Математика(от греческого mathema – наука) – наука, в которой изучаются пространственные формы и количественные отношения. Математика зародилась в глубокой древности и от рождения условно делится на дискретную и континуальную (непрерывную) математику. К континуальной математике относится все, что содержит идеи теории пределов и непрерывности. Все остальное — это дискретная математика (discrete mathematics). Главной ее спецификой является дискретность, т.е. антипод непрерывности.
Дискретная математика – область математики, изучающая дискретные математические объекты и структуры. Ее элементы возникли в глубокой древности. С незапамятных времен известны комбинаторно-логические задачи, решение которых связано с перебором комбинаций дискретных объектов и логическим анализом возникающих вариантов. Некоторые из них сохранились до нашего времени в занимательной математике в виде задач-головоломок.
Дискретные системы с древнейших времен применяются в вычислительной практике. Широко известны изобретенные в древности различные системы представления чисел и связанные с ними алгоритмы выполнения арифметических операций, решения уравнений и т.д., повсеместно были распространены дискретные вычислительные приспособления: абак, различные виды счетов.
Развиваясь параллельно с другими разделами математики, элементы дискретной математики являлись их составной частью. Важнейшие примеры дискретных математических объектов: натуральный ряд чисел; конечное множество элементов произвольной природы; функция (отображение) из конечного множества в конечное множество; слово (последовательность символов) и формальный язык (множество слов) в конечном алфавите; конечный граф и другие. Содержательно дискретный объект обычно мыслится как состоящий из строго отделенных друг от друга неделимых частей. Объекты рассматривают как дискретные также в тех случаях, когда по каким-либо причинам отвлекаются от присущих им свойств непрерывности.
Следует подчеркнуть, что деление математики на «непрерывную» и «дискретную» весьма условно, т.к. вся математика едина и пронизана глубокими аналогиями. Сходные идеи и конструкции одинаково успешно работают в различных ее разделах. С одной стороны, происходит обмен идеями и методами между ними, а с другой – часто возникает необходимость исследования моделей, обладающих как дискретными, так и непрерывными свойствами одновременно. Например, аппарат теории множеств и теории графов используется при изучении не только дискретных, но и непрерывных объектов. Математика, изучающая количественный аспект материальной действительности, отражает противоречивость реального мира. Непрерывность и однородность пространства — это предпосылки возникновения континуальных разделов математики, а разрывность и неоднородность — дискретных разделов. В то же время единство мира, тесная связь его непрерывных и дискретных свойств являются основанием единства математики. Однако характер объектов, исследуемых дискретной математикой, настолько своеобразен, что методов классической математики не всегда достаточно для их изучения. Поэтому те специфические методы, которые применяются для очень широкого класса конечных дискретных объектов, и были объединены в общее направление — дискретную математику. Изучение элементов дискретной математики является существенной и неотъемлемой частью общематематического образования на всех его этапах и для всех обучаемых.
В широком смысле дискретная математика включает в себя такие давно сложившиеся разделы математики, как теория чисел, алгебра, теория множеств, математическая логика и другие. В узком смысле дискретная математика состоит из ряда специальных разделов и сравнительно новых разделов, которые интенсивно стали развиваться с середины прошлого века в связи с изобретением и постепенным внедрением во все сферы жизни ЭВМ и цифровых технологий. К таким разделам можно отнести теорию функциональных систем, теорию графов и сетей, комбинаторный анализ, теорию автоматов и алгоритмов, теорию кодирования, теорию синтеза управляющих систем, дискретную геометрию и др.
Несмотря на то, что элементы дискретной математики встречались на протяжении всего периода развития математики, термин «дискретная математика» относительно новый в математическом лексиконе. Во втором издании Большой советской энциклопедии (1949-1958) он не употребляется. Статья «Конечная математика» появляется только в третьем издании энциклопедии (1969-1981), что обусловлено бурным развитием дисциплин, связанных с исследованием кибернетических систем, описываемых дискретными математическими моделями, и изучением таких моделей. Конечная математика (дискретная математика) - раздел математики, занимающийся изучением свойств объектов конечного характера.
Конечная математика – «область математики, занимающаяся изучением свойств структур финитного (конечного) характера, которые возникают как внутри математики, так и в ее приложениях». К числу таких конечных структур могут быть отнесены, например, конечные группы, конечные графы, а также некоторые математические модели преобразователей информации, конечные автоматы и т. п. Иногда допускают расширение предмета конечной математики до произвольных дискретных структур и приходят к дискретной математике.
К таким структурам могут быть отнесены некоторые алгебраические системы, бесконечные графы, определенные виды вычислительных схем, клеточные автоматы и т. д. В качестве синонима понятий «конечная математика» и «дискретная математика» иногда употребляется термин «дискретный анализ».
В статье Кудрявцев В.Б. «Конечная математика» дискретная математика противопоставляется классической: «В отличие от конечной математики классическая, в основном, занимается изучением свойств объектов непрерывного характера». Такое противопоставление не совсем точное, поскольку до определения в середине XX в. понятия «дискретная математика» к классической математике относилось и изучение дискретных объектов.
Начало следующего этапа в развитии дискретной математики относят к XVII в. и связывают с появлением работ Л. Эйлера в области комбинаторного анализа и теории графов и Я. Бернулли по комбинаторной теории вероятностей. Большую роль в развитии идеологии дискретной математики сыграл Г. В. Лейбниц. В XIX веке в области дискретной математики работали известные математики, такие, как Ж. Л. Лагранж, А. Кэли, Дж. Буль, К. Жордан и многие другие.
Начиная с XVII века, в математике в основном занимались изучением функций непрерывно меняющегося аргумента, что являлось основой для всех ее приложений. Однако изучение моделей, имеющих дискретный характер, привело к необходимости обратиться к разделам математики, идущим в основном от математической логики и традиционно включающим комбинаторный анализ, теорию графов, теорию алгоритмов, теорию алгебраических систем и ряд других. В современной математической науке, а также в ее приложениях, исследования в этих областях занимают все более заметное место.
Наряду с использованием дискретных математических методов для решения аналитических и прикладных задач в гуманитарных и естественнонаучных дисциплинах, важным аспектом их применения является также формирование методологических и языковых навыков, позволяющих формализовать и структурировать проблемы в соответствующей предметной области.
В истории цивилизации можно выделить три крупных периода: сельскохозяйственный, или аграрный, — до XVIIв.,индустриальный - с XVII по XXв., информационный — с XX в. Эти периоды определялись научно-техническими революциями и, следовательно, характером тех систем и явлений природы, которые вовлекались в сферу главных производственных интересов и потребностей людей. В каждый период создавались новые технологии производства, новая картина реального мира, новые системы знаний (науки) и, в частности, дискретная математика (рис.1).
Во взаимоотношениях математики и ее приложений с середины XX века произошел существенный перелом. Математические методы, традиционно используемые в таких областях, как физика, механика, инженерные науки, стали вторгаться в самые различные сферы науки и практики — от биологии, экономики, социологии, психологии до компьютерных технологий. Эти приложения потребовали изменить представление о математике как о вычислительной теории, стали обращаться к восприятию абстрактной природы ее основных понятий и методов, что позволило мыслить более ясно и последовательно при решении научных проблем.
Большое значение для осознания роли дискретной математики в науке XX века имело возникновение и распостранение в современном естествознании представлений о дискретном характере окружающей нас реальности (атомно-молекулярная теория, квантовая и статистическая физика). Существенное влияние на развитие дискретной математики на этом этапе оказали исследования и работы А. Пуанкаре и Д. Гильберта, Э. Л. Поста, А. М. Тьюринга и других ученых.
Бурное развитие дискретной математики во второй половине XX века связывают с «цифровой революцией» в телекоммуникационной и вычислительной технике. Дискретная математика стала основой проектирования и применения многочисленных цифровых электронных устройств. Первые применения дискретной математики в этой области связаны с именами В. А. Котельникова, К. Э. Шеннона, В.И. Шестакова. Возникновение в рамках кибернетики математической теории управляющих систем привело к развитию целых новых разделов дискретной математики: теории сложности, теории тестов, теории надежности схем, теории автоматов и других. Существенный вклад в дискретную математику на этом этапе был сделан Дж. фон Нейманом, А.А. Ляпуновым, С.В. Яблонским, О.Б.Лупановым.
Начиная с середины XX в. в нашу жизнь бурно вошли и вскоре заняли доминирующее место информационные системы различного назначения. Сначала это были кибернетические системы, а затем системы с интеллектуальными свойствами. Определяющими в таких системах являются информационно-логические, принципиально дискретные процессы решения разнообразных задач. Для этих процессов не существенны место и время их решения, они мало зависят от преобразования энергии и вещества.
Классической высшей математики недостаточно для моделирования кибернетических и интеллектуальных систем. Для описания главных систем информационного периода и появилась новая математика, которую называют в России дискретной математикой (выделяется дискретность структуры информации, собственно информационной системы и ее функционирования); в США — Computer Science (на первое место выдвигается техническая сторона дела — компьютеры); в Западной Европе — информатикой (акцент делается на информационные процессы).
Дискретная математика ориентирована на описание и исследование информационных систем, функционирующих в информационной среде. Дискретная математика объединила отдельные разделы, ранее сформированные как самостоятельные теории (математическая логика, теории множеств, графов, кодирования и др.)
Кибернетические области информатики используют в качестве аппарата язык как фундаментальной, так и прикладной математики. Кибернетика — наука об общих принципах управления в живых, неживых и искусственных системах. Решая множество разнообразных задач, кибернетика имеет общий стержень, общую методологию, в основе которой лежит понятие системы, т.е. структуры, объединения некоторого количества обособленных элементов, подчиненных единой взаимосвязи, определенным отношениям. Кибернетика является наукой об управляемых системах любого характера: биологических, социальных, технических, экономических. В связи с этим в различных системах выделяют так называемый кибернетический подход, смысл которого заключается в наличии механизма управления этой системой, в существовании обратной связи.
В XXI веке дискретная математика является бурно развивающейся ветвью математики. Ее роль и место определяются в основном тремя факторами: 1) дискретную математику можно рассматривать как теоретические основы компьютерной математики; 2) модели и методы дискретной математики являются хорошим средством и языком для построения и анализа моделей в различных науках, включая химию, биологию, генетику, физику, психологию, экологию, социологию и др.; 3) язык дискретной математики чрезвычайно удобен и стал фактически метаязыком всей современной математики.
Дискретной математикой такженазывают совокупность математических дисциплин, изучающих свойства абстрактных дискретных объектов, т.е. свойства математических моделей объектов, процессов, зависимостей, существующих в реальном мире, которыми оперируют в различных областях знаний.
Ее математический аппарат можно определить как взаимосвязанную совокупность языка, моделей и методов математики, ориентированную на решение различных, в том числе инженерных, задач. Использование такого аппарата связано с характером исследуемых моделей – отдельных элементов абстрактных множеств, отдельных чисел в различных системах счисления, отдельных значений 0 и 1 (истина и ложь), булевых функций и т.д.
В настоящее время знание дискретной математики необходимо специалистам в различных областях деятельности и элементы дискретной математики все чаще вводят в программы подготовки не только математиков, инженеров, программистов, но даже юристов. Интерес к этой дисциплине не случаен, т.к. потребность в знаниях этой области математики объясняется широким кругом ее применения: электроника и информатика, вопросы оптимизации и принятия решений. XXI в. называют веком информатизации, когда основной объем информации хранится в памяти ЭВМ. Применение ЭВМ для комплексной автоматизации информационной деятельности принципиально изменило характер взаимоотношений человека и машины. Если раньше компьютер осваивали только те, кто непосредственно его обслуживал: программисты, электронщики, операторы, то в XXI в. без машинной обработки информации не обойдется ни одна отрасль деятельности.
Дискретная математика исследует объекты, которые порой не имеют ни физической, ни числовой интерпретации. В классической математике характеристики реальных объектов можно представить в виде чисел, а закономерности — в виде соотношений. В отличие от реальных характеристиками информационных объектов могут служить понятия «структура», «отношение», «связь». Обычно объекты информатики рассматривают как комбинации некоторых абстрактных символов, над которыми производятся некие манипуляции.
В настоящем время идет процесс информатизации общества, интеллектуализации организационных систем, внедрения компьютеров во все сферы жизни человека. Происходит процесс информатизации разнообразных технических систем, постоянное расширение интеллектуальных возможностей динамических систем.
Методы, разрабатываемые дискретной математикой, часто используются в различных направлениях информатики.
Достижения математической логики используются для анализа процессов переработки информации с помощью ЭВМ. Теория автоматов разрабатывает методы, с помощью которых можно на основе моделей логического типа изучать процессы, протекающие в самой машине во время ее работы. Для работы на компьютере информацию представляют в дискретной форме, позволяющей переводить ее в программы, понятные ЭВМ.
Теория информации изучает вид тех форм, в которых информация представляется в компьютере. Формализация любой информации, реально существующей в живой и неживой природе, происходит через компьютерное моделирование. Системный анализ изучает структуру реальных объектов и дает способы их формализованного описания. Общая теория систем как часть системного анализа изучает различные по характеру системы с общих позиций. Теория массового обслуживания изучает широкий класс моделей передачи и переработки информации в системах массового обслуживания
В настоящее время нашла широкое применение наука семиотика, которая исследует знаковые системы самой различной природы. Четко различая понятие знака и знаковой ситуации, семиотика включает такие разделы, как синтактика (что связывает знак), семантика (что выражает знак), сигматика (что обозначает знак) и прагматика (что дает знак). Синтактический аспект информации, связанный со структурными и статистическими оценками, в основном рассматривается в информатике и вычислительной технике. Сигматический аспект рассматривает теория сигналов и кодирования. Знаковые системы благодаря своей гибкости способны обеспечить разнообразные запросы пользователей.
Имитационное моделирование — наука, в которой создаются и используются специальные приемы воспроизведения процессов, протекающих в реальных объектах, в тех моделях этих объектов, которые реализуются в вычислительных машинах.
Теория принятия решений изучает общие схемы, используемые при выборе решения из альтернативных возможностей (в условиях неопределенности). Теория игр изучает модели, в которых выбор происходит в условиях конфликта или противоборства. Математическое программирование рассматривает проблемы принятия оптимальных решений с помощью математического аппарата.
Искусственный интеллект — одно из молодых и перспективных направлений информатики, появившееся во второй половине XX в. на базе вычислительной техники, математической логики, программирования, психологии, лингвистики и других отраслей знаний. Объектами его изучения являются межпредметные процедуры (метапроцедуры), используемые при решении интеллектуальных задач.
Информационные системы применяются для анализа и прогнозирования потока информации, исследования способов ее представления, хранения и извлечения. Актуальным является также создание информационно-поисковых систем, систем хранения, обработки передачи информации, в состав которых входят информационные базы данных, терминалы, средства связи. Операционные системы связаны с разработкой и производством компьютеров.
Теперь уже можно осознать место дискретной математики в системе знаний, необходимых для тех, кто связал свою жизнь с компьютером. Для представителей многих специальностей, особенно для программистов и информатиков-экономистов, существенное значение в будущей профессиональной деятельности имеет знание классической логики, т.к. она образует математическую основу информатики. На знаниях законов логики базируются принципы алгоритмизации, которые лежат в основе программирования. Фундаментом всей вычислительной техники и автоматики является преобразование двоичных сигналов, анализ, проектирование и использование логических схем. Основу современной математической логики составляют исчисление высказываний и исчисление предикатов, на которых базируется любой язык программирования. Широко применяются логические методы для построения баз данных. Активно используются знания логики в развитии современных направлений информационных наук. Ряд проблем искусственного интеллекта невозможно решить без знаний основ классической логики.
Часто приходится обрабатывать информацию, полученную в результате всевозможных статистических обобщений, социологических опросов и т.д., с помощью средств теории вероятностей и математической статистики. При этом понадобятся умения формулировать гипотезы о видах распределений, проверять их жизнеспособность, истинность, отражение реальности. Поэтому специалистам важно ориентироваться в различных видах индуктивных умозаключений и уметь отличать достоверные выводы от вероятностных, т.е. применять в работе знания классической логики.
Изучая дискретную математику, нельзя не уделять внимания людям, которым принадлежат основополагающие результаты. Поэтому, перечислим имена крупных математиков, внесших существенный вклад в современную дискретную математику: английский математик и философ Б. Рассел, английский математик А. Тьюринг, американские математики А. Чёрч, К. Гёдель, Э. Пост, С. Клини, польские математики Л. Лукасевич, С. Мостовской, советские математики А. А. Марков, И. И. Жегалкин, П. С. Новиков, В. М. Глушков, российские ученые С. В. Яблонский, О. Б. Лупанов, Ю. И. Журавлев.
Обучение дискретной математике – многоцелевой, многоуровневый, многофункциональный процесс, состоящий в целенаправленном воздействии на элементы системы обучения и их связи.
Как было показано ранее, математика является единой научной дисциплиной, непрерывные и дискретные разделы которой постоянно взаимодействуют между собой, обогащая друг друга. Этапы непрерывного обучения дискретной математике определяются возрастом обучаемых, их психологическими и физическими возможностями, различными
целями и задачами, достигаемыми и решаемыми при обучении. Главной целью обучения
дискретной математике на всех этапах является усвоение обучаемыми знаний для продуктивной деятельности в современном информационном мире, овладение ими умениями
использования мощных средств исследования реальной действительности, в том числе и
вычислительной техники, развитие их умственных способностей для решения жизненных
вопросов.
Достижение этой цели возможно, с одной стороны, при знакомстве учащихся с
необходимым комплексом знаний и обучении активным навыкам их использования, с другой
стороны, при ускорении у учащихся умственного развития, знакомстве их с различными
стилями мышления, обучении умению эффективно использовать эти стили в случае
необходимости.
Выбор дискретной математики как составляющей при обучении математике вызван
широким распространением дискретных математических моделей при исследовании
кибернетических систем, повсеместным изучением информатики, теоретической базой
которой является дискретная математика. Кроме того, целью изучения дискретной
математики является повышение с ее помощью интеллектуального развития человека,
умственное совершенствование обучаемых, формирование у них приемов логического
мышления, развитие их соображения и воображения, формирование их личности.