Задача 5.5. Методы решения нелинейных уравнений

Постановка задачи 5.5. Разработать алгоритм и программу для решения нелинейного уравнения с параметрами методом половинного деления. С помощью программы вычислить все корни уравнений в соответствии с указанным вариантом и заданной точностью . Параметр a задать самостоятельно методом перебора. Определить для каких a уравнение имеет 1,2,3,4,5 действительных корней.

Таблица.5.5.1

Варианты уравнений

номер варианта	Уравнение

Окончание таблицы.5.5.1

Для отчета по заданию необходимо представить: 1) постановку задачи; 2) алгоритм; 3) программу; 4) результаты решения, включающие таблицы решения уравнения F(x,a)=0 в зависимости от параметра a.

параметр a	корни уравнения F(x,a)=0	число корней уравнения

Эта таблица должна иллюстрировать количество корней уравнения для F(x,а)=0 (ограничиться 5-тью корнями при заданном). Построить график функции F(x,a) от x для параметра a соответствующего наибольшему количеству корней найденных в задании. Если заданное (5) число корней не удалось найти, то следует объяснить “почему”.

Задача 5.6. Аппроксимация табулированных функций по методу наименьших квадратов

Постановка задачи 5.6. Разработать алгоритм и программу для выбора аппроксимирующего многочлена вида для табулированной функции y=f(x). Исходные данные для построения многочлена представлены в таблицах. 5.5.2 и 5.5.3(варианты заданий).

Таблица 5.5.2

Значения переменных для построения многочлена y=f(x)

n
	0,1	2,57	0,15	2,98	3,19	6,54	7,26
	0,3	3,87	-0,01	3,45	1,59	6,63	7,95
	0,5	5,67	0,46	3,84	0,4	6,83	8,77
	0,7	8,39	1,71	3,87	0,22	7,34	9,72
	0,9	12,9	3,94	3,24	1,95	8,44	10,78
	1,1	20,47	7,4	1,73	6,84	10,48	12,45
	1,3	32,84	12,41	-0,67	16,58	13,71	14,74
	1,5	52,17	19,47	-3,78	33,4	18,7	18,18
	1,7	81,1	29,21	-7,07	60,08	25,87	23,36
	1,9	122,68	42,49	-9,62	100,1	35,76	30,99
	2,1	180,44	60,43	-10,04	157,67	48,93	41,97
	2,3	268,38	84,42	-6,39	237,83	65,97	57,38
	2,5	360,93	116,18	3,89	346,5	87,52	78,45
	2,7	493,01	157,8	24,08	490,6	114,23	106,65
	2,9		211,78	58,21	678,09	146,8	143,64
	3,1	867,76	281,04	111,19	918,06	185,93	191,28
	3,3	1122,64		188,86	1220,08	232,35	251,71

Окончание таблицы 5.5.2

Таблица 5.5.3

Варианты заданий

номер	Вид функции	степень многочлена
		3,5,7
		2,4,6
		2,3,4
		3,4,7
		3,4,6
		2,3,5
		2,7,8
		3,5,6
		3,7,8
		2,5,6
		3,4,5
		3,4,7
		3,6,7
		2,3,6
		2,4,5
		3,4,6
		3,5,7
		2,4,6
		2,3,4
		3,4,7
		3,5,7
		2,4,6

Окончание табл. 5.5.3

		2,3,4
		3,4,7
		2,3,4
		3,4,7

При построении многочлена для функции необходимо данные линеаризовать, прологарифмировав данные столбца. Вся дальнейшая методика построения многочлена аналогична вариантам 1-20.

При разработке алгоритма и программы можно пользоваться программой для решения системы линейных уравнений (раздел 4.1.). При этом каждый студент решает свою систему линейных уравнений, которую необходимо составить на основе данных табл. 5.5. и 5.6.. Например, для расчета коэффициентов полинома 6 степени необходимо решить систему уравнений вида:

где , , , , , , , , , , , , .

Результаты решения задачи должны включать найденные коэффициенты полиномов и построение графика вместе с исходными данными. Для 3-х различных полиномов (степень полинома, табл. 6.6.) рассчитать среднеквадратичное отклонение

, где -табулированное значение, y(x)-аппроксимированный многочлен, по которому нужно оценить близость полинома к исходным данным (табл.5.6.) Сделать выводы об лучшей аппроксимации.

Таким образом, студент, выполняющий 4 вариант должен построить три полинома вида:

и вычислить среднеквадратическое отклонение для каждого полинома.