Системы счисления, используемые в ЭВМ
Позиционные СС
Система счисления (СС) – это совокупность правил для записи чисел символами.
СС бывают:
- позиционные (ПСС);
- непозиционные (НСС).
Пример непозиционной СС – римская (сложный способ записи чисел и громоздкие правила выполнения арифметических операций).
В позиционной системе значение цифры определяется ее позицией в записи числа (например, десятичная). Любая позиционная СС характеризуется основанием.
Основание (базис) ПСС это количество Р различных символов, используемых для изображения числа в данной системе счисления. Вообще, систем счисления существует бесчисленное множество.
В ПСС любое число x может быть представлено в виде полинома от основания q:
где аi - цифры СС; n, m – количество разрядов соответственно в целой и дробной части числа.
На практике числа представляются в виде последовательности цифр:
Позиции цифр называются разрядами. В ПСС значение каждого разряда больше значения соседнего справа разряда в Р раз (Р – основание СС).
Количество разрядов в записи числа называется длиной числа.
В ЭВМ используется двоичная (0,1), восьмеричная (0, 1,…, 7) и шестнадцатеричная СС (0, 1, …, 9, A, B, C, D, E, F).
Двоичная система используется для представления и хранения чисел, команд, адресов и другой информации, а также при выполнении арифметических и логических операций.
16-я и 8-я применяются в текстах программ для более удобной и короткой записи двоичных кодов команд адресов и операндов (и в ЭВМ при некоторых формах представления чисел).
Длина разрядной сетки
В техническом аспекте длина числа интерпретируется как длина разрядной сетки.
Для разных СС характерна разная длина разрядной сетки, необходимая для записи одного и того же числа.
96(10)=140(8)=1100000(2)
Чем меньше основание системы, тем больше длина числа. Так, двоичный код числа требует приблизительно в 3 раза большего числа разрядов, чем его десятичный код.
Если длина разрядной сетки задана, то это ограничивает максимальное и минимальной число, которой может быть в ней записано.
Пусть длина разрядной сетки равна любому положительному числу n.
Тогда
A(p) max=Pn-1 (для целых чисел)
n – количество цифроразрядов.
Во всех разрядах записана старшая цифра системы.
Пример:
A(p)min=1 (отличное от 0 целое число)
Диапазон представления чисел в заданной СС – интервал числовой оси, заключенный между максимальным и минимальным числами.
A(p)min DN A(p)min
Двоичная арифметика
Правила двоичной арифметики задаются таблицами сложения, вычитания и умножения.
Рассмотрим примеры:
Умножение многоразрядных чисел сводится к суммированию частичных произведений.
Таким образом, операция умножения многоразрядных двоичных чисел сводится к операциям сдвига и сложения.
Методы перевода чисел из одной СС в другую
Перевод из 2, 8, 16 в 10-ю систему счисления.
Алгоритм основан на формуле 3.1. Пусть искомая СС имеет основание p, а результирующая – основание q.
Рекомендуется использовать его при p<q.
Перевод из 10-ой в 2, 8, 16-ю систему счисления целых чисел
Для перевода целого числа в новую систему его надо последовательно делить на основание новой системы до тех пор, пока не получится частное, у которого целая часть равна нулю. Число в новой СС записывается из остатков от последовательного деления, причем последний остаток будет старшей цифрой нового числа.
Вычисления выполняются в исходной СС.
Пример:
X=118(10)=1110110(2)
X=56(10)=111000(2)