯВЛЕНИЙ – часть 2

Вопросы:

1. Структура ряда динамики, проверка ряда на наличие тренда, три метода выравнивания ряда и выделения тренда.

2. Анализ сезонных колебаний.

1. Структура ряда динамики, проверка ряда на наличие тренда, три метода выравнивания ряда и выделения тренда.

Всякий ряд динамики теоретически может быть представлен в виде составляющих:

1) тренд – основная тенденция развития динамического ряда (к увеличению либо снижению его уровней);

2) циклические (периодические) колебания, в том числе сезонные;

3) случайные колебания.

Изучение тренда включает два основных этапа:

1) ряд динамики проверяется на наличие тренда;

2) производится выравнивание временного ряда и непосредственное выделение тренда с экстраполяцией полученных результатов.

Проверка на наличие тренда в ряду динамики может быть осуществлена по нескольким критериям.

Самый доступный для применения Метод средних. Изучаемый ряд динамики разбивается на несколько интервалов (обычно на два), для каждого из которых определяется средняя величина (У₁, У₂). Выдвигается гипотеза о существенном различии средних. Если эта гипотеза принимается, то признается наличие тренда.

Также часто используются Фазочастотный критерий знаков первой разности (Валлиса и Мура), Критерий Кокса и Стюарта, Метод серий.

Непосредственное выделение тренда может быть произведено тремя методами.

1. Укрупнение интервалов. Ряд динамики разделяют на некоторое достаточно большое число равных интервалов. Если средние уровни по интервалам не позволяют увидеть тенденцию развития явления, переходят к расчету уровней за большие промежутки времени, увеличивая длину каждого интервала (одновременно уменьшается количество интервалов).

2. Скользящая средняя. В этом методе исходные уровни ряда заменяются средними величинами, которые получают из данного уровня и нескольких симметрично его окружающих. Целое число уровней, по которым рассчитывается среднее значение, называют интервалом сглаживания. Интервал может быть нечетным (3, 5, 7 и т.д. точек) или четным (2, 4, 6 и т.д. точек).

При нечетном сглаживании полученное среднее арифметическое значение закрепляют за серединой расчетного интервала. При четном этого делать нельзя, поэтому при обработке ряда четными интервалами их искусственно делают нечетными, для чего образуют ближайший больший нечетный интервал, но из крайних его уровней берут только 50%. На практике, в большинстве случаев, используют сглаживание по нечетной скользящей средней.

Формулы расчета по скользящей средней выглядят, в частности, следующим образом:

для 3-членной ;

для 5-членной ; и т.д.

3. Аналитическое выравнивание. Под этим понимают определение основной проявляющейся во времени тенденции развития изучаемого явления. Развитие предстает перед исследователем как бы в зависимости только от течения времени. В итоге выравнивания временного ряда получают наиболее общий, суммарный, проявляющийся во времени результат действия всех причинных факторов. Отклонение конкретных уровней ряда от уровней, соответствующих общей тенденции, объясняют действием факторов, проявляющихся случайно или циклически. В результате приходят к трендовой модели

У_t = f(t) + e_t.

где f(t) – уровень, определяемый тенденцией развития; а e_t – случайное и циклическое отклонение от тенденции. Целью аналитического выравнивания динамического ряда является определение аналитической или графической зависимости f(t). На практике по имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры функции f(t), а затем анализируют поведение отклонений от тенденции. Функцию f(t) выбирают таким образом, чтобы она давала содержательное объяснение изучаемого процесса.

Чаще всего при выравнивании используются следующие зависимости:

линейная f(t) = a₀ + a₁t;

параболическая f(t) = a₀ + a₁t + a₂t²,

экспоненциальные f(t) = exp(a₀ + a₁t)

или f(t) = ехр(а₀ + a₁t + a₂t²).

Линейная зависимость выбирается в тех случаях, когда в исходном временном ряду наблюдаются более или менее постоянные абсолютные цепные приросты, не проявляющие тенденции ни к увеличению, ни к снижению.

Параболическая зависимость используется, если абсолютные цепные приросты сами по себе обнаруживают некоторую тенденцию развития, но абсолютные цепные приросты абсолютных цепных приростов (разности второго порядка) никакой тенденции развития не проявляют.

Экспоненциальные зависимости применяются, если в исходном временном ряду наблюдается либо более или менее постоянный относительный рост (устойчивость цепных темпов роста, темпов прироста, коэффициентов роста), либо, при отсутствии такого постоянства, – устойчивость в изменении показателей относительного роста (цепных темпов роста цепных же темпов роста, цепных коэффициентов роста цепных же коэффициентов или темпов роста и т.п.).

Оценка параметров функционального уравнения осуществляется следующими методами:

1) методом избранных точек,

2) методом наименьших расстояний,

3) методом наименьших квадратов (МНК).

На практике, чаще всего, используют метод наименьших квадратов, который обеспечивает наименьшую сумму квадратов отклонений фактических уровней от выравненных:

min S(Y_t – f(t))².

Для линейной зависимости (f(t) = a₀ + a₁t) параметр a₀ обычно интерпретации не имеет, но иногда его рассматривают как обобщенный начальный уровень ряда; а₁ – сила связи, т.е. параметр, показывающий, насколько изменится результат при изменении времени на единицу. Таким образом, а₁ можно представить, как постоянный теоретический абсолютный прирост.

Построив уравнение регрессии, проводят оценку его надежности (на практике это делается с помощью специальной расчетной характеристики - критерия Фишера).

В качестве примера рассмотрим число зарегистрированных браков на 1000 жителей России за период с 1977 по 1990 г.:

Выравнивание проведено по линейной трендовой модели. Оценка параметров уравнения выполнена методом наименьших квадратов.

Таким образом, f(t) = Y_t = 10,128 – 0,073t для t = –13, –11, –9,.... +13,

Параметры последнего уравнения регрессии можно интерпретировать следующим образом: а₀ = 11,077 – это исходный уровень брачности по России за период до 1977 г.; а₁= –0,146 – показатель силы связи, т.е. в России за период с 1977 по 1990 г. происходило снижение уровня брачности на 0,146 %о ежегодно.

На рисунке 1 представлен график динамики уровня безработицы в Новосибирской области за 2019 г., где одновременно отображены линии фактических данных, скользящей средней (с исключением сезонного фактора) и линейного тренда.

Рис. 1 Фактические данные и теоретическое выравнивание ряда динамики: скользящая средняя, тренд (прямая, полученная по линейной функции).