Имеются следующие выборочные данные:
|
|
где X1 и X2 - объясняющие или факторные переменные; Y - объясняемая переменная; n = 48 - число выполненных измерений, или объем выборки.
Исследуем зависимость объясняемой переменной Y от факторных переменных Х1 и Х2, используя множественный регрессионный анализ. Для этого необходимо выполнить расчеты:
1. Вычисление осредненных характеристик выборки (допускается выполнение на компьютере, остальные разделы – с помощью калькулятора).
2. Вычисление коэффициентов парной корреляции.
3. Вычисление стандартизованных коэффициентов множественной линейной регрессии и ранжирование с их помощью факторных переменных.
4. Обоснование формы и оценка параметров линейной множественной регрессии.
5. Построение множественной линейной регрессии в естественной форме.
6. Вычисление стандартной ошибки регрессии.
7. Вычисление частных коэффициентов корреляции и частных коэффициентов эластичности.
8. Вычисление коэффициента множественной регрессии и индекса множественной корреляции.
9. Проверка гипотезы о статистической значимости полученного уравнения множественной регрессии
10. Вычисление доверительных интервалов параметров регрессии при уровне значимости a = 0,1 или 0,05.
Каждый из них должен включать:
а) изложение теоретических предпосылок и обоснование расчетных формул;
б) выполнение расчетов;
в) обсуждение полученных результатов.
Исследование должно включать в себя наряду с получением оценок статистических характеристик многомерной пространственной выборки обоснование применяемых методов их вычисления, а также элементы экономического анализа.
Выполнение численных расчетов необходимо сопровождать обсуждением экономического содержания полученных результатов. В конце работы на отдельном листе прилагается список использованной методической и учебной литературы.
В таблице 1. показаны вычисления всех средних величин, которые необходимы для проведения этого анализа и вычисления по данным выборки следующих показателей:
Таблица 1
| № п/п | 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| -69 | -1932 | -20562 | |||||||
| -67 | -2010 | -20770 | |||||||
| -62 | -1798 | -18290 | |||||||
| -77 | -2310 | -24332 | |||||||
| -78 | -2418 | -24258 | |||||||
| -63 | -1827 | -19404 | |||||||
| -72 | -2160 | -22248 | |||||||
| -79 | -2370 | -24174 | |||||||
| -74 | -2146 | -22718 | |||||||
| -68 | -1972 | -19924 | |||||||
| -67 | -2010 | -20301 | |||||||
| -72 | -2088 | -21600 | |||||||
| -73 | -2190 | -22703 | |||||||
| -66 | -1914 | -19932 | |||||||
| -71 | -2059 | -21229 | |||||||
| -66 | -1914 | -20064 | |||||||
| -76 | -2204 | -23484 | |||||||
| -73 | -2117 | -21681 | |||||||
| -67 | -2010 | -21105 | |||||||
| -69 | -2001 | -20493 | |||||||
| -59 | -1711 | -18172 | |||||||
| -76 | -2280 | -23104 | |||||||
| -78 | -2418 | -24804 | |||||||
| -82 | -2624 | -27634 | |||||||
| -79 | -2370 | -24964 | |||||||
| -64 | -1920 | -19328 | |||||||
| -77 | -2387 | -24640 | |||||||
| -64 | -1856 | -18624 | |||||||
| -71 | -2059 | -20590 | |||||||
| -74 | -2368 | -23976 | |||||||
| -63 | -1827 | -19152 | |||||||
| -68 | -1972 | -19856 | |||||||
| -63 | -1827 | -19467 | |||||||
| -61 | -1830 | -18483 | |||||||
| -67 | -2010 | -20569 | |||||||
| -76 | -2356 | -25004 | |||||||
| -73 | -2336 | -24528 | |||||||
| -77 | -2387 | -23870 | |||||||
| -64 | -1920 | -19264 | |||||||
| -63 | -1701 | -17010 | |||||||
| -73 | -2336 | -24674 | |||||||
| -60 | -1680 | -16980 | |||||||
| -63 | -1890 | -19215 | |||||||
| -82 | -2624 | -27224 | |||||||
| -70 | -2100 | -21280 | |||||||
| -60 | -1680 | -17580 | |||||||
| -73 | -2117 | -21827 | |||||||
| -66 | -1782 | -18678 | |||||||
| S | -3355 | -99818 | -1029769 | ||||||
| Среднее значение | 29,69 | -69,90 | 306,21 | 882,77 | 4923,60 | 93953,00 | -2079,54 | 9105,23 | -21453,52 |
1. Статистические дисперсии:
;
;
;
Стандартные (среднеквадратические) отклонения:
; 
;
.
Ковариации:
;
.
2. Линейные коэффициенты парной корреляции:
;
;
.
Анализируя значения коэффициентов парной корреляции, приходим к следующему выводу:
| Связанные переменные | Теснота связи | Направление связи |
 и 
| сильная | прямая |
 и
| умеренная | обратная |
| и
| умеренная | обратная |
3. Стандартизованные коэффициенты регрессии:
;
.
Сравнивая модули значений 
и 
, приходим к выводу, что сила влияния фактора Х1 на объясняемую переменную Y намного больше, чем сила влияния фактора Х2.
4. Оценки коэффициенты множественной линейной регрессии:
;
;
.
5. Уравнение множественной линейной регрессии в естественной форме:
6. Вычисление стандартной ошибки регрессии 
выполняется с помощью расчетной таблицы 2::
Таблица 2
| № п/п | 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| -69 | 289,63 | 8,37 | 70,12 | |||
| -67 | 308,72 | 1,28 | 1,64 | |||
| -62 | 298,08 | -3,08 | 9,48 | |||
| -77 | 310,54 | 5,46 | 29,76 | |||
| -78 | 320,46 | -9,46 | 89,42 | |||
| -63 | 298,26 | 9,74 | 94,84 | |||
| -72 | 309,63 | -0,63 | 0,40 | |||
| -79 | 310,91 | -4,91 | 24,10 | |||
| -74 | 300,27 | 6,73 | 45,32 | |||
| -68 | 299,17 | -6,17 | 38,11 | |||
| -67 | 308,72 | -5,72 | 32,73 | |||
| -72 | 299,90 | 0,10 | 0,01 | |||
| -73 | 309,81 | 1,19 | 1,40 | |||
| -66 | 298,81 | 3,19 | 10,18 | |||
| -71 | 299,72 | -0,72 | 0,52 | |||
| -66 | 298,81 | 5,19 | 26,95 | |||
| -76 | 300,63 | 8,37 | 70,02 | |||
| -73 | 300,09 | -3,09 | 9,52 | |||
| -67 | 308,72 | 6,28 | 39,43 | |||
| -69 | 299,36 | -2,36 | 5,55 | |||
| -59 | 297,53 | 10,47 | 109,58 | |||
| -76 | 310,36 | -6,36 | 40,48 | |||
| -78 | 320,46 | -2,46 | 6,03 | |||
| -82 | 330,92 | 6,08 | 37,02 | |||
| -79 | 310,91 | 5,09 | 25,92 | |||
| -64 | 308,17 | -6,17 | 38,11 | |||
| -77 | 320,27 | -0,27 | 0,08 | |||
| -64 | 298,44 | -7,44 | 55,41 | |||
| -71 | 299,72 | -9,72 | 94,49 | |||
| -74 | 329,46 | -5,46 | 29,77 | |||
| -63 | 298,26 | 5,74 | 32,93 | |||
| -68 | 299,17 | -7,17 | 51,46 | |||
| -63 | 298,26 | 10,74 | 115,31 | |||
| -61 | 307,63 | -4,63 | 21,40 | |||
| -67 | 308,72 | -1,72 | 2,96 | |||
| -76 | 320,09 | 8,91 | 79,36 | |||
| -73 | 329,27 | 6,73 | 45,24 | |||
| -77 | 320,27 | -10,27 | 105,56 | |||
| -64 | 308,17 | -7,17 | 51,46 | |||
| -63 | 278,80 | -8,80 | 77,48 | |||
| -73 | 329,27 | 8,73 | 76,14 | |||
| -60 | 287,98 | -4,98 | 24,85 | |||
| -63 | 307,99 | -2,99 | 8,95 | |||
| -82 | 330,92 | 1,08 | 1,18 | |||
| -70 | 309,27 | -5,27 | 27,75 | |||
| -60 | 287,98 | 5,02 | 25,15 | |||
| -73 | 300,09 | -1,09 | 1,18 | |||
| -66 | 279,35 | 3,65 | 13,33 | |||
| | -3355 | 14698,00 | 0,00 | 1798,07 | ||
| /n | 29,69 | -69,90 | 306,21 | 306,21 | 0,00 | 37,46 |
.
