Производная сложной функции.

Группа – ЭТ-21-1 15.12.2021

Дисциплина – Математика

Тема 2: Вычисление производных сложных функций.

Записать конспект лекции с примерами решения в тетрадь. Решить задания для самостоятельного решения.

 

Остаются в помощь таблицы с формулами и правилами дифференцирования.

(Не надо еще раз переписывать)

Таблица производных Функция Производная С постоянное число   х   k x k ln x sin x cos x cos x -sin x tg x ctg x

Правила дифференцирования ,где k – число (коэффициент остается неизменным) (производная суммы) (производная произведения) (производная частного) (производная сложной функции)

ВАЖНО!!!! При нахождении производных сначала используются правила дифференцирования, а затем – таблица производных элементарных функций.

Разберемся сначала: Что значит сложная функция?

Успокою вас – это НЕ значит трудная, значит СЛОЖЕННАЯ.

Определение: Функция y = f(x) называется сложной, если вместо аргумента (х) одной простейшей функции стоит другая простейшая функция.

Попробуем составлять сложные функции.

Включаем 2 новых термина.

Та функция, которая встает внутрь другой будет называться внутренней, а в которую встала эта функция будет называться внешней.

Пример 1. Возьмем две простейшие функции из нашей таблицы.

у₁ = sin x, y₂ = e^x.

Из них можно составить 2 сложные функции, например:

1) Пусть у₁ будет внешней, а у₂ – внутренней, получим, что у₁ зависит от у₂, т.е. у₁(у₂)

Получаем новую функцию h(x) = у₁(у₂) = sin(e^x)

2) Пусть у₂ будет внешней, а у₁ – внутренней, получим, что у₂ зависит от у₁, т.е. у₂(у₁)

Получаем новую функцию g(x) = у₂(у₁) = e^{sin x}

Пример 2. Пусть у₁ = √х, у₂ = х⁵

Получаем: h(x) = у₁(у₂) = √ х⁵;g(x) = у₂(у₁) = (√х)⁵

И так далее.

Только для решения новых примеров нам надо НАОБОРОТ из сложной функции выделить внутреннюю и внешнюю.

Пример 3. Имеем функцию у =lna^x, разделяем ее на 2 простейшие функции: внутренняя будет у = а^х, т.к. она влезла внутрь другой функции (внешней) у = lnx.

К простейше функции, не стоящей в таблице относятся и любые линейные функции или многочлены: у = 7х – 4; у = х² + 9 и т.д.

Напоминаю: все простейшие функции из таблицы. ВНУТРЕННЯЯ встает вместо буквы Х во ВНЕШНЮЮ.

Задание для самостоятельного решения:

Потренеруйтесь сами: Разбейте функции на внутреннюю и внешнюю.

у = е^4х ; y = ;

Теперь перейдем к нахождению производной сложной функции.

Производная сложной функции.

Смотрим в таблицу на правило (№5) дифференцирования сложной функции:

Разбираемся. Прежде всего, обратим внимание на запись . Здесь у нас две функции – и , причем функция , образно говоря, вложена в функцию . Функция такого вида (когда одна функция вложена в другую) и называется сложной функцией.

Функцию я буду называть внешней функцией, а функцию – внутренней (или вложенной) функцией.

Для того, чтобы прояснить ситуацию, рассмотрим:

Пример 1

Найти производную функции

Под синусом у нас находится не просто буква «икс», а целое выражение , поэтому найти производную сразу по таблице не получится. Также мы замечаем, что здесь невозможно применить первые четыре правила, вроде бы есть разность, но дело в том, что «разрывать на части» синус нельзя:

Первый шаг, который нужно выполнить при нахождении производной сложной функции состоит в том, чтобы разобраться, какая функция является внутренней, а какая – внешней.

В данном примере уже из моих объяснений интуитивно понятно, что функция – это сложная функция, причем многочлен является внутренней функцией (вложением), а – внешней функцией.

 

После того, как мы РАЗОБРАЛИСЬ с внутренней и внешней функциями самое время применить правило дифференцирования сложной функции .

Начинаем решать. Оформление решения любой производной всегда начинается так – заключаем выражение в скобки и ставим справа вверху штрих:

Сначала находим производную внешней функции (синуса), смотрим на таблицу производных элементарных функций и замечаем, что . Все табличные формулы применимы и в том, случае, если «икс» заменить сложным выражением, в данном случае:

Обратите внимание, что внутренняя функция не изменилась, её мы не трогаем.

Ну и совершенно очевидно, что

Результат применения формулы в чистовом оформлении выглядит так:

Далее мы берем производную внутренней функции, она очень простая:

Постоянный множитель обычно выносят в начало выражения. Вот полное решение:

Пример 2

Найти производную функции

Как всегда записываем:

Разбираемся, где у нас внешняя функция, а где внутренняя. Многочлен – и есть внутренняя функция:

И, следовательно, степенная функция – это внешняя функция:

Согласно формуле , сначала нужно найти производную от внешней функции, в данном случае, от степени. Разыскиваем в таблице нужную формулу: . Повторяем еще раз: любая табличная формула справедлива не только для «икс», но и для сложного выражения. Таким образом, результат применения правила дифференцирования сложной функции следующий:

Снова подчеркиваю, что когда мы берем производную от внешней функции , внутренняя функция у нас не меняется:

Теперь осталось найти совсем простую производную от внутренней функции и немного «причесать» результат. Итоговая запись решения:

 

Задания для самостоятельного решения:

Найти производную функции:

1) у = cos(9-7x)

2)

3) y = 6 ^3х-5;

4) f(x) = (2x-1)³

5) y = 6 ln( x);

Надеюсь, что все понятно.