Теорема единственности предела функции в точке
3. Односторонние пределы, необходимые и достаточные условия существования предела функции в точке
4. Свойства функции, имеющей предел в точке
5. Предел функции на бесконечности
Введение
Дальнейшее изучение интегро-дифференциального счисления невозможно без понимания предела. Это понятие будет встречаться на протяжении не только всего курса высшей математики, но и на других смежных дисциплинах. Понимание материала как этой, так и последующих лекций лежит в большей части в интуитивной области, однако очень важно внимательно изучить первые два определения и понять их геометрический смысл, они являются базовыми в дальнейшем.
Определение предела функции в точке
Определение предела
Определение 1.
Число b называется пределом функции 
в точке 
, если для любого сколь угодно малого положительного 
найдется другое положительное число 
, такое, что для всех x, быть может, не равных a и удовлетворяющих неравенству 
, выполняется условие 
. Обозначается
. (1)
Или то же определение с использованием сокращений 
.
Модуль означает, что 
, или 
, следовательно, 
. Если из 
удалить точку a, то получим проколотую дельта-окрестность (рис. 1).
Определение 2.
.
Из определения предела следует, что 
, соответственно значения функции лежат в интервале 
. Поведение функции в точке на величину предела не влияет. Функция в этой точке может быть даже не определена.
ПРИМЕР 1.
Функция 
в точке 
. Но 
.
Важно!
На величину предела не влияет поведение функции в конечном числе точек дельта окрестности. Эти точки можно исключить и взять другую, меньшую дельта-окрестность.
ПРИМЕР 2.
Доказать, что 
. По определению 
можно найти 
, удовлетворяющих неравенству 
, следовало бы 
. Преобразуем неравенство в 
или 
. Тогда для любых 
можно подобрать 
, то есть справедливо.
Теорема единственности предела функции в точке
Теорема 1.
Если функция имеет предел в точке, то он единственный.
Доказательство (от противного).
Предположим, что 
и 
. Тогда, согласно определению предела, 
и 
. Примем за 
и 
= 
. Тогда 
справедливы оба предположения. Возьмем 
и оценим 
, т. е. 
– противоречие, следовательно, предположение не верно и предел единственный.
условия существования предела функции в точке
Обозначим 
– левая полуокрестность, т.е 
.
Обозначим 
– правая полуокрестность, т.е 
.
Определение 3.
Число b называется левосторонним пределом функции в точке , если 
. Обозначается 
.
Определение 4.
Число b называется правосторонним пределом функции в точке , если 
. Обозначается 
. Левосторонние и правосторонние пределы называются односторонними.
Теорема 2.
Для того чтобы функция имела предел, необходимо и достаточно, чтобы существовали левосторонний и правосторонний пределы и были равны между собой.
Доказательство.
Необходимость.
Дано: 
. Доказать, что 
. По определению 2 следует, что 
следует 
(2). Возьмем 
, согласно (2) 
. Аналогично 
, согласно (2) 
.
Достаточность.
Дано: . Необходимо доказать, что . По условию и определению 3 
. а по условию и определению 4 
. Примем за 
. Тогда 
(рис. 2).
4. Свойства функции, имеющей предел в точке
Теорема 3.
Если функция имеет положительный предел в точке, то найдется окрестность точки, в которой функция положительна.
Доказательство.
Из определения следует, что , удовлетворяющих неравенству . Следовательно, 
или 
. Возьмем 
- любое положительное число. Тогда 
или 
. Следовательно, все значения в -окрестности точки a положительны (
). То же для отрицательного предела.
Определение 5.
Функция - ограниченная на множестве D если существует M>0, такое что 
для любых 
.
ПРИМЕР 3.
- ограничена на R, 
, 
на области определения не ограничена, а на отрезке 
- ограничена 
Теорема 4.
Если функция имеет конечный предел в точке, то она ограничена в некоторой окрестности этой точки.
Доказательство.
Пусть 
, тогда по определению . Очевидно, что 
. Следовательно, 
или 
. Обозначим 
, тогда 
, т. е. функция ограничена.
Теорема 5.
имеет конечный предел в точке, то 
ограничена в некоторой окрестности этой точки.
Доказательство аналогично теореме 4.
5. Предел функции на бесконечности
Определение 6.
N–окрестностью бесконечно удаленной точки называется множество всех точек рас, стояние до которых большее N или 
, или 
. Обозначается 
Определение 7.
Число b называется пределом функции на бесконечности, если для 
. Обозначается
. (3)
Замечание!
Так как принципиального различия между определениями 7 и 1, 2 нет, то все рассмотренные теоремы можно отнести к функциям, имеющим предел на бесконечности.
Заключение
В заключении важно отметить, что предел – это абстрактное понятие, записанное строгим математическим языком, т. е. предел – это то значение, к которому стремится функция, причем она его может никогда не достичь (функция в этой точке может не существовать). Отметим, что предел функции в точке можно понимать как бесконечность вселенной и времени.
Отметим, что:
- предел – это абстракция, к которой что-то стремиться;
- функция ограничена в окрестностях, где она имеет предел;
- односторонние пределы могут быть не равными, т.е. может быть разрыв;
- доказательство всех теорем о пределах базируется на фундаментальном определении самого предела;
- функция может быть ограничена на бесконечности;
- всегда можно взять дельта-окрестность меньше той, которая дана.
Литература
1. Баврин И.И. Высшая математика. – М.: Просвещение, 1980.
2. Фихтенгольц Г.М. «Основы математического анализа» Часть 1 – М.: Лань, 2002, - 448 с.
3. Натансон И.П. «Теория функций вещественной переменной». – СПб.: Лань, 1999, - 560 с.