Точки разрыва функции, их классификация

Определение 6.

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции, то есть точками, в которых не выполняется хотя бы одно из условий (1).

1) Функция определена в окрестности точки , но не определена в самой точке (рис. 2).

2) Функция определена в точке и ее окрестности, но не существует предела при (рис. 3).

3) Функция определена в точке

и ее окрестности, существует предел

, но этот предел не равен значению функции в точке

(рис. 4).

Определение 7.

Точка разрыва называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке существуют односторонние конечные пределы , и при этом, если , то точка называется точкой устранимого разрыва, а если , точка называется точкой конечного разрыва и величина называется скачком функции в точке разрыва первого рада.

Определение 8.

Точка разрыва называется точкой разрыва второго рода функции , если в этой точке, по крайней мере, не существует или равен бесконечности один из односторонних пределов.

Соответственно на рис. 2 точка – точка разрыва второго рода, т. к. и . На рис. 3. точка – точка неустранимого разрыва первого рода, т. к. . Скачок функции в точке соответственно равен . На рис. 4. точка - точка устранимого разрыва первого рода, т. к. . Если установить, что при , то функция станет непрерывной.

3. Основные теоремы о непрерывных функциях

Теоремы о непрерывности функций следуют из соответствующих теорем о пределах.

Теорема 1.

Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная (для частного, за исключением тех значений аргумента, в которых делитель равен нулю).

Доказательство.

Пусть функции и непрерывны на некотором множестве X и – любое значение этого множества. Докажем непрерывность произведения . Применяя теорему о пределе произведения, получим

т. е. . Следовательно, непрерывна в точке . Аналогично доказывается для других операций.

Теорема 2.

Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , то сложная функция , состоящая из непрерывных функций, непрерывна в точке .

Доказательство.

В силу непрерывности функции , , т. е. при имеем . Поэтому в силу непрерывности функции имеем:

Следовательно, функция непрерывна в точке .

Теорема 3.

Если функция непрерывна и строго монотонна на оси , то обратная функция также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке оси .

Важно!

Все элементарные функции непрерывны в области определения.

ПРИМЕР 3.

непрерывна, тогда .

4. Свойства функций непрерывных на отрезке

Непрерывные на отрезке функции имеют ряд важных свойств.

Теорема 4 (Вейерштрасса).

Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.

Изображенная на рис. 5 функция непрерывна на отрезке , принимает свое наибольшее значение M в точке а, а наименьшее в точке . Для любого имеет место неравенство .

Теорема 5.

Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке (вытекает из теоремы 4).

Теорема 6 (Больцано-Коши).

Если функция непрерывна на отрезке и принимает на его концах неравные значения и , то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между А и В.

Геометрически теорема очевидна (рис. 6). Для любого числа С, заключенного между А и В, внутри этого отрезка найдется такая точка с, что . Прямая пересечет график функции по крайней мере в одной точке, иначе функция должна была бы иметь разрыв.

Теорема 7.

Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка найдется хотя бы одна точка c, в которой данная функция обращается в нуль – .

Геометрический смысл теоремы (рис. 7) означает, что если график непрерывной функции переходит с одной стороны оси на другую, то он пересекает ось .

Следствие!

Теорема 7 лежит в основе так называемого метода половинного деления, который используется для нахождения корня уравнения .

ПРИМЕР 4.

Определить с точностью корень для на отрезке , применив метод половинного деления.

Решение. Обозначим левую часть уравнения

Шаг 1. = - 2.281718 и =16.085537.

Шаг 2. Вычисляем .

Шаг 3. Вычисляем =3.096163. Если , то x – корень уравнения. В нашем случае это не так.

Шаг 4. При , если , то полагаем , , иначе , . В нашем случае , поэтому , =3.096163.

Шаг 5. Если , то задача решена. В качестве искомого корня (с заданной точностью ) принимают . Иначе процесс деления отрезка пополам продолжаем, возвращаясь к шагу 2. В нашем случае , следовательно, возвращаемся к шагу 2, , а новое значение =–0.018311. Поскольку , то , а -0.018311. Определяем . И так далее. В конечном счете получим x = 0.29589.