Тема: «Описательная статистика. Средние величины»

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

ДЛЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ

К ПРАКТИЧЕСКОМУ ЗАНЯТИЮ №3

Тема: «Описательная статистика. Средние величины»

 

Утверждены на заседании кафедры

№ протокола …………….

«___»____________ 2011 г.

 

Заведующий кафедрой_________________________к.м.н., доцент Шульмин А.В.

 

Составитель_________________________________к.ф.-м.н., доцент Аршукова И.Л.

 

 

Красноярск

1. Тема занятия: «Описательная статистика. Средние величины»

2. Форма организации учебного процесса: практическое занятие.

3. Значение темы: Описательная статистика заключается в численном выражении наборов данных. Создание итоговой статистики обычно является первым шагом в анализе и представлении результатов исследования, поскольку она сводит обширные массивы данных к нескольким более удобным числам. Понимание статистических закономерностей, умение выбрать усредняющую характеристику, правильно описывающую имеющиеся данные – важные и необходимые навыки современного врача.

4. Цели обучения:

Общая цель – овладеть следующими компетенциями:

общекультурными:

способностью и готовностью анализировать социально значимые проблемы и процессы, использовать на практике методы гуманитарных, естественнонаучных, медико-биологических и клинических наук в различных видах профессиональной и социальной деятельности (ОК-1);

профессиональными:

способностью и готовностью выявлять естественнонаучную сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности, использовать для их решения соответствующий физико-химический и математический аппарат (ПК-2);

способностью и готовностью к формированию системного подхода к анализу медицинской информации, опираясь на всеобъемлющие принципы доказательной медицины, основанной на поиске решений с использованием теоретических знаний и практических умений в целях совершенствования профессиональной деятельности(ПК-3);

способностью и готовностью проводить патофизиологический анализ клинических синдромов, обосновывать патогенетически оправданные методы (принципы) диагностики, лечения, реабилитации и профилактики среди взрослого населения и подростков с учетом их возрастно-половых групп (ПК- 6);

способностью и готовностью применять современные социально-гигиенические методики сбора и медико-статистического анализа информации о показателях здоровья взрослого населения и подростков на уровне различных подразделений медицинских организаций (акушерско-гинекологический, педиатрический сельский врачебный участок) в целях разработки научно-обоснованных мер по улучшению и сохранению здоровья мужчин и женщин (ПК-11);

способностью и готовностью управлять средним и младшим медицинским персоналом для обеспечения эффективности лечебного процесса; к анализу показателей деятельности медицинских организаций, к использованию современных организационных технологий профилактики, диагностики, лечения, реабилитации при оказании медицинских услуг в основных типах медицинских организаций (ПК-45);

способностью и готовностью изучать научно-медицинскую информацию, отечественный и зарубежный опыт по тематике исследования (ПК-50);

способностью и готовностью к освоению современных теоретических и экспериментальных методов исследования в медицине (ПК-51);

способностью и готовностью к участию в организации работ по практическому использованию и внедрению результатов исследований (ПК-52).

Учебная цель: Обучающиеся должны знать понятия описательной статистики: определение и виды статистической совокупности, вариационного ряда, ориентироваться в шкалах измерения переменных и выборе усредняющей характеристики в зависимости от имеющегося набора данных.

5. Место проведения практического занятия: учебная комната.

6. Оснащение занятия: ноутбук, мультимедийный проектор.

7. Структура содержания темы (хронокарта, план занятия).

Схема хронокарты практического занятия

 

№ п/п	Этапы практического занятия	Продолжительность (мин)	Содержание этапа и оснащенность
1.	Организация занятия		Проверка посещаемости и внешнего вида обучающихся
2.	Формулировка темы и цели		Постановка темы, объяснение ее актуальности, целей занятия
3.	Контроль исходного уровня знаний, умений		Тестирование, индивидуальный устный опрос, фронтальный опрос
4.	Раскрытие учебно-целевых вопросов по теме занятия		Изложение теоретического материала по теме занятия
5.	Работа на практических занятиях		Разбор учебных примеров и задач
6.	Итоговый контроль знаний (письменно или устно)		Решение ситуационных задач по изучаемой теме
7.	Задание на дом (на следующее занятие)		Учебно-методические разработки следующего занятия, и методические разработки для внеаудиторной работы по теме
Всего:

8. Аннотация (краткое содержание) темы.

