В ФИЗИЧЕСКОЙ ЛАБОРАТОРИИ

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

 

Введение

Работа в физической лаборатории требует вдумчивого, упорного и ответственного отношения. Она связана не только с умением правильного обращения с измерительными приборами, но и с правильной и осознанной обработкой результатов измерений. Настоящее учебное пособие курс посвящено вопросам обработки результатов измерений при выполнении работ в лабораториях физического практикума. Он ориентирован на студентов, профессиональное образовательные программы которых предусматривают выполнение лабораторных работ в рамках изучения физики. Учебное пособие может быть полезным и учителям при подготовке физического практикума в школе.

Кроме обработки результатов измерений студенты должны научиться правильно записывать эти результаты, заполнять таблицы, грамотно рисовать графики и оформлять отчеты по лабораторным работам. Перечисленные вопросы также рассматриваются в данном пособии.

В конце пособия приведен список литературы, которая использовалась при его написании. Изучение её можно рекомендовать тем, кто желает углубить знания по рассматриваемым здесь вопросам.

 

§1. Измерения физических величин

1.1. Понятия об измерениях физической величины

Физика – наука экспериментальная: её законы базируются на экспериментальных фактах, установленных или подтвержденных опытным путем. Поэтому работа в физических лабораториях является необходимой и важной частью изучения законов физики. Одной из целей эксперимента является поиск таких параметров физических явлений, которые можно измерить. Свойства физических объектов, которые можно измерить, называют физическими величинами.

Под измерением понимают нахождение значения физической величины опытным путем с помощью специальных технических средств. При этом значение физической величины G сравнивают с единицей измерения [ G ]. Число, которое получается при измерениях, называют численным значением { G } физической величины:

(1.1)

Таким образом, значение любой физической величины равно произведению численного значения на единицу измерения.

Различают прямые и косвенные измерения. Прямым измерением называют измерение, при котором искомое значение физической величины находят непосредственно из опытных данных. Например: измерение массы на циферблатных или равноплечных весах, температуры термометром, длины с помощью линейки. Косвенным измерением называют измерение, при котором искомое значение физической величины находят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, подвергаемыми прямым измерениям. Например: нахождение плотности однородного тела по его массе и объёму (), нахождение удельного электрического сопротивления проводника по его сопротивлению, длине и площади поперечного сечения ().

Измерения, при которых число опытов равно числу измеряемых величин, называют однократными. Если число опытов превышает число измеряемых величин, то такие измерения называют многократными.

Многие измерительные приборы снабжены измерительными шкалами. Введем ряд понятий, которые их характеризуют:

- отметкой шкалы называют знак, соответствующий некоторому значению измеряемой физической величины;

- делением шкалы называют промежуток между двумя соседними отметками шкалы;

- ценой деления шкалы называют разность значений физической величины, соответствующих двум соседним отметкам шкалы.

При измерении физических величин используют различные меры. Мерой называют средства измерений, предназначенные для воспроизведений физической величины заданного размера. Например: гиря – мера массы; измерительный резистор – мера электрического сопротивления; температурная лампа – мера яркостной температуры; кварцевый генератор – мера частоты электрических колебаний. Номинальным значением меры называют значение физической величины, указанное на мере или приписанное ей.

1.2. Системы единиц физических величин

В принципе, единицы измерения всех физических величин можно установить произвольно и независимо друг от друга. Но это очень неудобно на практике. Поэтому, независимо устанавливается несколько единиц физических величин. Эти величины и их единицы называют основными. Остальные единицы устанавливают через основные посредством физических законов и определений. Такие единицы называют производными.

Совокупность основных и производных единиц, относящихся к некоторой системе физических величин и построенной в соответствии с принятыми принципами, образуют систему единиц.

Принципы установления произвольных величин:

1) Выбрать величины, единицы которых принять за основные.

2) Установить размер (эталон) этих единиц.

3) Выбрать определяющие уравнения, связывающие основные и производные единицы и приравнять их единице коэффициентом пропорциональности.

