Уравнения, решение которых основано на свойствах модуля

Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля

Уравнения вида

Наиболее рациональный путь решения – переход к совокупности .

Уравнения вида

Такие уравнения можно двумя способами заменить равносильными условиями: и .

Выбор способа замены зависит от того, какое и неравенств или решить легче.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Исходное уравнение равносильно совокупности Û .

Решая эти уравнения, получим корни х = ‑ 1; х =3; х =1±2

Ответ: ‑ 1; 3; 1±2

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Исходное уравнение равносильно системе Û .

Решая эти уравнения, получим корни х = ‑ 2; х =4; х =±2 . Но условию удовлетворяют только числа – 2 и ‑ 2 .

Ответ: ‑ 2; ‑ 2

Пример 3. Решите уравнение .

Решение. Поскольку в уравнении функция, стоящая под знаком модуля, проще, то лучше записать уравнение как совокупность двух систем:

Û .

Уравнение из первой системы совокупности корней не имеет. Решением второй системы является .

Ответ:

Уравнения вида

Уравнения этого вида можно решать, используя замену .

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. Так как , данное уравнение примет вид: .

Сделаем замену , получим новое уравнение , которое имеет два положительных корня t =2; t =3. Значит, | x |=2: | x |=3, откуда x =±2, x =±3.

Ответ: ‑ 2; 2; ‑ 3; 3

Пример 5. Решить уравнение .

Решение. Так как , данное уравнение примет вид: . Сделаем замену , получим новое уравнение ; t = ‑ 2; t =1. Однако t = ‑ 2 не удовлетворяет условию .

Получим уравнение . Откуда Û .

Ответ: 0; 2

Уравнения, решение которых основано на свойствах модуля

Пример 6. Решить уравнение .

Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат: Û .

Используя формулу разности квадратов, разложим левую часть на множители: Û . Откуда х = ; х =4.

Ответ: ; 4

Уравнения вида

При решении таких уравнений применяется метод интервалов:

1. определяются точки, в которых каждая из функций равна нулю;

2. найденные промежутки разбивают область определения уравнения на промежутки, на каждом из которых все функции сохраняют знак;

3. исходное уравнение решается на каждом промежутке, при этом модули опускаются с учетом знака функций на рассматриваемом промежутке;

4. объединяются решения, найденные на всех частях области определения уравнения.

Пример 7. Решите уравнение .

Решение. Заметим, что данное уравнение имеет вид .

Из свойств абсолютной величины следует, что это равенство справедливо тогда и только тогда, когда ab ³0. Поэтому исходное уравнение равносильно неравенству .

Корни трехчленов: x =6; x = ‑ 1; x = ; x =1. Решим неравенство методом интервалов:

Ответ: (‑ ∞; ‑ 1]È[1; ]È[6; +∞)

Рассмотрим уравнение: |2 ‑ x |=16 – 2|5 – x | ‑ | x |

Шаг 1. Под каждым из модулей все слагаемые расположить в порядке убывания степеней х, причем коэффициент при старшей степени х сделать положительным числом.

|2 ‑ x |=16 – 2|5 – x | ‑ | x | Û | x – 2|+| x |+2| x – 5|=16.

Шаг 2. Определить нули каждого выражения под знаком модуля, присутствующего в уравнении (неравенстве). Эти точки разбивают область определения каждого подмодульного выражения на интервала знакопостонства.

Шаг 3. Нанести нули каждого из выражений на отдельную силовую прямую и расположить все эти прямые друг под другом. Указать на прямых такие промежутки, в пределах которых все подмодульные выражения одновременно сохраняют знакопостоянство.

Для нашего примера

Здесь на промежутках (‑ ∞; 0], (0; 2], (2; 5], (5; +∞) все подмодульные выражения одновременно являются знакопостоянными.

Шаг 4. На каждом из полученных промежутков раскрыть модули в соответствии со знаками подмодульных выражений на этом промежутке и решить соответствующее промежутку уравнение (неравенство). Все полученные решения объединить в общий ответ.

В нашем примере:

2) .

Ответ: (‑ 1; 7)

Метод интервалов выручает в следующих ситуациях:

· Под знаком модуля встречаются не только линейные функции, но квадратичные, кубические, показательные и пр.;

· Формулировка задачи не обязательно сводится к решению уравнения или неравенства.

Примеры решения задач

Пример 1. Решить уравнение | x |=3.

Решение. Это отношение геометрически означает, что расстояние от точки х до начала координат равно 3, т.е. х =3 или х = ‑ 3.

Ответ: 3; ‑ 3

Пример 2. Решить уравнение | x +5|=2.

Решение. Рассматривая | x +5| как | x – (‑ 5)| данное уравнение означает что расстояние от точки х до точки – 5 равно 2. Откладывая на числовой оси от точки – 5 отрезок длиной 2 (в обе стороны), получим – 7 и – 3.

Ответ: ‑ 7; ‑ 3

Пример 3. Решить уравнение |3 – 2 x |=1.

Решение. Преобразуем |3 – 2 x |=|2 x – 3|=|2(x – 1,5)|=2| x – 1,5|, откуда 2| x – 1,5|=1. Разделив обе части уравнение на 2, получаем | x – 1,5|=0,5. Используя числовую ось, получаем ответ х =1 или х =2.

Ответ: 1; 2

Пример 4. Решите уравнение | х +3|=2 х – 1.

Решение: х +3=0, х = ‑ 3.

1) (‑ ∞; ‑ 3) – х – 3=2 х – 1, х = (не входит в рассматриваемый промежуток).

2) [ ‑ 3; +∞) х +3=2 х – 1, х =4; 4Î[ ‑ 3; +∞).

Ответ: 4

Пример 5. Решить уравнение

Решение. Это уравнение не приводится к виду . Поэтому решим его методом интервалов, сопроводив решение маленькой, но важной «уловкой», которая поможет уменьшить количество рассматриваемых интервалов. Сначала запишем уравнение в виде: . Заметим, что сумма модулей . Поэтому 5 ‑ 2 x 0, а значит,

х ‑ 4:

2 х – 2:

Последнее наблюдение позволяет нам рассматривать лишь два промежутка (‑ ¥; 1] и (1; 2,5] вместо трёх: (‑ ¥; 1], (1; 4] и (4; +¥). На каждом из этих двух промежутков раскроем модули и решим соответствующие уравнения:

Û Û x =1.

Ответ: 1

Пример 6. Найти количество целых чисел, принадлежащих области значений функции , заданной на отрезке [ ‑ 5; 5].

Решение. Методом интервалов раскроем модули:

Теперь построим график исходной функции на отрезке [ ‑ 5; 5].

Из графика видно, что областью значений данной функции является отрезок [6; 42]. Поэтому искомое количество целых числе из отрезка [6; 42] равно 42 – 6+1=37.

Ответ: 37

Пример 7. Найти сумму корней уравнения или корень, если он единственный:

Решение. Это уравнение вполне можно было бы решить методом интервалов, раскрывая модули на каждом из четырёх промежутков: (‑ ¥; 0],

Запишем данное уравнение в виде | x ‑ 2|= , из которого усматриваем «подсказку»: знаменатель x ‑ 5 больше нуля, поскольку неотрицательным являются числитель и левая часть уравнения. Итак, x >5, а значит подмодульные выражения x, x ‑ 2, 3 x ‑ 4 положительные и потому | x ‑ 2|= x ‑ 2, | x |= x, |3 x ‑ 4|=3 x ‑ 4.

Таким образом, данное уравнение равносильно системе:

Û . Û Û x =11.

Ответ: 11

Пример 8. Найти максимальный корень уравнения .

Решение: Поскольку х ² – 2 х +1=(х – 1)², х ² – 4 х +4=(х – 2)², то уравнение принимает вид: .

Вспоминая, что , вводим новую переменную t = , t ³0. Данное уравнение является квадратным относительно t:

Û Û t =3.

Возвращаясь к переменной х, получаем

=3 Û Û Û Û .

Максимальный корень уравнения – 2,5.

