Дата: 20.05.20 г
Тема: Взаимное расположение сферы и плоскости. Касательная плоскость к сфере. Площадь сферы
Цели: изучить взаимное расположение сферы и плоскости; рассмотреть касательную плоскость к сфере, формулу площади сферы; развитие пространственного мышления учащегося; воспитание внимательности, аккуратности и усидчивости.
Задание:
1. Изучить и законспектировать теоретический материал по данной теме.
2. Работу отправить до четверга (Отправьте в личку вконтакте, на почте фото долго загружаются).
Взаимное расположение сферы и плоскости в пространстве
Рассмотрим сферу радиуса R с центром в точке O и плоскость α. Обозначим символом O 1 основание перпендикуляра, опущенного из точки O на плоскость α, и обозначим буквой h расстояние от точки O до плоскости α (т. е. длину отрезка OO 1).
В зависимости от соотношения между R и h можно составить следующую таблицу, в которой описаны все возможные случаи взаимного расположения сферы и плоскости в пространстве.
| Взаимное расположение фигур | Рисунок | Свойства |
| Сфера и плоскость не имеют общих точек (не пересекаются) | 
| Сфера и плоскость не пересекаются тогда и только тогда, когда h > R |
| Сфера и плоскость имеют единственную общую точку (касаются) | 
| Если сфера и плоскость имеют единственную общую точку, то плоскость называют касательной плоскостью к сфере, а их общую точку называют точкой касания. Сфера и плоскость касаются тогда и только тогда, когда h = R Если сфера и плоскость α касаются, то радиус, проведенный в точку касания перпендикулярен плоскости α. Если сфера и плоскость α имеют общую точку и радиус, проведенный в эту точку, перпендикулярен плоскости α, то сфера и плоскость касаются. |
| Сфера и плоскость имеют более одной общей точки. Плоскость не проходит через центр сферы. | 
| Пересечением сферы и плоскости является окружность радиуса r с центром в точке O 1. В этом случае
0 < h < R,
Отрезок OO 1 перпендикулярен плоскости α.
|
| Сфера и плоскость имеют более одной общей точки. Плоскость проходит через центр сферы. | 
| Пересечением сферы и плоскости является окружность радиуса R с центром в точке O. В этом случае h = 0. Если плоскость проходит через центр сферы, то часто говорят, что сфера и плоскость пересекаются по большому кругу. |
|
|
Касательная плоскость к сфере (шару)
Плоскость и сфера (шар) радиуса R имеют общие точки, если выполняется неравенство d ≤ R (d - расстояние от центра сферы (шара) до плоскости).
ОПРЕДЕЛЕНИЯ:
Касательной плоскостью к сфере называется плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.
Касательной плоскостью к шару называется касательная плоскость к сфере, которая является границей этого шара.
ТЕОРЕМА:
Признак касательной плоскости
Пусть OF - радиус сферы W(O,R), точка F ∈ α, α ⊥ OF. Плоскость, перпендикулярная радиусу сферы и проходящая через его конец, лежащий на сфере касается сферы.
Пусть M - произвольная точка плоскости α. По условию OF ⊥ α, следовательно OM - наклонная к плоскости α, и поэтому OM>OF, т.е. OM>R. Следовательно точка M не может лежать на сфере, значит плоскость α имеет со сферой только одну общую точку F, т.е. касается сферы в точке F.
|
|
ТЕОРЕМА:
О свойстве касательной плоскости к сфере