Если с пониманием сего действа плоховато, ознакомьтесь с материалом Как вычислить определитель?
Важно! В том случае, если определитель матрицы равен НУЛЮ – обратной матрицы НЕ СУЩЕСТВУЕТ.
В рассматриваемом примере, как выяснилось, 
, а значит, всё в порядке.
2) Находим матрицу миноров 
.
Для решения нашей задачи не обязательно знать, что такое минор, однако, желательно ознакомиться со статьей Как вычислить определитель.
Матрица миноров имеет такие же размеры, как и матрица 
, то есть в данном случае 
.
Дело за малым, осталось найти четыре числа и поставить их вместо звездочек.
Возвращаемся к нашей матрице 
Сначала рассмотрим левый верхний элемент:
Как найти его минор?
А делается это так: МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент:
Оставшееся число и является минором данного элемента, которое записываем в нашу матрицу миноров:
Рассматриваем следующий элемент матрицы :
Мысленно вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит данный элемент:
То, что осталось, и есть минор данного элемента, который записываем в нашу матрицу:
Аналогично рассматриваем элементы второй строки и находим их миноры:
Готово.
– матрица миноров соответствующих элементов матрицы .
3) Находим матрицу алгебраических дополнений 
.
Это просто. В матрице миноров нужно ПОМЕНЯТЬ ЗНАКИ у двух чисел:
Именно у этих чисел, которые я обвел в кружок!
– матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .
И всего-то лишь…
4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений 
.
Что такое транспонирование матрицы, и с чем это едят, смотрите в лекции Действия с матрицами.
– транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .
|
|
Ответ.
Вспоминаем нашу формулу 
Всё найдено!
Таким образом, обратная матрица:
Ответ лучше оставить в таком виде. НЕ НУЖНО делить каждый элемент матрицы на 2, так как получатся дробные числа. Более подробно данный нюанс рассмотрен в той же статье Действия с матрицами.
Как проверить решение?
Необходимо выполнить матричное умножение 
либо 
Проверка:
Получена уже упомянутая единичная матрица – это матрица с единицами на главной диагонали и нулями в остальных местах.
Таким образом, обратная матрица найдена правильно.
Если провести действие , то в результате тоже получится единичная матрица. Это один из немногих случаев, когда умножение матриц перестановочно, более подробную информацию можно найти в статье Свойства операций над матрицами. Матричные выражения. Также заметьте, что в ходе проверки константа (дробь) выносится вперёд и обрабатывается в самом конце – после матричного умножения. Это стандартный приём.
Переходим к более распространенному на практике случаю – матрице «три на три»:
Пример:
Найти обратную матрицу для матрицы 
Алгоритм точно такой же, как и для случая «два на два».
Обратную матрицу найдем по формуле: 
, где 
– транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы 
.