Иррациональные неравенства
Неравенства называются иррациональными, если его неизвестное входит под знак корня (радикала).
Определение. Рациональное неравенство с одной переменной х – это неравенство вида:
h(x)>g(x), где h(x) и g(x) – рациональные выражения.
Равносильные преобразования неравенств
Правило 1.
Любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, не меняя при этом знак неравенства.
Правило 2.
Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и тоже положительное число, не меняя при этом знак неравенства.
Правило 3.
Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и тоже отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный.
При решении рациональных неравенств используют метод интервалов.
План применения метода интервалов
1. Приравнять к 0;
2. Разложить многочлен на простые множители;
3. Найти корни многочлена;
4. Изобразить их на числовой прямой;
5. Разбить числовую прямую на интервалы;
6. Определить знаки множителей на интервалах знакопостоянства;
7. Выбрать промежутки нужного знака;
8. Записать ответ (с помощью скобок или знаков неравенства).
Основным методом решения иррациональных неравенств является сведение его к системе неравенств или к совокупности систем неравенств. Практически все сложные иррациональные неравенства, в конечном итоге сводятся к базовым иррациональным неравенствам трех типов:
Решение неравенств 1 типа
Неравенства вида 
Если x лежит в ОДЗ: f (x) ≥ 0, то левая часть неравенства существует и неотрицательна. Поскольку для всех x, являющихся решением данного неравенства, правая часть больше левой, то g (x) > 0. Следовательно, обе части неравенства неотрицательны (для тех x, которые являются решениями неравенства, другие x нас не интересуют). Значит, возведение в квадрат не нарушает равносильности и можно записать равносильную нашему неравенству систему неравенств:
Пример 1
Решить неравенство 
Сразу перейдём к равносильной системе: 
Ответ. 
Пример 2
Решите неравенство 
Перейдём к равносильной системе:
Ответ. 
Решение неравенств 2 типа
Неравенства вида 
ОДЗ данного неравенства f (x) ≥ 0. Пусть для каких-то x из ОДЗ g (x) < 0. Тогда, очевидно, все эти x − решения, так как при этих x левая часть определена (x 
ОДЗ) и неотрицательна, в то время как правая часть g (x) < 0.
Для других x из ОДЗ g (x) ≥ 0. Для них обе части неравенства неотрицательны, и его можно возвести в квадрат: 
Значит, данное неравенство равносильно совокупности неравенств:
Заметим, что в последнюю систему не входит требование f (x) ≥ 0. Оно и не нужно, так как выполняется автоматически 
ибо полный квадрат всегда неотрицателен.
Пример 3
Решите неравенство 
ОДЗ неравенства: x ≥ –3.
1. Если 
то все эти x 
ОДЗ, для которых верно x < –1, − решения. Таким образом, 
− первая часть ответа.
2. Если 
то обе части неравенства неотрицательны, и его можно возвести в квадрат. Имеем:
Получаем, что решениями являются все 
Объединяя результаты пунктов 1 и 2, получаем:
Ответ. 
Пример 4
Решите неравенство 
ОДЗ данного неравенства: 
Будем рассматривать только эти x, другие x не могут являться решениями данного неравенства.
1. Если 
то есть 
то все такие x из ОДЗ, удовлетворяющие этому условию, являются решениями неравенства. Значит, все x ≤ –3 − решения неравенства.
2. Если 
то есть 
а с учетом ОДЗ это означает, что 
то обе части неравенства неотрицательны. Возведём обе части неравенства в квадрат:
Уравнение 
имеет корни 
и 
Значит, решением неравенства являются 
С учётом 
получается, что на данном множестве решениями являются 
Объединяя результаты пунктов 1 и 2, получаем
Запишем это решение другим способом:
Ответ.
Решение неравенств 3 типа
Неравенства вида 
ОДЗ данного неравенства: 
Обе части неравенства неотрицательны в ОДЗ, и потому можно возводить в квадрат. Получим равносильную систему
Заметим, что из неравенства 
следует, что 
то есть дополнительно это требовать и включать это неравенство в систему не нужно.
Отметим полезное следствие. Предположим, что ОДЗ неравенства уже найдено, и мы будем отбирать решения только из ОДЗ (это разумно, поскольку вне ОДЗ решений нет). Тогда исходное неравенство равносильно следующему: 
а та система, которой это неравенство равносильно, может быть представлена (для x из ОДЗ) в виде 
Следовательно, в ОДЗ
Ясно, что те же рассуждения применимы и для знака неравенства ≥. Отсюда можно сделать полезное заключение:
Знак разности 
совпадает со знаком выражения 
Отсюда же получается ещё одно полезное следствие:
в ОДЗ: 
Пример 5
Решите неравенство 
Перейдём к равносильной системе:
Решая эту систему методом интервалов, сразу получаем:
Ответ. 
Пример 6
Решите неравенство 
ОДЗ данного неравенства: 
Заметим, что в ОДЗ x ≥ 0, поэтому существует 
и значит,
Мы воспользовались здесь тем, что в ОДЗ x ≥ 0, (x – 5)(x – 6) ≥ 0 и потому существуют выписанные в последней строчке корни. Кроме того, мы вынесли за скобку 
который по вышесказанному существует. Этот корень неотрицателен и потому не влияет на знак неравенства, следовательно, на него можно сократить, не забывая, что он может ещё обратиться в нуль и те x, для которых корень обращается в нуль, являются решениями неравенства. Таким образом, в ответ необходимо включить число x = 5. При x = 6 корень 
обращается в нуль, но x = 6 не входит в ОДЗ неравенства. Воспользуемся теперь тем, что знак разности корней совпадает со знаком разности подкоренных выражений. Имеем:
Учтём теперь ОДЗ и получим:
Ответ. 
Неравенства вида 
ОДЗ данного неравенства: 
Предположим, что функции f (x) и g (x) не имеют общих корней. Рассмотрим вспомогательное неравенство
(*)
1. Если g (x) < 0, то для любого x из ОДЗ выполнено 
2. Если g (x) ≥ 0, то выражение 
может иметь любой знак, но выражение 
всегда строго положительно. Умножая обе части неравенства (*) на строго положительное число 
не меняя знака неравенства, перейдём к равносильному неравенству
Таким образом, в ОДЗ
Значит, при g (x) ≥ 0, знак разности совпадает со знаком разности 
в ОДЗ.
Получаем следующие условия равносильности.
Запоминать приведённые системы неравенств не нужно, важно понимать, как они получаются.
Пример 7
Решите неравенство 
Выполним равносильные в ОДЗ преобразования и приведём неравенство к удобному для применения результатов настоящего пункта виду.
Мы не случайно сделали последнее преобразование. Важно понимать, чему здесь конкретно равняется функция g (x) = 2 x – 8. Типичной ошибкой является считать, что g (x) = 2 x + 8.
ОДЗ данного неравенства: 
то есть 
Теперь перейдём к равносильной системе. В ОДЗ
С учётом ОДЗ сразу получаем:
Ответ. 