Ответ: 2,5

Пример 9. Найти целые решения уравнения |3 x +26|+|2 y +29|=2.

Решение. Так как х и у принимают только целые значения, то |3 x +26| и |2 y +29| будут принимать только целые неотрицательные значения, причем |2 y +29| - нечетные.

Поэтому их сумма может быть равна 2, только если .

Следовательно, Û

Ответ: (‑ 9; ‑ 14), (‑ 9; ‑ 15)

Пример 10. Решить уравнение

Решение. ОДЗ: х ¹3. Уравнение записывается в виде

На ОДЗ можно сократить и получаем откуда т. е. Получаем корни которые подходят по ОДЗ.

Ответ: 4; 2

Пример 11. Решить уравнение

Решение. ОДЗ: х ¹±1. Оно имеет решение, если т. е. при Таким образом, для получаем:

Решим отдельно полученные дробно-рациональные уравнения. Первое уравнение сводится к виду откуда

Это квадратное уравнение решений не имеет, так как

Из второго уравнения совокупности (3.13) получаем т. е.

Квадратное уравнение имеет корни: т. е. первый корень не принадлежит множеству на котором решали уравнение, следовательно, ответом является только

Ответ:

Пример 12. Решить уравнение

Решение. По определению модуля:

Решаем первую систему совокупности:

Значение не подходит по условию Следовательно, корнем является

Решаем вторую систему совокупности:

Получили ответ

Ответ:

Пример 13. Решить уравнение

Решение. Поскольку то уравнение записывается в виде ОДЗ: х ¹0.Решим методом интервалов.

Нулями выражений, стоящих под модулем, являются и Эти значения разбивают числовую ось на три промежутка.

–

| x |

| x – 2|

Раскрыв модули на каждом из полученных промежутков, с учетом их знаков, получим совокупность систем:

Решим отдельно системы:

II.

III.

Решением данного уравнения являются значения и

Ответ: ;

Пример 14. Решить уравнение

Решение. Запишем уравнение в виде

Возведем обе его части в квадрат: После упрощения имеем: т. е. Получаем – корень.

Ответ:

Пример 15. Решить уравнение

Решение. ОДЗ: т. е.

Преобразуем данное уравнение к виду

Заменяем Уравнение приобретает вид

Решаем его как дробно-рациональное и получаем:

Последнее квадратное уравнение имеет корни:

Возвращаясь к переменной х, получаем:

Второе уравнение совокупности решений не имеет, так как слева положительное выражение, а справа – отрицательное.

Первое уравнение совокупности сводится к I типу уравнений с модулем и равносильно совокупности при условии x ¹0

Приходим к совокупности т. е.

Решение имеет только второе уравнение совокупности, его корни: Оба они подходят по ОДЗ.

Ответ: 1; ‑ 4

Пример 16. Решить уравнение

Решение. ОДЗ: x > ‑3. С учетом ОДЗ данное уравнение равносильно уравнению:

Используя свойства модуля (имеем сумму двух неотрицательных величин), получаем: т. е х =3 – решение полученной системы, оно подходит по ОДЗ.

Ответ: 3

Упражнения

1. Решите уравнение:

1)	2)	3)	4)
5)	6)	7)	8)
9)	10)

2. Решите уравнение:

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)

3. Решите уравнение:

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)

4. Решите уравнение:

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)

5. Решите уравнение:

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)

6. Решите уравнение:

1)	2)
3)	4)
5)	6)
7)	8)
9)	10)

7. Найдите сумму корней уравнения:

1)	2)
3)	4)
5)	6)
7)	8)
9)	10)

8. Найдите произведение корней уравнения:

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)

9. Найдите:

1) Разность между наибольшим и наименьшим корнями уравнения	2) Среднее арифметическое корней уравнения
3) Разность между наибольшим и наименьшим корнями уравнения	4) Сумму целых корней уравнения
5) Произведение числа корней уравнения на его наибольший корень	6) Число натуральных корней уравнения
7) Количество корней уравнения	8) Меньший корень уравнения
9) Сумму рациональных корней уравнения	10) Нерациональный корень уравнения