О назначении описательной статистики можно судить по ее названию: она имеет дело с числами, характеризующими ту или иную интересующую нас ситуацию. Вот примеры статистической информации: число несчастных случаев за год; средняя продолжительность жизни; уровень заболеваемости гриппом. Ценность описательной статистики заключается прежде всего в том, что она дает сжатую и концентрированную характеристику изучаемого явления.

Статистика имеет различные функции: информационную, прогностическую и аналитическую.

Информационная функция статистики состоит из сбора, обобщения и представления всем заинтересованным лицам достоверной, своевременной информации об исследуемом явлении. В связи с тем, что иногда исследованию подлежат тысячи объектов, необходимым является переход от сплошного изучения к выборочному по многим показателям. Поэтому важное значение приобретают технологии сбора, обработки и анализа данных, которые позволяют использовать информационные возможности частичных первоначальных данных для разработки обобщенной информации о том или ином процессе.

Прогностическая функция статистики состоит в оценивании вероятностей тех или иных случайных событий, которые происходят в изучаемом процессе, показателей тех или иных случайных величин, связанных с этим процессом. Эта функция служит основой для принятия управленческих решений. С помощью этой функции можно получить сигнал о возможности появления кризисных явлений в изучаемом процессе, если не внести каких-то изменений в управление им.

Аналитическая функция статистики состоит, во-первых, в количественном исследовании тенденций развития процесса; во-вторых, в изучении этого процесса в динамике; в-третьих, в измерении связей между разными факторами, влияющими на процесс, и его результатами.

То есть, владея методами статистики, мы можем с одной стороны проанализировать имеющиеся данные, с другой – предвидеть дальнейшее развитие ситуации, учесть влияние возможных факторов и выбрать оптимальное решение, влияющее на развитие ситуации.

Объектом наблюдения описательной статистики является статистическая совокупность, состоящая из отдельных предметов или явлений - единиц наблюдения, взятых в определённых границах времени и пространства. Они объединены общей связью, но различаются по ряду варьирующихся признаков.

Единица наблюдения - первичный элемент статистической совокупности, являющийся носителем признаков, подлежащих изучению.

Статистическая совокупность, подлежащая исследованию, называется генеральной совокупностью. Теоретически генеральная совокупность может быть безгранична.

Выборочная совокупность (выборка) – подмножество (часть) генеральной совокупности, получаемое посредством случайного отбора. Смысл выборочного метода состоит в том, что извлечение из некоторой весьма пространной (или вообще беспредельной) генеральной совокупности несравненно меньших по объему выборок резко экономит время обработки данных. Процесс случайного отбора данных называется процессом рандомизации (random – «случайный»).

Важность принципа рандомизации (случайного отбора) можно проиллюстрировать следующим образом. Представим, что необходимо собрать образцы определенного вида растений с какой-то гигантской площадки (поля) с целью описать некие их свойства. Например, подсчитать среднее число зерен в колосе какого-то злака. Совокупность экземпляров данного вида, произрастающая на данном поле, и будет составлять генеральную совокупность. Понятно, что, если поле действительно очень большое, то в разных его частях система природных факторов, влияющих на рост и развитие растений, будет складываться несколько иначе: будет сказываться разница в структуре почвы, рельефе, глубине подпочвенных вод, осадках, удаленность от дороги или лесной опушки и т.д. В результате, как это действительно и происходит на практике, в разных местах поля колосья заведомо будут различны, поэтому если вы будете собирать образцы лишь с одного чем-то лично вам понравившегося участка (например, «далеко ходить не надо» или другие личные мотивы), то практически гарантированно вы получите искаженные сведения о генеральной совокупности. Действительно, ведь вам будут, как правило, попадаться объекты, у которых интересующее вас свойство будет содержаться либо «в избытке»,либо «в недостатке». Иными словами, вы внесете в данные некую нарочитую тенденцию, вольно или невольно вызовите их смещение в сторону относительно высоких ли низких значений по отношению к их действительному состоянию в генеральной совокупности. Понятно, что такой подход, независимо от того, какие объекты вас действи­тельно интересуют (растения, животные, люди), может привести к неверным заключениям и прогнозам со всеми вытекающими последствиями. При этом совершенно неважно, внесены ли такие ошибки сознательно или непроизвольно, из самых лучших побуждений («чтобы было как лучше») или, наоборот, из желания «навредить». Рандомизация же (возвращаясь к примеру с растениями на поле) действует как механизм, позволяющий вам независимо от вашего желания-нежелания более или менее равновероятно «выдергивать» образцы из самых разных участков генеральной совокупности. Это обеспечивает нивелирование действия специфических локальных факторов на изучаемые объекты («избытки» в одном месте компенсируются «недостатками» в другом), благодаря чему свойства рандомизированной выборки приближаются к реальным свойствам генеральной совокупности.

