Касательная плоскость к сфере (шару)




Дата: 20.05.20 г

Тема: Взаимное расположение сферы и плоскости. Касательная плоскость к сфере. Площадь сферы

Цели: изучить взаимное расположение сферы и плоскости; рассмотреть касательную плоскость к сфере, формулу площади сферы; развитие пространственного мышления учащегося; воспитание внимательности, аккуратности и усидчивости.

 

Задание:

1. Изучить и законспектировать теоретический материал по данной теме.

2. Работу отправить до четверга (Отправьте в личку вконтакте, на почте фото долго загружаются).

Взаимное расположение сферы и плоскости в пространстве

Рассмотрим сферу радиуса R с центром в точке O и плоскость α. Обозначим символом O 1 основание перпендикуляра, опущенного из точки O на плоскость α, и обозначим буквой h расстояние от точки O до плоскости α (т. е. длину отрезка OO 1).

В зависимости от соотношения между R и h можно составить следующую таблицу, в которой описаны все возможные случаи взаимного расположения сферы и плоскости в пространстве.

Взаимное расположение фигур Рисунок Свойства
Сфера и плоскость не имеют общих точек (не пересекаются) Сфера и плоскость не пересекаются тогда и только тогда, когда h > R
Сфера и плоскость имеют единственную общую точку (касаются) Если сфера и плоскость имеют единственную общую точку, то плоскость называют касательной плоскостью к сфере, а их общую точку называют точкой касания. Сфера и плоскость касаются тогда и только тогда, когда h = R Если сфера и плоскость α касаются, то радиус, проведенный в точку касания перпендикулярен плоскости α. Если сфера и плоскость α имеют общую точку и радиус, проведенный в эту точку, перпендикулярен плоскости α, то сфера и плоскость касаются.
Сфера и плоскость имеют более одной общей точки. Плоскость не проходит через центр сферы. Пересечением сферы и плоскости является окружность радиуса r с центром в точке O 1. В этом случае 0 < h < R, Отрезок OO 1 перпендикулярен плоскости α.
Сфера и плоскость имеют более одной общей точки. Плоскость проходит через центр сферы. Пересечением сферы и плоскости является окружность радиуса R с центром в точке O. В этом случае h = 0. Если плоскость проходит через центр сферы, то часто говорят, что сфера и плоскость пересекаются по большому кругу.

 

Касательная плоскость к сфере (шару)

Плоскость и сфера (шар) радиуса R имеют общие точки, если выполняется неравенство d ≤ R (d - расстояние от центра сферы (шара) до плоскости).

ОПРЕДЕЛЕНИЯ:

Касательной плоскостью к сфере называется плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.

Касательной плоскостью к шару называется касательная плоскость к сфере, которая является границей этого шара.

ТЕОРЕМА:

Признак касательной плоскости

Пусть OF - радиус сферы W(O,R), точка F ∈ α, α ⊥ OF. Плоскость, перпендикулярная радиусу сферы и проходящая через его конец, лежащий на сфере касается сферы.

Пусть M - произвольная точка плоскости α. По условию OF ⊥ α, следовательно OM - наклонная к плоскости α, и поэтому OM>OF, т.е. OM>R. Следовательно точка M не может лежать на сфере, значит плоскость α имеет со сферой только одну общую точку F, т.е. касается сферы в точке F.

ТЕОРЕМА:

О свойстве касательной плоскости к сфере



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2020-07-12 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: