Пример обработки результатов измерений

Объём цилиндра можно рассчитать по формуле:

,

где D – диаметр, l – длина, измеряемые прямым образом.

Выведем формулу погрешности косвенного измерения объёма. Для этого воспользуемся формулой (12), которая в нашем частном случае приобретает вид

.

В расчёте p всегда имеет приближённое значение, а значит, имеет место ошибка округления Dp и её следует учитывать. Таким образом, чтобы определить относительную погрешность D V / V, необходимо сначала прологарифмировать формулу измерения, а затем продифференцировать её по всем аргументам:

Расчётная формула погрешности имеет вид

.

Значение p при расчёте надо взять с такой точностью, чтобы (Dp/p)² было существенно меньше остальных слагаемых в этой формуле и им можно было пренебречь. Таким образом, если это сделано:

.

Пусть измерение длины – прямое измерение стальной рулеткой с миллиметровыми делениями. Приборную погрешность оценим в половину цены деления:

D l _приб = 0,5 мм.

Измерение длины, проведённое тщательно с многократной проверкой, дало 552 мм, причём разброс не обнаружен, т.е. случайной ошибки нет. Запишем результат измерения длины

l = (552 ± 0.5) мм.

Измерение диаметра – прямое измерение микрометром с приборной погрешностью D D_приб = 0,005 мм. Многократные измерения диаметра, проведённые тщательно в различных местах под различными направлениями, дали следующие результаты: 2,58 мм; 2,57 мм; 2,60 мм; 2,54 мм; 2,55 мм; 2,58 мм. Наблюдаемый разброс результатов измерений свидетельствует о наличии случайной ошибки, возникновение которой вероятнее всего связано с отличием формы проволоки от идеальной. Обработаем полученные результаты, заполняя табл.2.

 

Порядок действий

 

1. Первая графа – указать номер отдельного измерения по порядку.

2. Во вторую графу занести полученные результаты измерений. Наименование единицы измерения и общий множитель, характеризующий порядок величины, дают в заголовке графы вместе с символом измеряемой величины.

3. Определить среднее арифметическое по всем данным второй графы. Полученное значение записать под второй графой.

 

Таблица 2

Обработка результатов измерения диаметра

 

Номер измерения	Di /мм	D Di ×102 /мм	D Di2 ×104 /мм2
	2,58
	2,57
	2,60
	2,54	-3
	2,55	-2
	2,58
	2,57 мм		S= 24×10-4 мм2

 

4. Третья графа – отклонения результата каждого измерения от среднего значения. Можно провести проверку вычисления среднего, используя равенство .

5. Четвёртая графа – .

6. Подсчитать сумму четвёртой графы, результат записать под ней.

7. Выбрать доверительную вероятностьa (взять значение, указанное преподавателем). Например, a = 0,9.

8. По таблице коэффициентов Стьюдента (см. табл. 1) найти значение t _0,9,n = 2,0.

9. Рассчитать случайную погрешность

10. Рассчитать полную погрешность

11. Записать результат измерения диаметра

D = (2,57 ± 0,025) мм (a = 0,9).

Таким образом производится обработка прямых измерений при наличии случайной ошибки.

После того как произведены и обработаны результаты прямых измерений, можно проводить расчёт объёма и его погрешности. Лучше начать с расчёта погрешности

0,02 = 2 %

Расчёт объёма достаточно вести до трёх значащих цифр

.

Погрешность D V составляет 2 % от V: D V » 60 мм³.

Запишем окончательный результат

V = (2860 ± 60) мм³ = (2,86 ± 0,06)×10^–6 м³ (a = 0,9).

 

Задания для студентов

Задание №1. Результаты измерения диаметра свинцового шарика микрометром с приборной погрешностью 0.01 мм: 5.06, 5.02, 5.06, 5.01, 5.07, 5.03, мм. Полагая плотность свинца равной = (1.34 ± 0.05) г/см³, определить массу шарика и рассчитать погрешность для = 0.8.

 

Задание №2. Результаты измерения диаметра шара микрометром с ценой деления 0.01 мм: 15.06, 15.02, 15.06, 15.01, 15.07, 15.03, мм. Определить площадь поверхности шара и рассчитать погрешность для = 0,9.

 

Задание №3. Определить сопротивление лампочки. Результаты измерения силы тока амперметром (класс точности 1.0, предел измерения 10А) 2.2А.Результаты измерения напряжения вольтметром (класс точности 0.5, предел измерения 500 В): 215.6, 215.2, 215.6, 215.1, 215.7, 215.3, В. Рассчитать погрешность для = 0.8.

 

Задание №4. Рассчитать мощность электронагревателя. Результаты измерения напряжения вольтметром (класс точности 2.0, предел измерения 250В) 220В. Результаты измерения силы тока цифровым амперметром. 2,06, 2.02, 2.06, 2.01, 2.07,2.03, А. Рассчитать погрешность для =0.9.

 

Задание №5. Результаты измерения внутреннего и внешнего диаметров кольца рулеткой с миллиметровыми делениями: :131.5, 134, 133, 132.5, 134, 135, мм.; : 258, 256, 255.5, 254, 256.5, 257, мм. Определить площадь кольца и рассчитать погрешность для = 0.8.

 

Задание №6. Определить длину границы круглого участка. Результаты измерения диаметра круглого участка рулеткой с миллиметровыми делениями: 10506, 10502,10506, 10510,10501, 10507, 10503, мм. Определить.длину границы круглого участка и рассчитать погрешность для = 0.9.

 

Задание №7. Определить циклическую частоту электромагнитных колебаний , создаваемых генератором, если результаты намерения периода Т цифровым миллисекундомером таковы: 1.0061, 1.0022, 1.0065, 1.0008, 1 0071, 1 0034, мс. Рассчитать погрешность для = 0.8.

 

Задание №8. Определить частоту электромагнитных колебаний в колебательном контуре, если его катушка имеет индуктивность (25.4 ± 0.5)мГн, а результаты измерения емкости конденсатора цифровым измерительным местом в пикофарадах следующие: 4061, 4022, 4065, 4008, 4071, 4034, 4010. Рассчитать погрешность для = 0.8.

 

Задание №9. Рассчитать период колебаний маятника, длина которого была измерена штангенциркулем с ценой деления 0.1 мм.Результаты измерений : 215.6, 215.2, 215.6, 215.0, 215.7, 215.3, мм. Стандартное значение ускорения свободного падения = (980.6 ± 0.6) см/с². Рассчитать погрешность для = 0.7.

 

Задание № 10. Рассчитать кинетическую энергию пули на вылете из ствола, если ее масса 9.983 ± 0.006 г. Результат измерения скорости методом скоростной киносъемки , м/с: 1502, 1501,1506, 1503,1506, 1507, 1503 Приборная погрешность метода = 1.5м/с. Рассчитать погрешность для = 0 7

 

Задание №11. Определить максимальную высоту подъема пули при выстреле из вертикального ствола, если результаты измерения скорости пули на вылете из ствола методом скоростной киносъемки в м/с: 806, 802, 806, 801, 807, 803. Приборная погрешность метода 1.5 м/с. Стандартное значение ускорения свободного падения 980.665 см/с². Рассчитать погрешность для =0.7.

 

Задание №12. Определить атмосферное давление в килопаскалях, если показания ртутного барометра дали следующие результаты в мм рт. столба: 765.65, 765.20, 765.60, 765.05, 765.70, 765.30. Плотность ртути 13.6 ± 0.5 г/см³. Стандартное значение ускорения свободного падения 980.665 см/с². Рассчитать погрешность для = 0.8.

 

Задание №13. Определить заряд на конденсаторе емкостью 10 мкф (относительная погрешность 2.5%). Результаты измерения напряжения вольтметром (класс точности 1.0 на пределе 500 В): 216, 215, 211, 217, 213, 212 В. Рассчитать погрешность для = 0.7.

 

Задание №14. Энергия фотона определяется по результатам измерения длины волны с помощью интерферометра. Результаты измерения в ангстремах: 4061, 4022, 4065, 4008, 4071, 4034 с приборной погрешностью 10 А°. Постоянная Планка 6.б26•10^-34 Дж*с. Скорость света в вакууме 2.998*10⁸ м/с. Определить энергию фотона и рассчитать погрешность для = 0.8.

 

Задание №15. Для определения объема цилиндрической трубы измеряют ее длину с помощью рулетки с ценой деления 1 мм и диаметры внутренний и наружный с помощью штангенциркуля с ценой деления 0.1 мм. В результате 6 измерений получены следующие значения: , мм: 22.3; 22.0; 21.8; 22.2; 22.1; 21.7. , мм: 27.6; 27.1; 27.9; 27.3; 27.0; 27.6. , мм: 582,0 Определить объем трубы и рассчитать погрешность для = 0.8.