 

Репрезентативность выборочной совокупности - свойство выборки корректно отражать генеральную совокупность.

Одна и та же выборка может быть репрезентативной и нерепрезентативной для разных генеральных совокупностей. Например, выборка, целиком состоящая из пациентов, больных сахарным диабетом, не репрезентирует всех пациентов больницы, но может отлично отображать пациентов-диабетиков.

Выделяют репрезентативность количественную и качествен­ную (структурную). Количественная репрезентативность опреде­ляется числом наблюдений, гарантирующим получение стати­стически достоверных данных. В общем, здесь действует основ­ной постулат закона больших чисел — «чем больше наблюдений — тем результаты достоверней» или «чем больше число наблюдений, тем больше значения характеристик выборки приближаются к со­ответствующим характеристикам генеральной совокупности».

Качественная репрезентативность — обозначает структурное соответствие выборочной и генеральной совокупностей. Напри­мер: если в составе генеральной совокупности 50% — лица муж­ского пола, то и в выборочной группе их должно быть 50%.

В силу закона больших чисел выборка будет качественно ре­презентативной только в том случае, если ее осуществить слу­чайно. Проводить отбор случайно, значит обеспечить выполне­ние условия, что каждый объект выборки отбирается случайно из генеральной совокупности.

Для каждого объекта (единицы наблюдения) регистрируют один и тот же признак или признаки. Например, регистрируется рост и масса людей; численность населения, уровень рождаемости и смертности для городов; объем памяти и т.д. Признак, который регистрируется для каждого из объектов, называют переменной.

Наборы данных классифицируют по следующим признакам:

· по количеству переменных (одномерные, двумерные или многомерные наборы данных);

· по типу данных (количественные или качественные);

· по тому, важна ли упорядоченность данных во времени или нет.

 

Одномерные наборы данных содержат только один признак для каждого объекта. Эти данные позволяют определить типичное значение признака, то, насколько значения отличаются друг от друга, требуют ли отдельные данные особого внимания. Примером одномерных данных является информация о средней рождаемости в стране по регионам. Она позволяет назвать регионы с самым высоким и с самым низким уровнем рождаемости.

Двумерные наборы данных содержат информацию о двух признаках для каждого из объектов. Кроме того, что они дают возможность получить два набора одномерных данных, двумерные данные также позволяют установить, существует ли связь между двумя переменными, насколько сильно связаны переменные, можно ли предсказать значение одной переменной по значению другой и если да, то с какой надежностью. Например, данные опроса студентов о том, удовлетворены ли они уровнем теоретической и практической подготовки, получаемой в вузе (значения обеих переменных записываются в виде да/нет или 1/0), позволяют установить, есть ли связь между уровнями теоретической и практической подготовки.

Многомерные данные содержат информацию о трех или более признаках для каждого объекта. В дополнение к той информации, которую можно извлечь из одномерных и двумерных наборов, многомерные данные можно использовать для получения информации о том, существует ли простая зависимость между этими признаками, насколько они взаимосвязаны (речь идет не только о попарной взаимосвязи признаков, но и о зависимости в совокупности), можно ли предсказать значение одной переменной на основании значений остальных.

 

Признаки, или переменные, могут принимать различные конкретные значения. Различают следующие виды признаков:

Качественные или номинальные – признаки, не поддающиеся непосредственному измерению. Состоит из взаимоисключающих категорий. Например, характеристики пациента: диагноз, пол, профессия, семейное положение. (Номинальная шкала) Пример: семейный статус - холост, женат, разведен, вдовец; вид заболевания - астма, брон­хит, пневмония.

Качественные данные, которые могут быть отнесены только к двум противоположным категориям «да» – «нет», принимающие одно из двух значений (выжил – умер; курит – не курит), называются дихотомическими (бинарными). Даже если значениям качества можно приписать числа (например, полу человека приписать соответственно числа 0 и 1), то обрабатывать эти числа как количественные данные нельзя.

Порядковые или ранжируемые – признаки, которые можно расположить в естественном порядке (ранжировать), но при этом отсутствует количественная мера расстояния между величинами. Примером являются оценка тяжести состояния пациента, стадия болезни, самооценка состояния здоровья. При этом допускается, что тяжелое течение заболевания «хуже», чем среднетяжелое, а очень тяжелое – «еще хуже», однако нельзя сказать во сколько или на сколько хуже. Можно сказать, что порядковые данные занимают промежуточное положение между количественными и качественными типами. Их можно упорядочить как количественные данные, но над ними нельзя производить арифметические действия, как над качественными данными.

Количественные или интервальные – признаки, количественная мера которых четко определена. Это наиболее удобный для статистического анализа тип данных.

Количественные признаки могут быть:

- непрерывными – принимающими любое значение на непрерывной шкале; например, масса тела, температура, биохимические показатели крови;

- дискретными - принимающими значения лишь из некоторого списка определенных чисел, обычно целых; например, число рецидивов, число детей в семье, число заболеваний у одного больного, число выкуриваемых сигарет, число вызовов "скорой помощи", поступающих в больницу.

По роли в статистической совокупности учетные признаки можно подразделить на факторные (факториальные) и результа­тивные (результирующие) признаки.

Результативный признак — зависимый, изменяющий свое значение под влиянием другого, связанного с ним и действующего на него факторного признака. Например: концентрация количество выкуренных сигарет - факторный признак, вероятность возникновения забо­левания легких и сердца – результативный признак. Ролевая значимость этих признаков иногда может меняться. Например: кон­центрация инсулина в крови и концентрация сахара крови. Высокий уровень сахара крови вызывает усиленный выброс ин­сулина в кровь. В то же время повышение концентрации инсу­лина ведет к снижению сахара крови. Так же как реализация скрининг исследований инфекционных заболеваний влияет на своевременность выявления, снижение риска инфицирования и числа зараженных, что впоследствии уменьшает эффективность скрининга и целесообразность его проведения.

Все единицы наблюдения, относящиеся к одной статисти­ческой совокупности, имеют некоторое число общих учетных признаков, свидетельствующих о принадлежности конкретной единицы наблюдения к этой совокупности. Такие признаки на­зываются признаками сходства (место работы, время работы на предприятии, место жительства и т. п.). Эти признаки описыва­ют обязательное условие статистического наблюдения: единст­во места и времени исследования.

Признаки различия представляют индивидуальные особенно­сти (характеристики) каждой единицы наблюдения. В медицин­ских исследованиях это могут быть пол, возраст, производствен­ный или профессиональный стаж, заболеваемость и т. п. Строго говоря, признаки различия и являются конечным объектом ста­тистического исследования.

Если порядок записи значений данных во времени имеет содержательный смысл, то говорят, что эти данные представляют собой временной ряд. Эти данные представляют информацию об объекте в различные моменты времени. Если порядок записи данных во времени несущественен, то говорят об одном временном срезе. Эти данные представляют информацию об объектах в определенный момент времени. Примерами временного ряда являются данные о заболеваемости раком в регионе за несколько десятков лет; об уровне заболеваемости гриппом за квартал и т. п. Примерами одного временного среза являются данные о смертности в районе в определенный год; число пациентов, обратившихся в поликлинику, на определенный день.

Многие статистические данные получают в процессе измерений. Целью измерений является получение информации о признаках объектов, организмов, событий. Измеряется не сам объект, а только свойства или отличительные признаки объекта. Например, измеряется не ребенок, а его рост и масса. Измерения осуществляются путем установления соответствия между числами и объектами, которые являются носителями подлежащих измерению свойств. Измерения могут проводиться на разных уровнях. Различным уровням измерений соответствуют различные шкалы:

1) номинальная шкала;
2) порядковая, или ранговая, шкала;
3) шкала интервалов;
4) шкала отношений, или шкала пропорций;
5) логарифмическая шкала.

Номинальная шкала используется для регистрации самого низшего уровня измерений, предполагающего наличие минимальных предпосылок для измерения. При измерениях на данном уровне практически не используются числа. Здесь важно установить подобие или различие объектов по некоторому признаку. Например, распределение жителей по половому признаку. С помощью подсчета можно установить число мужчин и женщин в каждом регионе.

Порядковая, или ранговая, шкала указывает лишь последовательность носителей признака или направление степени выраженности признака.

Например, учащихся можно ранжировать по количеству правильно выполненных тестовых заданий. Пусть учащиеся А, Б, В, Г, Д правильно выполнили соответственно 21, 16, 12, 9 и 3 задания. Графически это можно изобразить так

Эта порядковая шкала имеет величины от 1 до 5, и учащиеся на ней размещены в зависимости от количества правильно выполненных заданий: А - первый, Д - пятый. Из рисунка видно, что интервалы, разделяющие места в ряду, различны по величине. По этой причине нецелесообразно складывать, вычитать, умножать и делить порядковые места.

Шкала оценок по одному предмету является порядковой шкалой, так как интервалы между отдельными баллами не отражают разрыва между реальными результатами. Мы знаем только, что ученик, получивший оценку "5" по какому-то предмету, знает этот предмет лучше того, кто получил "4". Но нельзя утверждать, что различие в знаниях этих учащихся такое же, как и в знаниях тех, кто получил "4" и "3". Так как шкала оценок является порядковой шкалой, то некорректно выставлять итоговую оценку как среднюю арифметическую текущих оценок.

На шкале интервалов равные интервалы отображают одинаковую меру величины измеряемого признака. Например, 1 см между 3-м и 4-м сантиметрами на шкале измерений длин имеет такой же смысл, как и 1 см между 82-м и 83-м сантиметрами. Другими словами, на шкале интервалов расстояния между соседними делениями равны. На интервальной шкале вполне осмысленным является вопрос "на сколько?". Но не всегда, пользуясь интервальной шкалой, можно формулировать вопрос "во сколько раз?". Дело в том, что на шкале интервалов устанавливаются произвольно начало отсчета (нуль шкалы), единица измерения и направление отсчета. Примером интервальной шкалы является температурная шкала по Цельсию. Разность между температурами воздуха +30 и +20°С столь же велика, как и между -10 и -20°С. Однако нельзя утверждать, что при температуре воздуха +30°С в полтора раза теплее, чем при температуре +20°С. Даже если температура воздуха равна 0°С, нельзя утверждать, что тепла нет совсем: ведь начало отсчета выбрано произвольно.

Также шкалой интервалов является шкала коэффициента интеллекта IQ.

Шкала интервалов является метрической, с ее помощью можно выполнять сложение и вычитание. Она имеет значительные преимущества по сравнению с номинальной и порядковой шкалами.

Шкала отношений, или шкала пропорций, дает возможность устанавливать отношения значений измеряемого признака благодаря тому, что значению шкалы "0" соответствует величина, для которой измеряемый признак отсутствует. Другими словами, начало отсчета на этих шкалах выбирают непроизвольно. Примерами шкалы отношений являются меры длины (м, см и т. д.) и массы (кг, г и т. д.). Предмет длиной 100 см вдвое длиннее предмета длиной 50 см.

Важно упомянуть о логарифмической шкале. Иногда данные нуждаются в преобразованиях. В частности, потребность в этом возникает, когда в ряду данных одно или несколько значений существенно превышают остальные. Если данные явно несимметричны, то каждое значение приведенного набора данных заменяют логарифмом этого значения с целью упростить статистический анализ. Логарифмирование преобразует "скошенные" (асимметричные) данные в более симметричные, так как происходит "растягивание" шкалы возле нуля. При этом малые значения, сгруппированные вместе, распределяются вдоль шкалы. В то же время логарифмирование собирает вместе большие значения на правом конце шкалы. Наиболее часто применяют десятичные и натуральные логарифмы. Равным расстояниям на логарифмической шкале соответствует равные процентные увеличения на исходной шкале, а не равные увеличения значений.

