Ряды Фурье для чётных и нечётных функций.

Тема:. Тригонометрические ряды Фурье

Тригонометрический ряд.

Разложение функций в степенные ряды, т.е. разложения сложных функций на простые степенные функции вида , не всегда возможны и не всегда удобны в приложениях.

При изучении сложных периодических процессов естественно возникает задача о представлении функций, описывающих эти процессы в виде суммы конечного или бесконечного числа простых периодических функций.

В качестве таких функций берутся функции вида , или, что то же самое, функции вида .

Если , то функция является постоянной, а если , то она является периодической с периодом . В частности, каждая простая гармоника с , где , имеет в качестве одного из своих периодов.

Рассмотрим задачу о разложении -периодической функции в ряд вида:

где -- некоторые числа.

Такие ряды называются тригонометрическими, а числа их коэффициентами.

Член называется свободным членом (в виде он берется для удобства).

Определение. Тригонометрическим рядом Фурье для функции на отрезке называется ряд вида ,

коэффициенты которого, называемые коэффициентами Фурье для функции , вычисляются по следующим формулам:

;

Условия, которые достаточно наложить на функцию для того, чтобы её ряд Фурье сходился во всём промежутке разложения, определяются теоремой Дирихле:

Если функция , заданная на отрезке , удовлетворяет в этом промежутке условиям Дирихле, т.е.

1) непрерывна за исключением только конечного числа точек разрыва I рода;

2) имеет конечное число экстремумов,

то ряд Фурье этой функции сходится на всём отрезке и сумма этого ряда:

равна во всех точках непрерывности данной функции, лежащих внутри промежутка : ;

равна во всех точках разрыва: ;

равна на концах промежутка:

Так как члены ряда – функции периодические с периодом , то из сходимости ряда на отрезке вытекает его сходимость на всей числовой оси, причем сумма этого ряда является периодической функцией с тем же периодом .

Тогда для того, чтобы ряд Фурье функции сходился именно к этой функции на всей числовой оси, надо и её считать периодической с периодом .

Разложение функции в ряд Фурье

Рассмотрим ряд вида

Числа - называют коэффициентами тригонометрического ряда или его можно записать в виде

Допустим, что функция f (x) разлагается в тригонометрический ряд

Если периодическая функция f(x) с периодом является суммой равномерно сходящегося на тригонометрического ряда (49), то коэффициенты этого ряда определяются по формулам:

, , .

Данные коэффициенты называют коэффициентами Фурье, а тригонометрический ряд , коэффициенты которого определяются по формулам Фурье, называю рядом Фурье.

Ряды Фурье для чётных и нечётных функций.

Если f (x) – чётная функция, её ряд Фурье содержит только свободный член и косинусы, т.е.

, где .

Если требуется разложить в ряд Фурье нечетную функцию, , .

Ряд Фурье для нечетной функции имеет вид: .

Если функция f (x) – задана на , где l – произвольное число, то при выполнении на этом отрезке условий Дирихле указанная функция может быть представлена в виде суммы ряд Фурье: