Теорема 2.
Если 
дифференцируема и имеет обратную функцию 
, то обратная функция также дифференцируема, причем
или 
. (2)
Производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.
Доказательство.
1. Аргументу 
дадим приращение 
.
2. Найдем соответствующее приращение функции 
.
3. Запишем отношение 
.
4. Найдем предел 
. Из необходимого условия дифференцируемости следует, что бесконечно малому приращению аргумента 
соответствует бесконечно малое приращение функции 
. Тогда последний предел перепишем в виде 
. Следовательно, существует предел левой части равенства, т. е. существует производная обратной функции.
ПРИМЕР 1.
Дана 
. Тогда 
и 
.
3.1. Дифференцирование суммы
Теорема 3.
Если функции 
и 
дифференцируемы в некоторой точке, то функция 
дифференцируема в той же точке и производная суммы равна сумме производных
. (3)
Доказательство.
1. Аргументу 
дадим приращение 
.
2. Найдем соответствующее приращение функций 
, 
и 
.
3. Запишем отношение 
.
4. Найдем предел 
. Два последних предела существуют по условию. Следовательно, выражение (3) справедливо.
Следствие!
Методом математической индукции можно доказать, что теорема верна для любого конечного числа слагаемых 
.
3.2. Дифференцирование произведения
Теорема 4.
и дифференцируемы в некоторой точке, то функция 
дифференцируема в той же точке и производная произведения равна сумме произведений первой функции на вторую и производной второй функции на первую
. (4)
Доказательство.
1. Аргументу дадим приращение .
2. Найдем соответствующее приращение функций , и 
.
3. Запишем отношение 
.
4. Найдем 
. Два последних предела существуют по условию. Следовательно, выражение (4) справедливо.
Следствие!
Теорема справедлива для любого числа сомножителей. Например, 
.
3.3. Дифференцирование частного
Теорема 5.
Если функции и дифференцируемы в некоторой точке, то функция 
дифференцируема в той же точке, причем
. (5)
Доказательство.
1. Аргументу дадим приращение .
2. Найдем соответствующее приращение функций , и 
.
3. Запишем отношение 
.
4. Найдем предел 
. Два предела в числителе существуют по условию, а предел 
в силу дифференцируемости 
. Следовательно, выражение (5) справедливо.
4. Логарифмическое дифференцирование
Определение 1.
ПРИМЕР 2.
Найти производную 
. Для упрощения применим логарифмическое дифференцирование. Прологарифмируем 
. Отметим, что на следующей лекции будет показано 
. Продифференцируем обе части уравнения 
, откуда получим 
.
Данный метод используется для степенно-показательных функций вида 
, где и дифференцируемые функции.
1. Логарифмируем обе части уравнения , т. е. 
.
2. Дифференцируем обе части уравнения. Следовательно, 
, откуда 
.
3. С учетом выразим
. (6)
5. Производные функций, заданных неявно и параметрически
5.1. Производная функции, заданной неявно
Дифференцирование неявной функции схоже с логарифмическим дифференцированием, так как логарифмирование дает неявную функцию.
Пусть функция y связана с аргументом x неявно, т. е.
. (7)
Продифференцируем (7) по переменной x. С учетом того, что y – функция от x, будем применять указанные выше правила. Из полученного выражения 
выразим 
.
Пусть задана функция неявно 
, где 
и 
– дифференцируемые функции. Тогда с учетом того, что y – функция от x, т.е. – сложная функция и 
, получим 
. Откуда 
.
ПРИМЕР 3.
Дана функция 
. Определим . С учетом того, что y – функция от x, а 
, получим 
. Откуда 
.
Пусть функция y связана с аргументом x параметрически, т. е.
, (8)
и 
– дифференцируемые функции. По условию функция имеет обратную функцию 
, которая также дифференцируема 
. Подставим обратную функцию во второе уравнение системы (8) и получим 
. Тогда производная сложной функции 
, или
. (9)
Производная функции, заданной параметрически, равна отношению производной этой функции по параметру к производной аргумента по этому параметру.
ПРИМЕР 4.
Траектория движения точки задана параметрически 
, где 
– начальная скорость движения, g – ускорение, 
– начальный угол движения относительно оси 
(рис. 1). Определим текущее направление движения, то есть угол наклона касательной 
. Тогда 
.
6. Производные высших порядков
Пусть дифференцируема, следовательно, существует 
. В свою очередь функция 
может быть также дифференцируема, причем 
.
Определение 2.
.
Важно!
Физический смысл второй производной: 
есть скорость изменения скорости, или ускорение.
Определение 3.
Производная от производной второго порядка называется производной второго порядка или третьей производной 
.
Определение 4.
Производная от производной 
порядка называется производной n-го порядка, или n-ой производной 
.
Все производные более второго порядка называются производными высших порядков.
Заключение
В лекции приведены некоторые примеры применения правил дифференцирования функций, производные которых будут изучаться в следующей лекции.
Отметим что:
- производная сложной функции равна произведению производной функции по промежуточной переменной на производную промежуточной переменной по независимой переменной;
- производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции;
- производная произведения равна сумме произведений первой функции на вторую и производной второй функции на первую;
- логарифмическое дифференцирование применяется для упрощения расчета и для нахождения производных степенно-показательных функций;
- производная параметрически заданной функции равна отношению производных функции и переменной по параметру.
Литература
1. Баврин И.И. Высшая математика. – М.: Просвещение, 1980. – 384 с.
2. Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики. – М.: Астрель, 2001. - 656 с.
Лекция 8. Производные элементарных функций
Цель лекции: изучить основные производные элементарных функций, научиться применять их при решении задач с использованием правил дифференцирования.
План лекции
1. Дифференцирование постоянной величины и независимой переменной
2. Производная степенной функции
3. Производная показательной функции
4. Производная логарифмической функции
5. Производные тригонометрических функций
6. Производные обратных тригонометрических функций
7. Производные гиперболических функций
Введение
На предыдущей лекции изучались правила дифференцирования функций. Для использования этих правил необходимо знать производные элементарных функций. Ранее при рассмотрении некоторых примеров уже применялись производные некоторых функций. Используя правила нахождения производных, можно получить основные производные элементарных функций. Их необходимо знать и уметь применять при решении прикладных задач. Указанные функции составляют таблицу производных.