Дискретная случайная величина и её числовые характеристики

Случайная величина - величина, которая при каждом испытании принимает то или иное числовое значение (наперед неизвестно, какое именно), зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены. Случайные величины обозначают заглавными буквами латинского алфавита, а возможные значения случайной величины – малыми.

Дискретная случайная величина – случайная величина, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным и бесконечным.

Непрерывная случайная величина – случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины – бесконечно.

Закон распределения случайной величины – соответствие между возмож­ными значениями случайной величины и их вероятностями, т.е. каждому воз­можному значению x _i ставится в соответствие ве­роятность p _i, с которой случайная величина может принять это значение. Закон распределения случайной величины может быть задан таблично (в форме таблицы), аналитиче­ски (в виде формулы) и графически.

Пусть дискретная случайная величина X принимает значения x₁, x₂, …, x_n с вероятностями p₁, p₂, …, p_n соответственно, т.е. P(X=x₁) = p₁, P(X=x₂) = p₂, …, P(X=x_n) = p_n. При табличном задании закона распределения этой величины первая строка таблицы содержит возможные значения x₁, x₂, …, x_n, а вторая – их вероятности

В результате испытания дискретная случайная величина X принимает одно и только одно из возможных значений, поэтому события X=x₁, X=x₂, …, X=x_n образуют полную группу попарно несовместных событий, и, значит, сумма вероятностей этих событий равна единице, т.е. p₁ + p₂ +… + p_n =1.

ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

1. Математическое ожидание дискретной случайной величины X (M(X)) – сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности, т.е. M(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + … + x_np_n

2. Дисперсия случайной величины X (D(X)) – математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, т.е. D(X) =M[X – M(X)]².

3. Среднее квадратичное отклонение случайной величины X (σ(X)) – квадратный корень из дисперсии, т.е. σ(X) = . Эта характеристика имеет ту же размерность, что и сама случайная величина.

Пример 1. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение дискретной случайной величины, заданной законом распределения

Решение. Пользуясь определением математического ожидания дискретной случайной величины, будем иметь M(X) = x1· p1 + x2· p2 +x3· p3 = -1·0,6 + 1·0,3+ 2·0,1 = - 0,1.

Находим дисперсию.

M(X²) = x₁²· p₁ + x₂²· p₂ +x₃²· p₃ = 1·0,6 + 1·0,3+ 4·0,1 = 1,3.

Тогда D(X) = M(X²) – [M(X)]² = 1,3 – (-0,1)² = 1,29

σ (X) = = ≈ 1,14

Многоугольником распределения случайной дискретной величины величины называют ломаную, звенья которой соединяют соседние точки .

Пример 2. Построить многоугольник распределения случайной дискретной величины

Решение: чертим прямоугольную систему координат, в которой по оси абсцисс отсчитываются – значения случайной величины, а по оси ординат – их вероятности. Отмечаем на чертеже точки , в данном случае их пять, и соединяем «соседей» отрезками:

При выполнении чертежа от руки по возможности придерживайтесь следующего масштаба:

горизонтальная ось: 1 ед. = 2 тетрадные клетки (1 см);

вертикальная ось: 0,1 = 2 тетрадные клетки.

Помимо того, что дискретную случайную величину можно изобразить с помощью многоугольника – её ведь можно ещё и ЗАДАТЬ этим способом.

Задание:

Задача. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

Найти числовые характеристики случайной дискретной величины.