Раздел I. Теория пределов

ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ

ЧАСТЬ 2

Ставрополь

Печатается по решению редакционно-издательского совета Ставропольского государственного университета

ББК 22.1

УДК 514.2, 512.64

С 50

 

Смирнов А.А., Бондарь В.В., Солчатов М.Э.

С 50 Математика. Часть 2. Теория пределов, дифференциальное исчисление, интегральное исчисление. Лекции по математике. Часть 2: Учебное пособие – Ставрополь: Изд-во СГУ, 2004. – 176 с.

 

 

Учебное пособие представляет собой курс лекций, содержащий три раздела: «Теория пределов», «Дифференциальное исчисление», «Интегральное исчисление».

Предназначено для студентов биолого-химического факультета, обучающихся специальностям «биология», «природопользование», «география», «химия» и др.

 

Рецензенты:

кандидат технических наук, доцент, зав кафедрой высшей математики ФРВИ РВ С.В. Сподынюк,

доктор физ.-мат. наук, профессор А.Я. Симоновский

 

Рецензенты:

кандидат физ.-мат. наук, доцент А.Н. Макоха

кандидат тех. наук, преподаватель ФРВИ РВ М.Э. Солчатов

© Смирнов А.А., Бондарь В.В., Солчатов М.Э., 2004

© Издательство Ставропольского государственного университета, 2004

 

Математика формализует окружающий мир, превращая наши догадки в открытия, а открытия в повседневную жизнь

Предисловие

Пособие составлено в соответствии с авторской программой по математике и Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования для студентов, обучающихся специальности 011600 – Биология и состоит из трех разделов: «Теория пределов», «Дифференциальное исчисление» и «Интегральное исчисление», являющихся составной частью курса высшей математики.

Необходимость разработки данного пособия обусловлена тем, что литература, предназначенная для изучения математики при обучении биологическим специальностям и рекомендованная министерством образования, имеется в недостаточном количестве. Кроме того, для полного изучения математических разделов в соответствии со стандартом студенту необходимо одновременно пользоваться несколькими учебниками.

В пособие вошли дополнительные разделы высшей математики в применении к прикладным задачам, что позволяет использовать его при самостоятельной контролируемой работе.

В нем содержатся основные понятия, определения, теоремы и наиболее важные задачи, возникающие при решении прикладных вопросов. План каждой лекции позволит студенту представить структуру всего курса высшей математики в биологии и место каждого вопроса в ней. Предлагаемая литература дает возможность более широко познакомиться с различными подходами в изучении математических понятий, определений, теорем и глубже их понять.

Кроме того, излагаются оригинальные взгляды на некоторые вопросы математики, обобщаются многие теоретически сложные вопросы, что позволяет интегрировать аппарат высшей математики в прикладные вопросы различных специальностей. Приведены примеры из многих прикладных областей. Оригинальность некоторых рисунков упрощает восприятие сложных вопросов. Ряд теорем и формул приведены с доказательствами, так как использованные в них приемы можно применять при решении практических задач.

Знать – это установить при помощи доказательства. А. Аристотель

Аристотель

По мере накопления знаний о мире задача их систематизации становилась все более насущной. Эта задача была выполнена одним из величайших мыслителей древности — Аристотелем (384—322 гг. до н. э.).

Аристотель родился в Греции, в г. Стагире, расположенном рядом с Македонией. Отец Аристотеля был врачом македонского царя Аминты II, сын которого Филипп, став царем Македонии, в 343 г. до н. э. пригласил Аристотеля в наставники к своему сыну Александру Македонскому.

В 366 г. до н. э. молодой Аристотель приехал в Афины в академию Платона и пробыл там вместе с Платоном около двадцати лет. Аристотель был любимым учеником Платона, который называл его «умом своей школы».

С 343 по 339 г. до н. э. Аристотель жил в столице Македонии в качестве наставника Александра Македонского. Будущий полководец высоко ценил своего учителя, сказав о нем позднее: «Я чту Аристотеля наравне со своим отцом, так как если я отцу обязан жизнью, то Аристотелю обязан всем, что дает ей цену».

В 339 г. до н. э. Аристотель возвратился в Афины, где организовал свой Лицей и успешно руководил им 13 лет.

После смерти Александра Македонского Аристотель был изгнан из Афин на о. Эвбею, где умер в 322 г. до н. э. (Предание о смерти Аристотеля гласит о том, что он бросился с утеса в море, отчаявшись выяснить причину приливов и отливов.)

Аристотелем было написано много работ. Наибольшей известностью пользуются следующие его сочинения: «Метафизика» (философия — 14 книг), «Физика» (8 книг), «Поэтика», «О душе», «Этика»,

«Политика», «Органон» (логика), «О небе», «История животных». Пожалуй, ни один ученый древности не оказал на развитие науки и мышления такого глубокого и длительного влияния, как Аристотель. В своей «Физике» он поднимает и глубоко рассматривает многие вопросы: о материи и движении, о пространстве и времени, о существовании пустоты, о конечном и бесконечном, о действующих причинах. Если еще учесть метод изложения, о чем будет сказано ниже, то станет понятным, почему «Физика» Аристотеля является скорее трактатом по философии, чем по естествознанию.

Все механические движения Аристотель делит на три вида: круговые, естественные и насильственные. Круговое движение — это самое совершенное движение, присущее только небесному миру. Это движение вечно и неизменно, и причиной его является перводвигатель — бог, живущий за сферой неподвижных звезд, где кончается материальная Вселенная.

Земные же движения, где все несовершенно и имеет начало и конец, бывают естественные и насильственные. Естественное движение — это движение тяжелого тела вниз к центру Мира, к центру Земли, и легкого вверх. Это движение тел происходит само собой, в результате стремления тела занять свое естественное место. Оно не нуждается в силах. Все остальные движения на Земле насильственные и могут происходить только под действием внешних сил (в том числе равномерное и прямолинейное движение). Свой основной принцип динамики Аристотель формулирует так: «Все, что находится в движении, движется благодаря воздействию другого».

Аристотель считал, что скорость тела изменяется прямо пропорционально действующей силе. Ошибочность этих положений механики Аристотеля впервые показал Галилей, открыв закон инерции. Основной закон динамики верно впервые записал И. Ньютон в 1687 г. .

Движение тел происходит в пространстве, свойства которого Аристотель связывает со свойствами самих тел. Он отрицает существование пустого пространства, аргументируя это различными доводами. Науке понадобилось длительное время, чтобы разобраться в этой аргументации, что было сделано Галилеем и Эйнштейном.

По Аристотелю, нет и времени, существующего независимо от происходящих событий, от каких-либо изменений. «Если бы «теперь» не было каждый раз другим, а тождественным и единым, времени не было бы». Пространство и время — непрерывные величины: пространство по протяженности — конечная граница одной его части является начальной границей другой; время по последовательности — «теперь» соприкасается с прошлым и будущим.

Аристотель признавал объективное существование материального мира и его познаваемость. Являясь учеником Платона, он порвал с его идеалистическими взглядами на мир как отображениями идей, постигаемых душой, и на познание, которое должно отвернуться от реального опыта. Знаменитые слова Аристотеля: «Платон мне друг, но истина дороже» — означали отход его от воззрений своего учителя.

Но вместе с тем Аристотель верил в бога, противопоставлял земное и небесное, в центре ограниченной Вселенной он поместил неподвижную Землю, как тело, обладающее наибольшей тяжестью. За эти и подобные им моменты в учении Аристотеля ухватилась церковь, превратив их в догмы. А тех, кто выступал против Аристотеля, часто обвиняли в выступлении против религии и церкви, и церковь жестоко расправлялась с еретиками.

Аристотеля называют крестным отцом физики: ведь название его книги «Физика» стало названием всей физической науки.

РАЗДЕЛ I. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