Пример. В таблице представлена численность населения (в тыс. чел.) в республиках бывшего СССР в 1976 г.

Россия	Украина	Белоруссия	Узбекистан	Казахстан
Грузия	Азербайджан	Литва	Молдавия	Латвия
Киргизия	Таджикистан	Армения	Туркмения	Эстония

Заменим все значения их десятичными логарифмами. В нижеприведенной таблице вместо численности населения представлены их десятичные логарифмы.

Россия	Украина	Белоруссия	Узбекистан	Казахстан
8,13	7,69	6,97	7,15	7,16
Грузия	Азербайджан	Литва	Молдавия	Латвия
6,69	6,76	6,52	6,59	6,40
Киргизия	Таджикистан	Армения	Туркмения	Эстония
6,53	6,54	6,45	6,41	6,16

Эти данные симметрично группируются вокруг среднего значения 6,81.

 

Вариационный ряд - ряд числовых измерений какого-либо признака, отличающихся друг от друга по своей величине и расположенных в определенном порядке (возрастания или убывания).

Каждое числовое значение в вариационном ряду называют вариантой (v). При большой численности наблюдений некоторые варианты повторяются. В связи с этим в вариационном ряду принято выделять частоты (р). Частота данной варианты – это количество элементов совокупности, имеющих одинаковое числовое значение. Отношение частоты варианты к объему совокупности (или общему числу наблюдений n) назвали относительной частотой варианты и обозначили через , при этом выполняется условие v ₁ + v ₂ +... + v_k = 1.

Виды вариационных рядов:

1. В зависимости от вида случайной величины:

- дискретный;

- непрерывный.

2. В зависимости от группировки вариант:

- несгруппированный;

- сгруппированный (интервальный):

3. В зависимости от частоты, с которой каждая варианта встречается в вариационном ряду:

- простой (р =1);

- взвешенный (р >1).

Вариационный ряд можно разбивать на отдельные (по возможности равные) части, которые называются квантилями. Наиболее часто употребляемые квантили представлены в таблице.

Средняя величина - это обобщающий показатель статистической совокупности, который погашает индивидуальные различия значений статистических величин, позволяя сравнивать разные совокупности между собой.

В зависимости от характера задачи пользуются тем или иным видом средней величины. К ним принадлежат среднее арифметическое, мода, медиана, степенные средние (среднее гармоническое, среднее геометрическое и т. п.).

Пусть имеется n объектов, для которых измерена некоторая характеристика, и получены значения v ₁, v ₂,..., v_n. Среднее арифметическое этих n значений обозначают через М и определяют как

,

это также может быть записано следующим образом

Медиана, или средняя точка, может быть вычислена как для порядковых, так и для количественных данных. Если все элементы совокупности размещены в порядке возрастания или убывания числовых значений признака, то медиана - это такое значение признака, которое делит всю совокупность пополам.

Итак, количество элементов совокупности, имеющих значение признака, меньшее медианы, равно количеству элементов со значением признака, большим медианы. Будем обозначать медиану символом Ме.

При нахождении медианы дискретного вариационного ряда следует различать два случая:

1) объем совокупности нечетный;

2) объем совокупности четный.

Если объем совокупности нечетный и равен (2 n +1), и варианты размещены в порядке возрастания их значений:

то Me = x_{n + 1}.

Если же количество элементов четное и равно 2 n, то нет варианты, которая бы делила совокупность на две равные по объему части:

поэтому в качестве медианы условно берется полусумма вариант, находящихся в середине вариационного ряда:

Медиана обладает важными свойствами, которые в некоторых случаях дают ей преимущество перед другими средними величинами. Например, если при упорядоченном размещении некоторого признака "крайние" значения сомнительные и к тому же резко отличаются от основной массы данных, то в качестве меры центральной тенденции целесообразно использовать медиану. Это связано с тем, что на ее величину эти "крайние" значения никакого влияния не оказывают, а в то же время они могут существенным образом повлиять на значение среднего арифметического.