 

Задание №16. Показатель преломления среды определяется по результатам измерения угла полного внутреннего отражения (): . В результате прямых измерений угла (в градусах): 41.8, 41.0, 41.6, 42.2, 41.2 с приборной погрешностью 6 минут. Определить показатель преломления и рассчитать погрешность для = 0.95.

 

Задание №17. Коэффициент трения тела на наклонной плоскости определяется по критическому углу (), при котором тело начинает скользить: . Результаты прямых измерений угла в градусах: 61.5; 60.8; 62.0; 61.2; 60.5 с приборной погрешностью 1°. Определить и рассчитать погрешность для а = 0.9.

 

Задание №18. Ускорение свободного падения определяют по результатам прямых измерений периода Т и длины математического маятника. Т, с: 1.09; 1.11; 1.17; 1.13; 1.10; 1.15 с приборной погрешностью секундомера 0.02 с. = (30.1± 0.05) см. Определить и рассчитать погрешность для = 0.8.

 

Задание № 19. Период колебаний физического маятника определяется по формуле: , где - момент инерция тела массой , - расстояние от точки подвеса до центра масс. Определить момент инерции тела тела по результатам прямых измерений периода колебаний , с: 1.25; 1.38; 1.17; 1.20; 1.32; 1,41. = (20.1 ± 0.05), см; = (55.08 ±0.04) г. Стандартное значение ускорения свободного падения = 980.665 см/с². Рассчитать погрешность для = 0.8.

 

Задание №20. Добротность колебательной системы определяется по результатам прямых измерений частот колебаний и , при которых амплитуда колебаний уменьшается в раза по сравнению с амплитудой колебаний при резонансной частоте : , . Измерения частот с приборной погрешностью = ± 2Гц дали следующие результаты: *10³, Гц: 3.752; 3761; 3.758; 3.756; 3.760; 3.764. *10³, Гц: 3.846; 3852; 3.855; 3.849; 3.850; 3.846. Определить и рассчитать погрешность для = 0.9.

 

Задание № 21. Момент инерции алюминиевого стержня квадратного сечения определяется по формуле: , где масса , объем Длина стержня измеряется с помощью мм-линейки: =38,7 см. Измерения размера а с помощью штангенциркуля (цена деления 0.1мм): 2.68, 2.51, 2.59, 2.49, 2.50, 2.54, см. Полагая плотность алюминия = (2.72 ± 0.07) г/см³, определить величину и рассчитать погрешность для = 0.95.

 

Задание № 22. Момент инерции алюминиевого диска толщиной h и диаметром D определяется по формуле: , где масса , объем . Результаты измерений и с помощью штангенциркуля (цена деления 0.1 мм): , см - 54.73; 54.58; 54.65; 54.59; 54.61; 54,69. , см - 2.68, 2.51,2.59, 2.49, 2.50, 2.54. Полагая плотность алюминия = (2.72 ± 0.07) г/см³, определить величину и рассчитать погрешность для = 0.8.

 

Задание № 23. Момент инерции стального шара диаметром определяется по формуле: , где масса , объем . Результаты измерений с помощью штангенциркуля (цена деления 0.1мм): 22.3; 22.0; 21.8; 22.2; 22.1; 21,7, см. Полагая плотность стали = (7.66± 0.05) г/см³, определить величину I и рассчитать погрешность для = 0.75.

 

Задание № 24. Момент инерции медного цилиндра длиной и диаметром определяется по формуле: , где масса , объем . Результата прямых измерений с помощью штангенциркуля (цена деления 0.1 мм) длины = 102,4 мм и диаметра : 57.3, 58.1, 57.0, 56.8, 56.6, 57.8, мм. Полагая плотность стали = (8,89 ± 0.05) г/см³, определить величину и для .

Задание № 25. Масса тонкой титановой сферы, полученная взвешиванием с приборной погрешностью = 0.5г, равна 296.6 г. Результаты прямых измерений с помощью штангенциркуля (цена деления 0.1мм) диаметра сферы :19.8, 20.7,21.0, 19.5, 20.4, 21.6. Полагая плотность титана = (4,55 ± 0.05) г/см³, определить толщину сферы и рассчитать погрешность для = 0.7.

 

Задание № 26. Плотность льда определяется по результатам прямых измерений высоты надводной части ледяного куба с длиной ребра , плавающего в воде: , где плотность воды = (1.02±0.01) г/см³. В результате измерений с помощью мм-линейки получены следующие данные: , мм: 56, 58, 54, 55.5, 57, 56.5; , мм: 5.5, 6.5, 4.0, 6.0, 7.0, 5.0. Определить плотность льда и рассчитать погрешность для = 0.8.