Статистическое определение вероятности

Задачи группы А. Бросили игральную (шестигранную) кость (один раз).

Введем обозначения:

A₁ - бросили игральную кость и выпала «1»;

A₂ - бросили игральную кость и выпала «2»;

A₃ - бросили игральную кость и выпала «3»;

A₄ - бросили игральную кость и выпала «4»;

A₅ - бросили игральную кость и выпала «5»;

A₆ - бросили игральную кость и выпала «6 ».

1. Какие события являются с чётным числом на грани? Используя обозначения примера1записать множество таких событий.

2. Какие события являются с нечётным числом на грани? Используя обозначения примера1 записать множество таких событий.

3. Используя обозначения примера1 записать множество таких событий таких, что выпало число, меньшее «5».

4. Вычислить сумму событий B={A₂, A₄, A₆}, D= {A₁, A₂, A₃, A₄}.

5. Вычислить произведение событий B={A₂, A₄, A₆}, D= {A₁, A₂, A₃, A₄}.

6. Вычислить произведение событий B={A₁, A₃, A₆}, D= {A₁, A₂, A₃, A₄},

7. Обозначим B={A₂, A₄, A₆}, D= {A₁, A₂, A₃, A₄}, доказать A₂+A₄=B*D=BD

8. Вычислить вероятность событие A, состоящее в том, что бросили игральную кость и выпала «6».

9. Брошены две игральные кости. Найти вероятность состоящее в том, что выпало одновременно «3» и «6».

10. Брошены две игральные кости. Какова вероятность выпадения единицы по крайней мере на одной кости.

11. Брошены две игральные кости. Найти вероятность состоящее в том, что выпало либо «3», либо «6».

12. Найти вероятность события, состоящего в том, что бросили игральную кость, а выпало число, меньшее «5».

13. Найти вероятность события, состоящего в том, что бросили игральную кость, а выпало нечётное число.

14. Найти вероятность события, состоящего в том, что бросили игральную кость, а выпало чётное число.

15. Найти вероятность события, состоящего в том, что бросили игральную кость, а выпало число, меньшее 5.

16. Обозначим B={A₂, A₄, A₆}, D= {A₃, A₄, A₅, A₆}, вычислить произведение событий этих событий.

Примеры решения задач группы Б. Пример 1. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях - четная, причем на грани хотя бы одной из костей появится шестерка.

Решение: На выпавшей грани «первой» игральной кости может появиться одно очко, два очка,..., шесть очков. Аналогичные шестъ элементарных исходов возможны при бросании «второй» кости. Каждый из исходов бросания «первой» кости может сочетаться с каждым из исходов бросания «второй». Таким образом, общее число возможных элементарных исходов испытания равно 6x6=36. Эти исходы образуют полную группу и в силу симметрии костей равновозможны. Благоприятствующими интересующему нас событию (хотя бы на одной грани появится шестерка, сумма выпавших очков — четная) являются следующие пять исходов (первым записано число очков, выпавших на «первой» кости, вторым—число очков, выпавших на «второй» кости; далее найдена сумма очков): 1) 6, 2; 6+2 = 8, 2) 6, 4; 6 + 4= 10. 3) 6, 6; 6+6=l2, 4) 2, 6; 2 + 6=8. 5) 4, 6; 4+6=10. Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех возможных элементарных исходов: P= 5/36.

Пример 2. В коробке 6 белых шаров и 8 красных. Наудачу одновременно извлекаются 3 шара. Найти вероятность, того, что среди них будут:

а) два белых шара;

б) не менее одного белого.

Решение. а) Для удобства будем предполагать, что имеющиеся шары некоторым образом перенумерованы. Пусть, например, белые шары имеют номера 1, 2, …,6 красные – 7, 8, …,14. Тогда единичным исходом является произвольная тройка номеров: , , …, .

Тогда общее число n исходов равно числу способов, которыми можно выбрать 3 номера из имеющихся 14-ти номеров. Напомним, что такое число равно соответствующему числу сочетаний:

.

(В общем случае,

равно числу способов, которыми можно выбрать s объектов из k имеющихся объектов.) Таким образом,

=

Найдем теперь число m исходов, благоприятствующих появлению двух белых шаров среди трех извлеченных. Число способов, которыми можно выбрать 2 шара из имеющихся 6-ти белых шаров, равно . Но число благоприятствующих исходов с фиксированной парой белых шаров равно числу способов, которыми можно выбрать оставшийся красный шар в тройку, т.е. равно . Поэтому

Окончательно имеем

где А – событие состоящее в том, что среди трех отобранных шаров ровно 2 белых шара.

б) Полное число n исходов найдено в п. а). Число троек, в которых не менее 2-х белых шаров, равно сумме троек с двумя белыми шарами и троек с тремя белыми шарами:

Окончательно имеем

где В – событие состоящее в том, что среди трех отобранных шаров не менее 2-х белых шаров.

Задачи группы Б

1. Брошено три монеты. Найти вероятность того, что выпадет два орла.

2. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях - нечетная, причем на грани хотя бы одной из костей появится семерка.

3. Брошены две игральные кости. Какова вероятность выпадения на двух костях в сумме не менее 10 очков.

4. Брошены две игральные кости; найти вероятность того, что сумма выпавших

очков равна 3.

5. Брошены две игральные кости; найти вероятность того, что сумма выпавших

очков равна восьми, а разность — четырем.

6. Брошены две игральные кости; найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна пяти, а произведение — четырем.

7. Монета брошена два раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится «герб».

8. В коробке два белых и три черных кубиков. Наудачу извлекают два кубика. Найти вероятность того, что один из них черный, другой белый.

9. Брошены две игральные кости. Какова вероятность выпадения на двух костях в сумме будет меньше 3-х очков.

10. Брошены две игральные кости; найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна восьми, а произведение — четырем.

11. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях – кратна трем, причем на грани хотя бы одной из костей появится пятерка.

12. В коробке 3 белых шаров и 2 красных. Наудачу одновременно извлекаются 2 шара. Найти вероятность, того, что среди них будут два белых шара.

13. В коробке 3 белых шаров и 2 красных. Наудачу одновременно извлекаются 2 шара. Найти вероятность, того, что среди них будут не менее одного белого.

14. В коробкеимеется 10 хороших деталей и 5 бракованных. Наудачу из коробки извлекается одна деталь. Найти вероятность наступления события А – извлеченная деталь – хорошая.

15. В коробке 3 белых шаров и 3 красных. Наудачу одновременно извлекаются 2 шара. Найти вероятность, того, что среди них будут два красных шара.

16. В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.