В физике имеется 7 основных единиц измерения: для длины, массы, времени, температуры, количества вещества, силы тока, силы света.

Для основных единиц СИ приняты следующие обозначения их размерности (размерностью физической величины называется выражение, характеризующее связь этой физической величины с основными величинами данной системы единиц) и единицы измерения: длина – L (1 метр), время – T (1 секунда), масса – M (1 килограмм), температура – Θ (1 кельвин), количество вещества – N (1 моль), сила тока – I (1 ампер), сила света – J (1 кандела).

К эталонам основных единиц предъявляются следующие требования:

1) Сохранение постоянства размера.

2) Воспроизводимость.

3) Возможность восстановления в случае утери.

4) Возможность сравнения эталонов в различных местах.

Международная система единиц (СИ – система интернациональная) принята на ХI Генеральной конференции по мерам и весам в 1960г. В СССР в качестве обязательной СИ введена в 1982г. (ГОСТ 8.417-81). Стандарт распространяется на все области науки и техники, но в научных исследованиях временно могут допускаться другие системы единиц (СГС, Гауссова, естественные системы).

§2. Погрешности измерений и их классификация

Истинным значением физической величины называют такое её значение, которое идеальным образом отражало бы в качественном или количественном отношении существующее свойство объекта. При измерении любой физической величины её истинное значение определить невозможно: повторные измерения одной и той же физической величины дают результаты, отличающиеся друг от друга даже тогда, когда они проводились одним и тем же лицом, одним и тем же способом, посредством одних и тех же приборов. Причина этого заключается как в ограниченной точности приборов, так и во влиянии на измерение многих факторов, учесть которые невозможно. Поэтому любые измерения всегда производятся с погрешностями (наряду с термином «погрешность» используется также слово «ошибка» в значении именно погрешность, а не какое-то ошибочное действие). Погрешностью измерения называют отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины. Погрешность измерения, выраженная в единицах измеряемой величины, называется абсолютной погрешностью измерения. Абсолютная погрешность измерения в принципе определяется формулой:

, (2.1)

где x – результат измерения (оценка измеряемой величины в виде некоторого числа принятых для неё единиц, полученная путем измерения), X – истинное значение физической величины.

Качество измерения определяет относительная погрешность – отношение абсолютной погрешности измерения к модулю истинного значения измеряемой величины:

. (2.2)

Относительная погрешность может быть выражена в процентах, при этом она определяется по формуле

. (2.3)

Качество измерений, отражающее близость результатов к истинному значению измеряемой величины, определяется также точностью измерений. Высокая точность измерения соответствует малым погрешностям. Количественно точность может быть выражена величиной, обратной относительной погрешности, определяемой по формуле (2.2).

Поскольку истинное значение остается неизвестным, на практике можно найти лишь приближенную оценку погрешностей измерения.

В зависимости от источников погрешностей различают следующие составляющие погрешностей измерений:

а. Методическая погрешность Δ_М, которая возникает вследствие несовершенства метода измерений, который обусловлен отличием реальной процедуры измерения от выбранной идеализированной модели измерения.

б. Погрешность прибора Δ_П, которая обусловлена тем, что показание любого, даже самого точного прибора всегда отличаются от истинного значения измеряемой величины. Погрешность прибора может содержать случайную и систематическую составляющие (см. далее в данном параграфе).

в. Погрешность округления Δ_О, возникающая при считывании со шкалы прибора результата измерения, который всегда содержит конечное число значащих цифр, т.е. всегда имеет погрешность округления. Значащими цифрами числа называют все его цифры, начиная с первой, отличной от нуля слева. Например: число 0,00707 содержит три значащие цифры; число 2,500 – четыре значащие цифры.

г. Погрешность вычисления Δ_В, которая появляется в процессе математической обработки результатов измерений, когда вычисления ведутся с конечным числом значащих цифр и при этом возникают погрешности, связанные с такими вычислениями.