7. Частные коэффициенты линейной корреляции:
Сравнение с парными коэффициентами корреляции показывает, что существует слабая взаимосвязь между факторными переменными. Но она сильно проявилась на связи Y и X2, уменьшив характеристику связи с -0,598 до -0,144. На связь Y и X1 она повлияла незначительно (0,893 и 0,832 соответственно).
Средние частные коэффициенты эластичности:
При увеличении фактора X1 на 1% от его среднего уровня объясняемая переменная Y возрастает на 0,944 % от среднего уровня, а при увеличении фактора X2 на 1% от его среднего уровня объясняемая переменная Y возрастает на 0,041 % от своего среднего уровня.
8. Характеристика совокупного влияния всех факторов на объясняемую переменную ‑ коэффициент множественной корреляции 
можно рассчитать несколькими способами:
1) для уравнения регрессии в стандартизованной форме:
2) используя матрицы парных коэффициентов корреляции R’ и R:
,
где 
- определитель матрицы коэффициентов парной корреляции;
- определитель матрицы межфакторной корреляции, или межфакторного взаимодействия.
Таким образом: 
3) как корень квадратный из коэффициента множественной детерминации:
На основании значения коэффициента множественной регрессии делается вывод, что зависимость объясняемой переменной от факторов и характеризуется как тесная, в которой 80,2% вариации определяются вариацией данных факторов. Прочие факторы, не включенные в модель, составляют соответственно только 19,8 % от общей вариации .
9. Оценивание качества уравнения регрессии с помощью F -критерия Фишера состоит в проверке гипотезы H0 о статистической значимости уравнения регрессии или показателя тесноты связи. Для этого сравнивают фактическое значение критерия 
с критическим, табличным значением 
.
где 
- число объясняющих переменных, или факторов, включенных в модель.
Табличное значение значением находится с помощью таблиц критических точек критерия Фишера:
,
где 
- уровень значимости; 
и 
- число степеней свободы большей (числителя) и меньшей (знаменателя) дисперсий соответственно.
Так как в нашем случае 
, то гипотеза H0 о случайной природе статистической связи отклоняется. Имеющиеся статистические данные свидетельствуют о том, что в 95 % случаев связь обусловлена влиянием факторов регрессии, а остальные не включенные в нее факторы являются статистически не значимыми. С вероятностью 0,95 делаем заключение о статистической значимости уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи 
, которые сформировались под неслучайным воздействием факторов Х1 и Х2.
10. Найдем доверительные интервалы для коэффициентов регрессии 
, 
и 
.
.
Табличная величина критерия Стьюдента:
.
Дисперсия стандартной ошибки оценки коэффициентов 
:
1) 
.
Предельная ошибка выборки оценки коэффициента :
Таким образом, интервальная оценка коэффициента :
.
2) 
,
.
Таким образом: 
,
.
3) 
Таким образом: 
.
ВОПРОСЫК ЗАЧЕТУ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ЭКОНОМЕТРИКА»