Проверка гипотез. Параметрические модели.

1. Статистическая гипотеза. Виды гипотез.

2. Проверка статистических гипотез.

3. Общая схема построения критерия.

4. Основные типы гипотез

Обычно в практических задачах не встречаются случайные величины, распределения которых точно соответствовали бы теоретическим распределениям. Последние являются математическими моделями реальных распределений. Подбор таких моделей и анализ их адекватности моделируемым случайным величинам, что является одной из основных задач математической статистики, которая, в свою очередь, сводится к проверке предположений (гипотез) о виде модели распределения и его параметрах.

Статистическая гипотеза – это некоторое предположение относительно генеральной совокупности, проверяемое по выборочным данным (или, другими словами, любое предположение о виде неизвестного закона распределения или параметрах известного закона распределения).

Гипотеза называется параметрической, если в ней содержится некоторое утверждение о значении параметра распределения известного вида или сравнительной величине параметров двух распределений. Параметрические гипотезы формулируются на основании тех или иных статистических законов распределения и могут использоваться лишь в том случае, если распределение выборочных данных согласуется с этим законом распределения.

В непараметрической гипотезе заключается утверждение о виде распределения. Непараметрические гипотезы применяются в том случае, если закон распределения изучаемых случайных величин неизвестен или их распределение не соответствует никакому из известных законов. В этом случае необходимо проверить, согласуются ли выборочные (эмпирические) данные с каким-либо теоретическим распределением или нет. Чаще всего проверяют гипотезу о соответствии выборочных данных нормальному распределению.

Гипотезы подразделяются на простые и сложные.

Параметрическая гипотеза называется простой, если в ней речь идет ровно об одном значении параметра (одномерного или многомерного), например, «Среднедушевой совокупный доход населения России составляет 10500 руб. в месяц»; «Уровень безработицы (доля безработных в численности экономически активного населения) в России равен 9%». В других случаях гипотеза называется сложной (т.е. гипотеза, состоящая ин некоторого числа простых гипотез), например, «вероятность появления события в схеме Бернулли заключена между 0,3 и 0,6», «закон распределения не является нормальным».

По своему содержанию статистические гипотезы можно подразделить на несколько основных типов:

1) Гипотезы о виде закона распределения исследуемой случайной величины;

2) Гипотезы о числовых значениях параметров исследуемой генеральной совокупности;

3) Гипотезы об однородности двух или нескольких выборок или некоторых характеристик анализируемых совокупностей;

4) Гипотезы об общем виде модели, описывающей статистическую зависимость между признаками; и др.

2.

Сопоставление высказанной гипотезы относительно генеральной совокупности с имеющимися выборочными данными, сопровождаемое количественной оценкой степени достоверности получаемого вывода и осуществляемое с помощью того или иного статистического критерия, называется проверкой статистических гипотез.

Выдвинутая гипотеза называется нулевой (основной). Ее принято обозначать Н₀.

По отношению к высказанной (основной) гипотезе всегда можно сформулировать альтернативную (конкурирующую), противоречащую ей. Альтернативную (конкурирующую) гипотезу принято обозначать Н₁.

Цель статистической проверки гипотез состоит в том, чтобы на основании выборочных данных принять решение о справедливости основной гипотезы Н₀.

Так как проверка статистических гипотез осуществляется на основании выборочных данных, т.е. ограниченного ряда наблюдений, решения относительно нулевой гипотезы Н₀ имеют вероятностный характер. Другими словами, такое решение неизбежно сопровождается некоторой, хотя возможно и очень малой, вероятностью ошибочного заключения как в ту, так и в другую сторону.

Так, в какой-то небольшой доле случаев α нулевая гипотеза Н₀ может оказаться отвергнутой, в то время как в действительности в генеральной совокупности она является справедливой. Такую ошибку называют ошибкой 1-го рода, а ее вероятность – уровнем значимости и обозначают α.

Наоборот, в какой-то небольшой доле случаев β нулевая гипотеза Н₀принимается, в то время как на самом деле в генеральной совокупности она ошибочна, а справедлива альтернативная гипотеза Н₁. Такую ошибку называю ошибкой 2-го рода. Вероятность ошибки 2-го рода обозначается как β. Вероятность 1-β называют мощностью критерия.

В ряде прикладных исследований ошибка первого рода α означает вероятность того, что предназначавшийся наблюдателю сигнал не будет им принят, а ошибка второго рода β – вероятность того, что наблюдатель примет ложный сигнал.

При фиксированном объеме выборки можно выбрать по своему усмотрению величину вероятности только одной из ошибок α или β. Увеличение вероятности одной из них приводит к снижению другой. Принято задавать вероятность ошибки 1-го рода α – уровень значимости. Как правило, пользуются некоторыми стандартными значениями уровня значимости α: 0,1; 0,05; 0,01. Тогда, очевидно, из двух критериев, характеризующихся одной и той же вероятностью α (отклонить правильную в действительности гипотезу Н₀), следует принять тот, которому соответствует меньшая ошибка 2-го рода β, т.е. большая мощность. Снижения вероятностей обеих ошибок α и β можно добиться путем увеличения объема выборки.

Правильное решение относительно нулевой гипотезы Н₀ также может быть двух видов:

– будет принята нулевая гипотеза Н₀, когда в генеральной совокупности верна нулевая гипотеза Н₀; вероятность такого решения 1-α;

– нулевая гипотеза Н₀ будет отклонена в пользу альтернативной, когда в генеральной совокупности нулевая гипотеза отклоняется в пользу альтернативной Н₁; вероятность такого решения 1-β – мощность критерия.

Обобщим сказанное в таблице:

Гипотеза Но Принимается Отвергается

Верна Правильное решение 1-α=Р(Но/Но) Ошибка 1-го рода α=Р(Н₁/Но)

Неверна Ошибка 2-го рода β=Р(Но/Н₁) Правильное решение 1-β=Р(Н₁/Н₁)

3.

Проверка статистических гипотез осуществляется с помощью статистического критерия (назовем его в общем виде θ), являющегося функцией от результатов наблюдений.

Статистический критерий – это правило (формула), по которому определяется мера расхождения результатов выборочного наблюдения с высказанной гипотезой Н₀.

Значения критерия, рассчитываемое по специальным правилам на основании выборочных данных, называется наблюдаемым значением критерия (θ_набл).

Значения критерия, разделяющие совокупность значений критерия на область допустимых значений и критическую область, определяемые на заданном уровне значимости α по таблица распределения случайной величины θ, выбранной в качестве критерия, называются критическими точками (θ_кр).

Областью допустимых значений (областью принятия нулевой гипотезы Н₀) называют совокупность значений критерия θ, при которых нулевая гипотеза Н₀ не отклоняется.

Критической областью называют совокупность значений критерия θ, при которых нулевая гипотеза Н₀ отклоняется в пользу конкурирующей Н₁.

Различают одностороннюю (правостороннюю или левостороннюю) и двустороннюю критические области.

Если конкурирующая гипотеза – правосторонняя, например, Н₁:а>а₀, то критическая область – правосторонняя. При правосторонней конкурирующей гипотезе критическая точка θ_кр.п принимает положительные значения. Вид правосторонней критической области:

Если конкурирующая гипотеза – левосторонняя, например,Н₁:а<а₀, то и критическая область – левосторонняя. При левосторонней конкурирующей гипотезе критическая точка принимает отрицательные значения (θ_кр.л). Вид левосторонней критической области:

Если конкурирующая гипотеза – двусторонняя, например,Н₁:а≠а₀, то и критическая область – двусторонняя. При двусторонней конкурирующей гипотезе определяются две критические точки (θ_кр.л. и θ_кр.п.). Вид двусторонней критической области следующий:

Основной принцип проверки статистических гипотез состоит в следующем:

– если наблюдаемое значение критерия (θ_набл) принадлежит критической области, то нулевая гипотеза θ₀ отклоняется в пользу конкурирующей Н₁;

– если наблюдаемое значение критерия принадлежит области допустимых значений, то нулевую гипотезу Н₀нельзя отклонить.

Можно принять решение относительно нулевой гипотезы Н₀ путем сравнения наблюдаемого и критического значений критерия.

При правосторонней конкурирующей гипотезе:

– если θ_набл≤θ_кр, то нулевую гипотезу Н₀ нельзя отклонить;

– если θ_набл>θ_кр, то нулевая гипотеза отклоняется в пользу конкурирующей Н₁.

При левосторонней конкурирующей гипотезе:

– если θ_набл≥- θ_кр, то нулевую гипотезу Н₀ нельзя отклонить;

– если θ_набл<-θ_кр, то нулевая гипотеза отклоняется в пользу конкурирующей Н₁.

При двусторонней конкурирующей гипотезе:

– если –θ_кр≤ θ_набл≤θ_кр, то нулевую гипотезу Н₀ нельзя отклонить;

– если θ_набл>θ_кр или θ_набл<-θ_кр, то нулевая гипотеза отклоняется в пользу конкурирующей Н₁.

Если закон распределения статистики θ, вычисленной в предположении, что нулевая гипотеза верна, известен, то критические значения статистики могут быть найдены из условий:

- для правосторонней критической области

- для левосторонней критической области

- для двусторонней критической области ,

Алгоритм проверки статистических гипотез сводится к следующему:

1) Сформулировать нулевую Н₀ и альтернативную Н₁ гипотезы;

2) Выбрать уровень значимости α;

3) В соответствии с видом выдвигаемой нулевой гипотезы Н₀ выбрать статистический критерий для ее проверки, т.е. – специально подобранную случайную величину θ, точное или приближенное распределение которой заранее известно;

4) По таблицам распределения случайной величины θ, выбранной в качестве статистического критерия, найти критическое значение θ_кр (критическую точку или точки);

5) На основании выборочных данных по специальному алгоритму вычислить наблюдаемое значение критерия θ_набл;

6) По виду конкурирующей гипотезы Н₁ определить тип критической области (ту критическую область, при которой мощность критерия будет больше);

7) Определить, в какую область (допустимых значений или критическую) попадает наблюдаемое значение критерия θ_набл, и в зависимости от этого – принять решение относительно нулевой гипотезы Н₀.

Следует заметить, что даже в том случае, если нулевую гипотезу Н₀ нельзя отклонить, это не означает, что высказанное предположение о генеральной совокупности является единственно подходящим: просто ему не противоречат имеющиеся выборочные данные, однако таким же свойством наряду с высказанной могут обладать и другие гипотезы.

Можно интерпретировать результаты проверки нулевой гипотезы следующим образом:

– если в результате проверки нулевую гипотезу Н₀ нельзя отклонить, то это означает, что имеющиеся выборочные данные не позволяют с достаточной уверенностью отклонить нулевую гипотезу Н₀, вероятность нулевой гипотезы Н₀ дольше α, а конкурирующая Н₁ – меньше 1-α;

– если в результате проверки нулевая гипотезы Н₀ отклоняется в пользу конкурирующей Н₁, то имеющиеся выборочные данные не позволяют с достаточной уверенностью принять нулевую гипотезу Н₀, вероятность нулевой гипотезы Н₀ меньше α, а конкурирующей Н₁ – больше 1-α.

По своему прикладному содержанию статистические гипотезы можно подразделить на несколько основных типов:

1) О числовых значениях параметров (таблица);

2) О равенстве числовых характеристик генеральной совокупности (таблица);

3) О законе распределения;

4) Об однородности выборок (т.е. принадлежности их одной и той же генеральной совокупности)

Таблица 1. Критерии о числовых значениях параметров

Предположения	Статистика критерия	Критерий отклонения гипотезы



n порядка нескольких десятков или сот,