д. Промахи – погрешности, существенно превышающие ожидаемые значения погрешностей при данных условиях эксперимента. Промахи могут быть вызваны невнимательностью экспериментатора, неправильно сделавшего отсчет или неверно записавшего его, неисправностью средств измерения, резким сотрясением установки, наводками при коротком замыкании цепи соседней установки и т.п. Промахи должны быть исключены из результатов измерений. Такое исключение осуществляется по специальной методике, которая будет изложена ниже (см. раздел 3.5).

По характеру проявления различают случайные и систематические погрешности. Систематической называют составляющую погрешности измерения, которая остается постоянной или закономерно изменяется при повторных измерениях одной и той же величины. Например: погрешность от несоответствия действительного значения меры, с помощью которой выполняют измерение, ее номинальному значению; погрешность, возникающая при измерении объема жидкости без учета теплового расширения в случае изменения температуры; погрешность при изменении массы, если не учитывать действия выталкивающей силы воздуха на взвешиваемое тело и на разновесах; шкала линейки может быть нанесена неравномерно, положение нуля термометра может не соответствовать нулевой температуре, капилляр термометра в разных местах может иметь разное сечение – эти причины также приводят к систематическим погрешностям. Систематическую погрешность вносит также округление численных значение физических констант.

Поскольку причины, вызывающие систематические погрешности в большинстве случаев известны, то эти погрешности, в принципе, могут быть исключены или значительно уменьшены за счет изменения метода измерения, введения поправок к показаниям приборов, учёта систематического влияния внешних факторов, использованием в расчётах более точных значений физических констант и т.д. Однако на практике этого не всегда легко добиться, поскольку повторные измерения не выявляют систематических погрешностей.

Случайной называют составляющую погрешности измерения, изменяющуюся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины. Случайные погрешности определяются сложной совокупностью причин, трудно поддающихся анализу. Присутствие случайных погрешностей (в отличие от систематических) легко обнаруживаются при повторных измерениях в виде некоторого разброса получаемых результатов. В качестве примера случайных погрешностей можно привести погрешность вследствие вариации показаний измерительного прибора; погрешность округления при отсчитывании показаний измерительного прибора; погрешность вследствие параллакса, которая может возникать при снятии показаний стрелочных приборов. Случайные погрешности вызываются также сотрясениями фундамента здания, влиянием незначительного движения воздуха, колебаниями напряжения в сети, питающей приборы, и т.д.

Главной отличительной чертой случайных погрешностей является их непредсказуемость от одного отсчета к другому. Поэтому оценка случайных погрешностей может быть осуществлена только на основе теории вероятностей и математической статистики. Далее будет показано, что случайная погрешность уменьшается при увеличении числа измерений физической величины. Однако, случайные ошибки надо сравнивать с систематическими, так как иначе может оказаться, что повышение точности измерений будет иллюзорным.

В качестве наглядной иллюстрации вышесказанного на Рис. 1а на числовой оси приведены результаты пяти измерений, отмеченных чёрточками, а также истинное значение X измеряемой величины, когда имеются только случайные ошибки или случайные ошибки значительно превышают систематические; на Рис. 1б представлены результаты пяти измерений, когда при наличии случайных ошибок систематические вносят значительный вклад.

 

§3. Статистический анализ случайных погрешностей

При выполнении многократных измерений необходим метод, который позволил бы обрабатывать полученные результаты. Одним из удобных методов является использование распределения. Предельным распределением (при бесконечном количестве измерений) результатов эксперимента является распределение Гаусса (отметим, что оно не является единственно возможным).

Вопросу обоснования применимости распределения Гаусса в теории ошибок в литературе уделяется много внимания. Но лучше всего, касаясь этого вопроса, пожалуй, сказал тот, кто сказал «экспериментаторы верят в него, полагаясь на доказательства математиков, а математики – полагаясь на экспериментальное обоснование». Тем не менее, распределение Гаусса можно в какой-то мере обосновать.

3.1. Предельное распределение

Результаты серии измерений одной величины можно наглядно представить, построив диаграмму, которая показала бы, как часто получены те или иные значения. Такая диаграмма называется гистограммой.

Вначале рассмотрим измерение величины, которая может принимать дискретные значения. Пусть, например, выполняется подсчет частиц, которые регистрируются счетчиком за одну минуту. Будем считать, что выполнено десять измерений и получены следующие результаты: 56, 59, 54, 58, 56, 57, 56, 58, 57, 57. Эти результаты удобно записать в виде следующей таблицы, располагая их по мере возрастания значения.

Таблица 1

Значения хk
Число реализаций nk

Полученные результаты позволяют вычислить среднее значение регистрируемых за одну минуту частиц:

, (3.1.1)

где N – число измерений. Величину, определяющую долю от полного числа измерений, в которой реализуется результат x_к принято называть частотой:

. (3.1.2)

При этом среднее значение можно определить по формуле:

. (3.1.3)

Частоты F_k характеризуют распределение результатов измерения в виде гистограмм, на которых по вертикальной оси откладывают значения F_k, а по горизонтальной – x_k.

Если сложить частоты всех возможных значений x_k, то в результате получается единица

. (3.1.4)

Это условие называют условием нормировки.

Гистограмма, представленная на Рис. 2, определяет распределение дискретной величины. Вместе с этим, зачастую встречаются физические величины, имеющие непрерывный диапазон возможных значений. Например, при измерении расстояния между двумя точками с помощью линейки с ценой деления 1 мм, могут быть получены следующие результаты (в сантиметрах): 26,4; 23,9; 25,1; 24,6; 22,7; 23,8; 25,2; 23,7; 25,3; 25,4. Если по полученным результатам построить гистограмму, подобную предыдущей, то она будет содержать десять черточек одинаковой высоты и являться малоинформативной. Поэтому диапазон возможных значений разбивают на интервалы и подсчитывают, какое количество измерений попадает в каждый интервал. Выбирая интервал в размере Δ _k =1,0 см, можно построить представленную на Рис. 3 гистограмму для непрерывной функции. Причем для непрерывной величины площадь f_k ·Δ _k к-го прямоугольника (на Рис. 3 он заштрихован) имеет такой же смысл, что и высота к-той черточки F_k в случае гистограммы для дискретной величины (см. Рис. 2).

При увеличении числа измерений N можно уменьшить ширину интервала Δ _k. Так на Рис. 4а представлена гистограмма в случае ста измерений того же расстояния x при Δ _k =1,0 см, а на Рис. 4б – в случае тысячи измерений при Δ _k =0,5 см.

Гистограммы на Рис. 4 иллюстрируют важное свойство большинства измерений: с ростом числа измерений их распределение стремится к некоторой определенной непрерывной кривой – предельному распределению, которая соответствует гистограмме при N ®¥ и Δ _k ®0.

При наличии только случайных погрешностей предельное распределение представляет собой симметричную колоколообразную кривую, показанную на Рис.4б. Конечно, предельное распределение – теоретическая идеализация, которую никогда нельзя точно получить в эксперименте.

Предельное распределение определяет функцию, называемую плотностью распределения, которую обозначим f(x). Если известна функция f(x), можно разделить весь интервал значений x на малые интервалы от x_k до x_k +Δ x_k. Тогда доля значений, попавшая в каждый такой интервал, будет F_k = f(x_k)· Δ x_k и формула (3.1.3), определяющая среднее значение величины, в пределе, когда все интервалы стремятся к нулю примет вид

(3.1.5)

Доля измерений (при N ®¥), которая попадает в любой бесконечно малый интервал от x до x+dx, будет равна площади f(x) · dx заштрихованного участка на Рис.5а. В случае интервала конечной ширины. например от x₁ до x₂, доля от полного числа измерений, попадающих в данный интервал равна площади под кривой между x=x₁ и x=x₂ (Рис.5б). Она определяется путем интегрирования: доля измерений в интервале от x₁ до x₂ равна .

Сказанное можно выразить другим очень полезным способом:

– (3.1.6)

– данный интеграл определяет вероятность попадания любого единичного измерения в интервал от x = x₁ до x = x₂.

Отсюда можно сделать важное заключение: если бы было известно предельное распределение f(x) для результатов измерений данной величины x, то можно найти вероятность получения результата в любом заданном интервале x ₁ £ x £ x ₂.

Предельное распределение f(x) должно удовлетворять условию нормировки (аналогично (3.1.4) для дискретной функции):

, (3.1.7)

которое означает, что при единичном измерении вероятность получения результата в пределах от –¥ до +¥ равна единице.

Наиболее употребительной мерой, характеризующей рассеяние случайной величины, является дисперсия, обозначаемая D _x и определяемая по формуле:

. (3.1.8)

По аналогии с (3.1.5), когда N ®¥ дисперсия определяется через функцию распределения

. (3.1.9)

Квадратный корень из дисперсии называется среднеквадратичным или стандартным отклонением и обозначается s_x

. (3.1.10)

3.2. Функция Гаусса

В математике функция, график которой имеет форму колоколообразной кривой, называется функцией нормального распределения или функцией Гаусса. Она имеет следующий вид:

. (3.2.1)

Функция Гаусса описывает предельное распределение результатов измерений величины x, истинное значение которой равно X. Причем при измерении величины x сказываются только случайные ошибки. Принято считать, что результаты измерений распределены нормально, если их предельное распределение описывается функцией Гаусса.

В формуле (3.2.1) величина σ является фиксированным параметром, который определяет ширину гауссовой кривой в точках перегиба. Малые значения σ приводят к распределению типа острого пика, которое соответствует более точным измерениям, в то время как большие значения σ дают широкое распределение, соответствующее измерениям с малой точностью. На Рис.6 представлены два примера графиков функций Гаусса с различными значениями величин

Х и σ. Видно, что величина σ в знаменателе предэкспоненциального множителя формулы (3.2.1) обеспечивает для более узкого распределения (малые σ) большую высоту в точке x = X. Это обусловлено тем, что функция Гаусса нормирована, то есть для нее выполнено условие (3.1.6). Поэтому площадь под кривой, выражающей на графике функцию Гаусса, при любых значениях σ и X должна равняться единице.

Функция Гаусса отражает следующие предположения, лежащие в основе теории случайных погрешностей и подтверждаемые опытом:

1. Погрешности результатов наблюдений принимают непрерывный ряд значений.

2. При большом числе наблюдений одинаково часто встречаются погрешности одного значения, но разных знаков.

3. Частота появления погрешностей уменьшается с возрастанием их значений.

В случае распределения Гаусса среднее значение величины X определяется, согласно (3.1.5), по формуле:

. (3.2.2)

Интеграл вычисляется аналитически, что приводит к следующему результату:

(3.2.3)

Отсюда можно сделать вывод: если результаты измерений распределены в соответствии с функцией Гаусса, то в случае бесконечно большого числа измерений среднее значение будет равно истинному значению X, которое соответствует центру функции Гаусса.

Для дисперсии (3.1.9) в случае распределения Гаусса получим

(3.2.4)

Результат аналитического интегрирования:

(3.2.5)

Поскольку, согласно (3.1.10), корень из дисперсии есть стандартное отклонение, то

. (3.2.6)

Следовательно: параметр σ ширины функции Гаусса есть стандартное отклонение, которое мы получили бы в случае бесконечно большего числа измерений.

3.3. Вероятность попадания результата однократного измерения в заданный интервал

Для распределения Гаусса вероятность попадания результата измерения в определённый интервал при однократном измерении, согласно (3.1.6), определяется по формуле:

P (в пределах tσ) , (3.3.1)

где t – положительное число, tσ – полуширина задаваемого интервала.

После подстановки , dx = σdz получим:

Р (в пределах tσ) (3.3.2)

Этот интеграл называют функцией ошибок (или нормальным интегралом ошибок), который обозначается erf (t). Его значение при произвольном t аналитически не вычисляется и определяется только численными методами. В таблице 1 Приложения приведены значения функции ошибок для различных значений t. Вероятность может быть определена как в виде десятичной дроби, так и в процентах. На Рис. 7 изображена зависимость функции ошибок от параметра t в процентах.

Из Таблицы 2 Приложения или Рис.7 видно, например, что вероятность попадания в интервал полуширина которого соответствует одному стандартному отклонению σ равна 68%, 2 σ – 95%, 3 σ – 99,7%, то есть с увеличением t вероятность попадания в интервал с пределами tσ быстро стремиться к 100%.

Используя Таблицу 2 Приложения легко определить вероятность попадания результата единичного измерения в интервал с произвольными границами x ₁ и x ₂, то есть когда x ₁ и x ₂ отличаются от X на одинаковое значение tσ.

Вероятность того, что ожидаемый результат однократного измерения окажется вне определённого интервала можно определить по формуле:

Р (вне tσ) = 100% – Р (в пределах tσ). (3.3.3)

Поэтому, например, вероятность попадания результата единичного измерения за пределы интервала с полушириной 3σ от истинного значения Х очень мала и составляет всего 0,3%.

3.4. Прямые измерения

В реальных условиях число измерений конечно. Если, например, сделано N измерений величины x (то есть некоторый эксперимент независимо повторен N раз), то полученные результаты x ₁, x ₂, …, x_N называют случайной выборкой объёма N из множества всех возможных значений величины x.

В теории обработки результатов эксперимента строго доказывается, что в этом случае наилучшей оценкой истинного значения X является выборочное среднее значение из N измерений:

(3.4.1)

Кроме того, наилучшей оценкой стандартного отклонения σ_x является выборочное среднее квадратичное отклонение S_x:

(3.4.2)

3.5. Отбрасывание результатов прямых измерений

Ранее было сказано, что среди погрешностей измерений могут встречаться промахи – погрешности, существенно превышающие ожидаемые значения при данных условиях эксперимента. Поэтому возникает естественный вопрос – какие погрешности следует считать промахами с целью исключения в дальнейшем соответствующих им результатов измерения? Эта оценка осуществляется на основе критерия Шовене.

Пусть проделано N измерений некой величины x и получены следующие результаты: x ₁, x ₂, …, x_N. На основании этих значений по формулам (3.4.1) и (3.4.2) можно вычислить и S_x. Если имеется подозрительный результат, погрешность которого, возможно, является промахом, то для него вычисляют

– (3.5.1)

число выборочных стандартных отклонений, на которое x_под отличается от . По таблице 2 Приложения можно найти вероятность Р (вне τ_подS_x) того, что нормальное измерение будет отличаться от на τ_под или более выборочных стандартных отклонений. Наконец, следует умножить полученную вероятность Р (вне τ_подS_x) на полное число измерений N, чтобы получить

n (хуже, чем x_под) = N · P (вне τ_подS_x), (3.5.2)

которое определяет число ожидаемых измерений, которые дают столь же плохие результаты, что и x_под. Если n <0,5, то x_под отбрасывается. В этом состоит критерий Шовене. После отбрасывания результата, не удовлетворяющего критерию Шовене, надо пересчитать и S_x по оставшимся данным. При n >0,5 следует всё оставить без измерения.

Рассмотрим пример: пусть произведено шесть измерений некоторой величины и получены следующие результаты: 3,8; 3,5; 3,9; 3,9; 3,4; 1,8. Среди этих результатов подозрительным является 1,8. Поэтому с учётом шести измерений рассчитываем =3,4 и S_x =0,8. Значение 1,8 отличается от на 2 S_x. Согласно Таблицы 2 Приложения:

Р (вне 2 S_x) = 1 – Р (в пределах 2 S_x) = 0,05.

То есть из двадцати возможных результатов измерений приблизительно только один должен также сильно отличаться от как число 1,8. В случае проведённых шести измерений ожидаемое число таких результатов n =0,05·6=0,3. Поскольку n <0,5, то, согласно критерию Шовене, подозрительный результат x=1,8 должен быть исключён, а для оставшихся значений =3,7; S_x =0,23.

3.6. Косвенные измерения

Теперь следует привести результаты, которые получены в теории измерений для случая, когда производятся косвенные измерения величины q (x, y, …., z). Причём величины x, y, …, z могут быть зависимыми.

Пусть производится конечное число измерений, но на результат измерений оказывает влияние только случайные погрешности. Если погрешности при измерении x, y,…, z малы, то существует строгое доказательство, что наилучшей оценкой значения q является

, (3.6.1)

где определяются по формуле (3.4.1).

Оценка стандартного отклонения при косвенных измерениях определяются выражением:

, (3.6.2)

где S_x, S_y, …, S_z являются выборочными стандартными отклонениями, определяемыми по формуле (3.4.2). После вычисления частных производных в полученных выражениях осуществляется подстановка .

3.7. Стандартное отклонение среднего

Предположим, что результаты измерений величины x распределены нормально около истинного значения X с шириной σ_x. Необходимо узнать, какова надёжность среднего значения для N измерений. Для ответа на этот вопрос представим себе, что N измерений повторяются много раз, причём в каждом случае определяется среднее значение . Нас интересует, как распределены полученные значения .

Величина есть простая функция измеренных значений x ₁, x ₂, …, x_N

. (3.7.1)

Поэтому можно найти распределение с помощью расчёта ошибок для косвенных измерений.

Поскольку каждое из измеренных значений x ₁, x ₂, …, x_N распределено нормально, то очевидно, что и также имеют нормальное распределение. Так как истинным значением для x ₁, x ₂, …, x_N является X, то и истинным значением является также X. Следовательно, полученные значения распределены нормально около истинного значения X. Ширину этого распределения можно найти по формуле:

. (3.7.2)

Но:

, (3.7.3)

а из (3.7.1) следует:

. (3.7.4)

Следовательно, вместо (3.7.2) получаем:

. (3.7.5)

Эту величину называют стандартным отклонением среднего. Видно, что при N®¥ значение .

Вывод: значения распределены нормально с центром, равным истинному значению и с шириной ; другими словами, если найдено однажды , то вероятность попадания этого значения в интервал равна 68%.

Для оценки стандартного отклонения среднего, которое обозначим , используют формулу

(3.7.6)

Величину называют выборочным стандартным отклонением среднего. Видно, что при увеличении числа измерений N растёт точность измерения. Стандартное отклонение среднего при косвенных измерениях может быть определено по формуле:

(3.7.7)

Рассмотрим следующий пример: определим выражение для стандартного отклонения величины q, которая связана с величинами x, y, z, определяемыми прямыми измерениями, следующим соотношением:

, (3.7.8)

где α, β, γ – точные числа.

Для частных производных получаем:

. (3.7.9)

После подстановки (3.7.9) в (3.7.7) имеем:

. (3.7.10)

3.8. Распределение Стьюдента

Ранее было показано, что величина является лишь наилучшей оценкой истинного значения измеряемой величины. Вместе с этим, наилучшей оценкой стандартного отклонения среднего является величина . Таким образом, мы имеем дело с некоторыми приближениями. Ясно, что распределение случайных погрешностей будет тем существенней отличаться от функции Гаусса, чем меньше выполнено измерений.

Английский химик и математик В.С. Госсет, публиковавший свои работы под псевдонимом Стьюдент, получил формулу для нахождения распределения погрешностей средних значений, получаемых при конечном числе измерений. Причём им была получена зависимость вероятности попадания получаемого результата в определённый интервал от числа измерений. Однако эта зависимость имеет сложный характер и не выражается через элементарные функции.

На основе распределения Стьюдента были составлены таблицы коэффициентов Стьюдента t_{α , n}, которые показывают во сколько раз нужно увеличить величину , чтобы при определённом числе измерений n получить задаваемую вероятность (надёжность) n. Коэффициенты Стьюдента представлены в Таблице 1 Приложения.

В результате можно записать:

, (3.8.1)