 

Среднее арифметическое является хорошей мерой центральной тенденции для количественных данных, не имеющих выбросов; медиана - для порядковых данных и для количественных данных, в том числе и при наличии выбросов. Подобная характеристика нужна и для номинальных данных. Такой характеристикой является мода. Она применяется как для неупорядоченных категорий, так и для упорядоченных, и для количественных данных.

Мода - это такое значение признака, которое встречается наиболее часто. В случае дискретных рядов вычислить моду нетрудно. Достаточно найти варианту, которая имеет наибольшую частоту или относительную частоту, это и будет мода. Будем обозначать моду символом Мо.

Если все значения в вариационном ряде встречаются одинаково часто, то считают, что этот ряд не имеет моды.

Если два соседних значения вариационного ряда имеют одинаковую частоту, и она больше частоты любого другого значения, то считают, что мода равняется среднему арифметическому этих значений.

Если два не соседних значения вариационного ряда имеют одинаковую частоту, и она больше частоты любого другого значения, то считают, что вариационный ряд имеет две моды, а соответствующее распределение называют бимодальным.

Пример использования моды в медицинских исследованиях: требуется определить среднюю длительность госпитализации рабочих промышленных предприятий в связи с производственным травматизмом.

 

Число дней госпитализации									Итого
Число рабочих

При визуальном анализе графического изображения распределения видно, чторяд распределения не симметричен: вершина распределения сдвинута в начало ряда. Если определять среднюю вели чину на основе среднего арифметического (М), то средняя длительность одной госпитализации составит 4,2 дня. Однако чаще всего (Мо) длительность госпитализации составляла 3 дня.

Для правильного выбора пути статистического анализа необходимо знать вид распределения изучаемого признака.

Под видом распределения случайной величины понимают соответствие, устанавливаемое между всеми возможными числовыми значениями случайной величины и вероятностями их появления в совокупности. Вид (закон) распределения может быть представлен:

- аналитической зависимостью в виде формулы;

- в виде графического изображения

- в виде таблицы

Виды распределений

Нормальное (гауссово, симметричное, колоколообразное) распределение (normal, Gaussian distribution) – описывает совместное воздействие на изучаемое явление небольшого числа случайно сочетающихся факторов (по сравнению с общей суммой факторов), число которых неограничено велико. Встречается в природе наиболее часто, за что и получило название «нормального». Характеризует распределение непрерывных случайных величин.

Нормальное распределение - одно из самых важных распределений в статистике. Его кривая имеет следующие свойства:

· колоколообразна (унимодальна);

· симметрична относительно среднего;

· сдвигается вправо, если среднее увеличивается, и влево, если среднее уменьшается (при постоянной дисперсии);

Среднее арифметическое и медиана при нормальном распределения равны

 

 

 

Рис. 1 Нормальное распределение

Биномиальное распределение (распределение Бернулли) (binomial distribution, Bernoulli distribution) – описывает распределение частоты события, обладающего постоянной вероятностью появления при многократных испытаниях. При большом числе испытаний стремиться к нормальному. Крайним вариантом биномиального распределения является альтернативное распределение, при котором вся совокупность распределяется на две части (две альтернативы). Биномиальное распределение характеризует распределение дискретных случайных величин.

Распределение Пуассона – описывает события, при которых с возрастанием значения случайной величины, вероятность появления ее в совокупности резко уменьшается. Распределение Пуассона характернно для редких событий и может рассматриваться также как крайний вариант биномиального. Характеризует распределение дискретных случайных величин.

Выясним, в каких случаях мода, медиана и среднее арифметическое дают близкие значения и от чего зависят различия между этими показателями.

 

Рассмотрим кривую распределения. По оси Y отобразим частоту встречаемости вариант в исследуемой совокупности, а по оси Х – значения вариант. Мода является абсциссой точки максимума кривой распределения. Графически медиану можно определить как точку на оси абсцисс, в которой ордината разделяет площадь под графиком распределения на две равные части.

Если график распределения имеет симметричную форму и точку максимума, то прямая, разделяющая площадь под кривой пополам, и центр тяжести лежат на оси симметрии (см. рисунок). Итак, для такого симметричного распределения мода, медиана и среднее арифметическое совпадают. Такое распределение называется нормальным.